J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
F
LORENCE
S
ORIANO
Familles d’extensions de corps de nombres l-rationnels
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
8, n
o2 (1996),
p. 461-479
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1996__8_2_461_0>
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Familles d’extensions de corps de nombres
par FLORENCE SORIANO
RÉSUMÉ. Dans cet article, nous déterminons et classifions toutes les
exten-sions cycliques de degré l de corps de nombres contenant une
racine primitive l-ième de l’unité. (Cette notion est plus générale que celle de l-régularité étudiée dans un travail antérieur).
ABSTRACT. In this paper we characterise and classify all the cyclic
exten-sions of degree l of the L-rational number fields which contain the l-roots of unity for an odd prime l. (Note that the concept of L-rationality for
number fields is more general than the l-rationality).
§1.
Introduction1.1
PRÉSENTATION
DUPROBLÈME.
Soient f un nombre
premier, K
un corps de nombres(totalement
réellorsque
=2)
contenant une racineprimitive fièrne
de l’unité~.
Tout récemment J.-F JAULENT et û. SAUZET(cf.
[JS],
déf.1.1)
ontgénéralisé
comme suit la notion de corps £-rationnel
(ou .~-régulier)
considérée dansnotre travail
précédent
(cf.
[So]) :
DÉFINITION
1. Soient K un corps de nombres contenant les racinesprim-itives de t’unzté et 1 une
place
de K au dessus du nombrepremier
f. Le corps de nombres K est dit 1-rationnellorsque ta
abéliennes1-ramifiée {-décomposée
(i.e.
nonramifiée
auxplaces finies
en dehors de celles au-dessus de f etcomplètement décomposée
en 1)
maximale de K esttriviale.
Lorsque
le corps K nepossède qu’une
seuleplace
sauvage(i.e.
au dessus de1),
les notions de[-rationalité,
de .~-rationalité ou encore de£-régularité
se trouvent coïnciderpuisque
nous supposons ici que K contient les racinesprimitives
fièrnes
de l’unité.Le but de ce travail est ainsi de
généraliser
la classification des extensionscycliques
dedegré £
de corps de nombres~-réguliers
présentée
dans[So]
(lorsque É
estimpair)
ou[B2] (lorsque£
=2).
Plusprécisément,
nousproposons de déterminer ici toutes les extensions L d’un corps [-rationnel
K,
cycliques
dedegré l
et £-rationnelles en uneplace ,~
au dessusde 1,
puis
de les classifier en fonction de l’indice de ramification de laplace
sauvage 1 de K dansL/K
et de la évaluation du nombre relatifhL/K
de classes d’idéaux deL/K.
Dans toute la
suite,
nous notons G le groupe de Galois de l’extensionNotre
point
dedépart
est le résultat suivant établi dans[JS]
(cf.
th.3.4) :
THÉORÈME
2. un nombrepremier
impair, K
un corps de nombrescontenant une racine
primitive
del’unité,
1 uneplace
de K au-dessus de~~ puis
L une 1-extensiongaloisienne
de K et uneplace
de L au-dessus de C. Lespropriétés
suivantes sontéquivalentes :
(i)
le corps L est(ii)
le corps K est[-rationnel,
et l’ensemble X desplaces
de Kqui
seramifient
modérément dans l’extensionL/K
estC-pr2mitif.
(Autrement
dit leslogarithmes
de Gras desplaces
de Xforment
uneZ-e-base
d’unsupplémentaire
deK’Ip’
dans le groupe de Galois de lacomposée
Z desZ-e-extensions de
K,
où est leproduit
des des groupesmultiplicatifs
descomplétés
de K en lesplaces
sauvages l’ autres que 1 et son groupe detorsion).
Dans une telle
extenszon, la place
1 nepeut
sedécomposer.
REMARQUE :
lesplaces
p de la caractérisation(ii)
ci-dessus sont donc nécessairement desplaces ultramétriques étrangères
à ~. Nous lesappelons
modérées dans cequi suit,
paropposition
avec lesplaces
au dessus de £que nous disons sauvages.
Le théorème 2
imposant
la condition timpair,
nous avons besoin pour cequi
suit de nous affranchir de cette restriction dans la situationparticulière
que nous considérons des extensions
cycliques
dedegré
.~. Nous pouvonsainsi énoncer :
THÉORÈME
3. Soient .~ un nombrepremier
quelconque, K un
corps denombres contenant une racine
primitive fième
del’unité,
puis
L une ex-tenszoncycliques
dedegré t
surK,
que nous supposons totalement réellelorsque ~
vaut 2. Si l’on note £ uneplace
(sauvage)
de L au-dessus de1,
lespropriétés
suivantes sontéquivalences :
(ii)
de corps K estC-rationnel,
et l’ensemble X desplaces
de Kqui
seramifient
modérément dans l’extensionL/K
est1-primitif.
La démonstration du théorème 3 repose sur le lemme suivant
qui
précise
le cas £ = 2 :
LEMME 4. Soit
L/K
une 2-extension de corps de nombres totalement réels.Si le corps L est rationnel en une
place
paire £,
cetteplace
estnécessaire-ment
fixe
par lesK-automorphismes
de L.PREUVE : comme le corps L est totalement
réel,
il nepeut
être 2-birationnel(cf.
[JS~,
Prop.
1.9).
Autrementdit, £
estl’unique place
divisant 2 enlaquelle
L est rationnelle. Si donc adésigne
un élément du groupe deGalois de l’extension
L/K,
laconjuguée
£’ estl’unique place
enlaquelle
L’ = L estrationnelle;
elle coïncide donc avec laplace
£.PREUVE DU
THÉORÈME
3 : il suffit pour celad’adapter
au cas ~ = 2la démonstration écrite par J .-F JAULENT et 0. SAUZET dans
[JS]
pourétablir le théorème 3.4
qui
s’appuie principalement
sur le théorème 2.10 du même article. Ce dernier résultat suppose lanon-décomposition
de laplace
1 dans les extensions que l’on est amené à
considérer ;
et celle-ci résulte ici du lemme 4 ci-dessus : c’est immédiat pour le sens direct(i)
=*(ii) ;
quant
au sensréciproque
(ii)
=*(i),
il s’obtient sans difficulté àpartir
desarguments
de[JS]
enplongeant
L dans une 2-extension réelle X-modérément ramifiée maximale de Kaprès
avoircomplété X
en un ensemble[-primitif
maximal deplaces
modérées.DÉFINITION
5.Lorsque
l’ensemble desplaces
de Kqui
seramifient
modéré-ment dans l’extension
L/K
estC-primitif,
on dit queL/K
est(-primitivement
ramifiée.
En
résumé,
nous considérons dans cequi
suit un corps de nombres Kcontenant une racine .~-ième de l’unité
(,
rationnel en uneplace
sauvage 1et totalement réel
pour
= 2.Puisqu’une
extensionL/K
cyclique
dedegré
1 est £-rationnelle en uneplace £
au dessus de 1 si et seulement s’il existeun ensemble
[-primitif
maximal X tel que L soit incluse dans la .~-extensionMX
.~-élémentaire X-modérément ramifiéeoo-décomposée
maximale deK,
nous allons nous intéresser aux .-extensionscycliques
L de Kqui
sont1-primitivement
ramifiées.1.2 INDEX DES PRINCIPALES NOTATIONS.
Notations attachées à un corps local
Kp :
0
pp le groupe de torsion de
e le sous-groupe des éléments de torsion d’ordre
Np -
1,
e
1r p une uniformisante de
Kp,
e
Yll§
= lim lecompactifié
Sadique
deKpx,
alih
le groupe des unitésprincipales
deNotations attachées à un corps de nombres K :
e r, c, s le nombre de
places réelles,
complexes
ou sauvages(Le
divisant
~
·
PIR-
l’ensemble deplaces
deK,
e
hK
le nombre de classes(au
sensordinaire),
eEK
le groupe des unités(au
sensordinaire),
·
Ek
le groupe des ~-unités(i.e.
des unités en dehorsî),
res
.
K’ le
1-adifié du groupe desidèles,
p p
.
RK
Z,
0. K" le sous-groupe des idèlesprincipaux,
·£K, £k
les tensorisésSadiques
deEK,
Ek .
Notations attachées à une extension
L/K :
e G =Gal(L/K)
le groupe deGalois,
a
NLIK le
groupe des normes,. le tensorisé
.~-adique
de. l’ indice de ramification de la
place
finie p,· dp(L/K)
ledegré
de l’extension localele nombre de
places
modérées ramifiées dansL/K,
le nombre deplaces
sauvages nondécomposées
dans Notations attachées à unepl ace
sauvages 1 de K :· X un ensemble
[-primitif
maximal deplaces modérées,
· d ledegré
de l’extension localeKt/QI,
· x=d-r-c-s+2lecardinal
de X,
Mx
la ~-extension abélienne X-modérément ramifiéeoo-décomposée
maximale de K(MXIK
est non ramifiée en dehors desplaces
modéréesp e X et des
places
sauvages, et noncomplexifiée
auxplaces
réelles),
la sous-extension 1-élémentaire deMX ,
· ,Cr une
place
de Lcontenant 1,
.
E’x
le groupe des XI-unités(i.e.
des unitésglobales
en dehors desplaces
sauvages et desplaces
deX),
e le nombre de
places
§2. Description
de et deDésormais,
Kdésigne
un corps de nombres [-rationnel contenant les racines.eièmes
de l’unité et X un ensemble[-primitif
maximal deplaces
de K. 2.1 STRUCTURE DU GROUPE DE GALOIS.Comme nous avons
d’après
[JS],
th. 2.6 :La
décomposition
x(1
+p)
x pourchaque place
finie p, nous donne alorsl’isomorphisme :
Dans le
premier
produit
(i.e.
pour le facteurmédian 0
esttrivial,
et dans le second
(i.e.
pour1’)1)
il en est de même duquotient
Ilvient donc :
Et
puisque
lelogarithme
1’-adique
envoie le groupemultiplicatif
1+ l’
sur unZ,-module
libre de dimension[Kt, : Qi],
nous obtenons finalement :puisque
go
contient évidemment les racines de l’unitélorsque
p est
modérée.
Compte
tenu de l’identité(
E [Kr :
QI]
= r + 2c -[ : QI]),
il enPROPOSITION 16. Si K est un corps de nombres 1-rationnel
qui
contient les racineslièmes
del’unité,
pour tout ensemble[-primitif
maximal X deplaces
modérées,
le groupe de Galois de la R.-extension abélienne X-yoderee
e 9 p de/)
demodérément
ra-mifiée oo-décomposée
1-élémentaére maximale de K est un1Fi-espace
vec-toriel de dimension d + 2 - r,isomorphe
auproduit
direct desl-groupes
de Galois locaux~p
= attachées aux £-extensions abéliennes£-élémentaires maximales des
complétés
Kp
de K pourPIXI, p ~
1. 2.2 STRUCTURE DU RADICAL POUR 1 IMPAIR.Dans ce
sous-paragraphe,
le nombrepremier£
estsupposé
impair.
Lequotient
du groupeE~
par sapuissance .~2e’-’ze
estd’après
le théorème deDIRICHLET,
un1Fi-espace
vectoriel de dimension c + s + x = d + 2 - r.Lorsque x
est unreprésentant
du groupequotient
l’extensionK(
~)
est non ramifiée en dehors desplaces
de X et de cellesdivisant
et ne se
complexifie
pas en lesplaces
réelles. Lequotient
est donc un sous-groupe du radical de l’extensionMX
/ K.
La théorie de KUMMER établissant une dualité entre les groupes9al(Mx / K)
et del’égalité
des ordres il vient ainsi :PROPOSITION 7. un nombre
prêter
un corps de nom-bres (-rationnel contenant une racineprimitive l’èm’
del’unité,
1 l’une de sesplaces
sauvages, X un ensemble(-primitif
maximal deplaces
de K. La théorie de KUMMER établitl’isomorphisme :
entre le radical kummérien de la £-extension abélienne X-modérément
ram-ifiée
oc-décomposée
£-élémentaire maximale et leproduit
des radicaux lo-caz,cx associés aux £-extensions abéliennes £-élémentaires maximales descomplétés
Kp
de K auxplaces
modérées de X ou sauvages autres que f.COROLLAIRE 8. Sous les
hypothèses
de laproposition 7,
il existe exacte-mentt.~d+2 -1)/t.~ -
1)
sous-extensions non triviales [-rationnelles dedegré
1 deMx .
Ce sont les extensions de la
forme
où u est unreprésentant
de l’unequelconque
des(.~d+2 -
1)
classes non triviales dePlus
précisément,
si 1 est laplace
sauvages donnée deK,
si les1, ,
d - c +2}
sont desuniformésantes
associées auxplaces
sauvagesétrangères
à 1 ou modérées deX,
puis
si1 uj; j =
l,... ,
c - 11
est unsystème
de(c -1)
unitésfondamentales
deK,
les extensions L cherchéessont les extensions de la
f orme :
où les
et lj
sontpris
non tous nuls dans{0~ -, ~ 2013 1}~~.
2.3 Structure du radical
pour É
= 2A
présent É
estpair.
NotonsE(rd
(resp.
le groupe des C-unités(Le
des éléments de Kqui
sontunités,
au sens ordinaire(resp.
aurestreint)
en dehors de laplace
1) .
Nous avons ici :LEMME 9. Si K est 1-rationnel pour une
place
[ au dessusde 2, il
contient des C-unités(au
sensordinaire)
de toutesPREUVE : comme K est
[-rationnel,
on a l’identité entre les groupes d’idèles :si bien que la
2-partie
duquotient
du groupe des classes au sens restreint par son sous-groupeengendré
par la classe de 1 est triviale. En d’autrestermes,
la2-partie
du groupe des [-classes de K est triviale. Considérons par ailleurs lediagramme
où 89
est lemorphisme
signature,
K+
est le sous-groupe des élémentstotalement
positifs
de KX etPr
(resp.
estl’image
de K"(resp.
K+)
dans
Comme est un
2-groupe
et que la2-partie
du groupe des {-classes au sens restreint esttriviale,
lequotient
l’est aussi. On a finalementEn
particulier,
si l’ondésigne
par 7rp une uniformisante attachée à uneplace
de Xl(i.e.
sauvage ou modérée deX),
il existe une [-unité up telleque le
produit
=7rpup soit totalement
positif.
Comme les extensions totalement réelles(où
les entiers np valent 0 ou 1 et ne sont pas simultanémentnuls),
sontnon ramifiées en dehors des
places
deXI,
le groupeE9
est unPCX£
sous-groupe du radical de l’extension La théorie de KUMMER établissant une dualité entre les groupes
/K)
et del’égalité
des ordres donnée par laproposition
6 nous donne :PROPOSITION 10. Soient K un corps de nombres [-rationnel en une
place
sauvage 1
puis
X un ensemble[-primitif
maximal deplaces
de K.Il existe
2d-~’+2 -1
sous-extensions non triviales non triviales [-rationnelles dedegré 2
deMX .
Ce sont les extensions de laforme
où u est unreprésentant
de l’unequelconque
des2d~r+2 -
1 classes non triviales deE’x
Plus
précisément,
si 1 est laplace
sauvage donnée deK,
si les =1, ... ,
d - c +2}
sont desuniformisantes
associées auxplaces
sauvagesétrangères
à .~ ou modérées deX,
il existe pour toutindice j
une [-unitéuj telle que le
produit
1rj =1rjUj
soit totalementpositif.
Les extensionsoù les entiers
kj
prennent
les valeurs 0 ou 1 et ne sont pas simultanément nuls.Lorsque
(l
=2 ) ,
R. BERGER s’est attachée à l’ étude de lapropagation
de lasurjectivité
de la restriction de lasignature
au groupe des unités. Dans ce cadreplus
général,
il vient le résultatanalogue :
LEMME 11. ,Soit L une extension
cyclique
dedegré l,
rationnelle en uneplace
sauvage£,
d’un corps de nombres K contenant les racines de l’unité. Toutes les unités de K normes dans l’extensionL/K
sont normes d’unités. Autrementdit,
PREUVE : comme l’établit le début de la démonstration du lemme
9,
l’identité entre les groupes d’idèles :traduit la trivialité du
-groupe
des £adasses(au
sensordinaire)
de L. Le.~-groupe
des classes(au
sensordinaire)
de L est doncengendré
par la classe de £.Or,
comme nous l’avons vu dans la preuve du théorème 3(pour £ impair)
ou du lemme 4(pour i
pair),
laplace £
est fixe par lesK-automorphismes
de L. Autrementdit,
les classesambiges
sontd’ambiges.
Et
d’après l’isomorphisme
deCHEVALLEY,
lel-groupe
des unités normes dans l’extensionL/K
est lei-groupe
des normes d’unités.La situation
particulière
suivante se révèle intéressantepuisque
le radicals’explicite plus
facilement :COROLLAIRE 12. Sous les
hypothèses
de laproposition 10,
lorsque
le corps K est totalement réel et admet des unités de toutessignatures,
il existe uneuniformisante
totalementpositive
associée à chacune desplaces
de XI. Lesnotant 7ri
pour i
=1,
... ,d + 2 - r ,
on voit que les extensions L consid éréessont de la
forme :
où les entiers
l~~
prennent
la valeur 0 ou 1 et ne sont pas simutanémentDe
plus, l a
restriction d e l asignature
au groupe des unités d e L est alorssurjective.
PREUVE : la
proposition
1.2 dans[Bl]
montre que la restriction de lasignature
au groupe des unités de L estsurjective
dès que celle de K l’est aussi et que toutes les unités sont normes dans l’extensionL/K.
Lepremier
point
est satisfait parhypothèse,
le secondgrâce
au lemme 11.§4.
Cas des .~-extensions non ramifiées auxplaces
modérées :4.1 RAMIFICATION SAUVAGE.
Désormais, K
désigne
un corps de nombres contenant une racinepri-mitive de
l’unité, puis
L%K
une .~-extensioncyclique
dedegré
surK,
réputée
totalement réellelorsque
vaut 2. Fixant uneplace ,~
de Lau-dessus de
[,
nous supposons dans cequi
suit que L est ,~-rationnelle. Nous disons que l’extensionL/K
est £-rationnelle. L’ensemble desplaces
de K
qui
se ramifient sur L est alors[-primitif
etpeut
donc êtrecomplété
en un ensemble[-primitif
maximal X. Nous nous intéressonsplus
parti-culièrement dans cette section au cas où l’extension considérée L est .-ramifiée
(i.e.
non ramifiée auxplaces étrangères
àt).
Enonçons
la loi deréciprocité
primitive
établie dans[JS],
corollaire 3.2 :LEMME 13.
(Lemme d’approximat2on
par lesX-unités).
Soient K uncorps de nombres 1-ratzonnel contenant une racine
primitive eè"
de l’unitéet X un ensemble
C-primiti,f
maximal deplaces
de K. Nous avons alors lesisomorphismes
suivants :Ce lemme
permet
d’identifier lequotient
E’x / E’x l.
du groupe des X-unités par le sous-groupe de sespuissances
avec lequotient
Kt
du groupemultiplicatif
ducomplété
en 1 de K par le sous-groupe formé de sespuissances
et donc deregarder
lequotient
du groupe des 1-unités de Ii comme un sous-groupe deK’ IK’ 1.
Il existe donc une classe
~i
=c.f(a)
de telleque l’on ait :
L =
K( ~.
Enparticulier, lorsque
l’extension est modérémentramifiée,
la
classe (3
=appartient
àE’ /E’ ~~.
Enfin,
dans le casde ramification non
modérée,
l’extension L s’écrit sous la formeK(
où T est unreprésentant
d’une classe dePROPOSITION 14. Si
hK
désigne
le nombre de classes d’idéaux deK,
deux cas seprésentent
suivant sa divisibilité par le nombrepremier £ :
-
ou bien
(1 ~’ hK),
et toutes les extensionsL/K
sont alorsramifiées,
-
ou bien et l’une et seulement l’une des extensions L est non
ramifiée.
PREUVE : le groupe de Galois de la .~-extension C abélienne non .ramifiée maximale
(cf.
[Ja],
p.30,
Exemple
1. 1.20.)
estisomorphe
à IK
TIUp Il MI
RR
qfl
Comme K est
supposé (-rationnel,
le l-adifié du groupe de ses idèles vérifieLK
Il
fil1Cr
RK ,
de sortequ’il
vient :a~.~
où est la
projection
du groupe des [-unités(i.e.
des unités en dehors de1)
sur le tensoriséXl/
puis
le sous-groupe des valuations des1-unités pour la
place
1.Lorsque
h,~
estétranger
à.~,
le groupe de GaloisQal(C/K)
qui
s’identifie au.~-groupe
fini des classes de diviseurs de K esttrivial,
si bien que les extensions C et K coïncident. Dans le cascontraire,
le groupe de Galoisest
cyclique
non trivial et il existe uneunique
.-extension non ramifiée L de K.
PROPOSITION 15.
désigne
le noyau de lasurjection canonique
duten-sorisé
l-adique
EK
= 0zEK
dugroupe des f-unités
(au
sensordinaire)
de K dans leproduit
descomplétés profinis
Xl(
= induitepar les
plongements diagonaux
du groupemultiplicatif
de K dans sescomplétés
auxplaces
sauvages t’~
1,
deux cas seprésentent :
-
ou bien il existe une f-unité de
Er
uniformisante
locale(en 1),
auquel
cas toutes les extensions L nonramifiées
auxplaces
modérées seramifient
en laplace
sauvage1,
- ou bien il n’en
existe pas,
auquel
cas l’une et seulement l’une des extensions L nonramifiées
auxplaces
modérées ne seramifie
pas en 1. Lesautres sont donc
ramifiées
en cetteplace.
PREUVE : le groupe de Galois de la .~-extension
MI
abélienne maximalequi
est non ramifiée en dehors des
places
sauvages autres que t estisomorphe
à
FI J.Lq R K)
avec les notations de la preuveprécédente.
Comme K qtlest
supposé 1-rationnel,
le 1-adifié du groupe de ses idèles est donné parRK n
de sortequ’il
vient :a-tl
Et
gal(Mt/ K)
est un~-groupe
cyclique,
trivial sous la seule conditionZi)-4.2 APPLICATION DE LA FORMULE DES CLASSES AMBIGES.
Le nombre de classes
ambiges
(i.e.
invariantes parG)
de L est donnépar la formule bien connue
(cf.
~Ja~,
p177,
th.III.1.9) :
qui
devient icisi t =
TLIK désigne
le nombre depremiers
modérés de K ramifiés dans l’extensionREMARQUES :
1/
Lorsque
désigne
une extensioncyclique
dedegré £
de corps de nombres.~-rationnels,
les classes d’idéaux de L sontengendrées
par la classede la seule
place
sauvage, et sont ainsi des classesd’ambiges
doncambiges
(Le.
hO
=hL).
2/
Comme l’extensionL/K
est dedegré
premier,
le nombre relatif de classes est un entier(i.e.
dès que l’extension est ramifiée.De cette seconde remarque, découle immédiatement le résultat suivant :
SCOLIE 16. Si K contient une racine
primitive eè"
de l’un2té et siL/K
désigne
une extensionsramifiée cycliques
dedegré 1
de corps de nombres£-rationnels,
alors le nombrehL de
classes de L est divisible par . dès que lenombre
hK
de classes de K l’est aussi.Afin d’évaluer l’indice
normique
(EK :
EK
n nous examinonsLEMME 17. Sous les mêmes
hypothèses,
si tdésigne le
nombre deplaces
modéréesramifiées
dans l J extensionL/K
et m le nombre deplaces
sauvages nondécomposées,
l’indicenormique
(K :
EknNL/K)
PREUVE :
désignons
parCl£
(resp.
le groupe des £-classes de L(resp..K),
c’est à dire lequotient
du groupe des classes par son sous-groupeengendré
par les classes desplaces
sauvages. Le groupe des l-classes d’uncorps t-rationnel étant trivial
(cf.
[JS],
th.1.7,
(2’)),
la formule des ~-classesambiges
qui
s’écrit(cf.
[Ja],
p.177,
th.111.1.9) :
donne immédiatement :
où m
= I:
(LIK»
est bien le nombre deplaces
sauvages nondécomposées
(1 Iidans l’extension
L/K.
DÉFINITION
18. Un nombre a est dit "norme à une unitéprès"
dans l’extensionL/K
s’il existe une unité(globale)
u de K telle que le pro-duit au soiteffectivement
norme dans l’extensionL/K,
en d’autres termeslorsque
l’idéalprincipal
(a)
est norme d’un idéalprincipal
de L.Ecrivons
(E~ : E~
nNL/K) =
(Ek : EK(EK n
EK n
NL/K).
Nous obtenons ainsi :LEMME 19. L’indice
normique
(EK :
EK n
1VL/K)
estégal
àoù q est la dimension sur
Fi
duquotient
du groupe des f-unitésEK
par le sous-groupe nNL/K)
desqui
sont normes à une unitéprès.
La formule des classes
ambiges
devient donc :où
f
= est le nombre deplaces
sauvages inertes dans l’extension
L/K.
Deux cas se
présentent
alors :· ou bien
V(£() =F
auquel
cas1)hK (d’après (*)).
Il existe alorsune
unique
~-extensioncyclique
L/K
non ramifiée. Comme C CMr,
ilvr(~~ ) ~
Et l’extension non ramifiéeL/K
est la seulequi
ne se ramifie pas en F. Or par la théorie du corps de classeslocale,
le grouped’inertie de chacune des
places
finies p dans l’extension estisomorphe
au
quotient
du groupe des unitésUp
deKp
par le sous-groupe de ses normes dans l’extension locale Parconséquent,
si l’on considèrel’extension non ramifiée
L/K,
les indicesnormiques
(Up :
Up
nattachés aux
places
finies valent tous +1. Comme en lesplaces
infinies l’extension localeL13IKp
esttriviale,
les unités de K sontpartout
normes locales donc normesglobales.
La formule des classesambiges
hL
= nous donne leséquivalences
successives :Toutes les autres extensions L sont ramifiées en C. Dans ce cas, nous avons évidemment :
flhL.
e ou bien
auquel
cas £~’
hK.
L’isomorphisme
donné par(**)
impose
alors deux cas :-
lorsque
= elles sont toutes ramifiées en L Comme 1 ne divise pas divisehL
si et seulement si on a q -f >
1.-
sinon,
parmi
toutes les extensionsL/K
qui
sont£-ramifiées,
une seule d’entre elles ne se ramifie pas en 1. Toutes les autres sont ramifiées en la
place
sauvage [. Pour chacuned’elles,
la formule des classesambiges
donne :En
résumé,
il vient :THÉORÈME
20. Soit L une extensioncyclique
dedegré
î,
nonramifiée
en dehors desplaces
sauvages, d’un corps de nombres (-rationnelK,
contenantles racines de
l’unité,
totalement réelle si . vaut 2. Si L est£-rationnelle,
il existe alors une classece(T)
non triviale de tellequ’on
ait L =K(vr).
Trois cas se
présentent :
(i)
Pour l t
hK
et =Zi,
laplace
sauvage 1 est
ramifiée
dansL/K
et l’ordre
hL
du groupe des classes de L est divisible par 1 si et seulementsionaq-f>1.
(ii)
hK
et7l£,
il existe uneunique
extensionL/K
nonramifiée
en f. L’ordrehL
de son groupe des classes est divisible par 1 si et seulement si on a q-f
> 1. Les autres telles extensions sont doncramifiées
en laplace
sauvage 1 et on a si et seulement si on a q -f >
1.(iii)
Pour flhK,
il existe uneunique
extensionL/K
nonramifiée.
L’ordref21
hK .
Les autres telles extensions sont doncramifiées
en laplace
sauvage 1etflhL.
95.
Familles d’extensions dedegré
l de corps de nombres £-rationnels :5.1 CONSTRUCTION DES FAMILLES.
Nous
rappelons
que le lemmed’approximation
par les X-unités nousper-met de considérer le groupe comme un sous-groupe de
Définition 21. Soient K un corps de nombres (-rationnel contenant une
racine
primitive
del’unité(
et totalement réel vaut2, puis
une
classe deUn corps d e nombres L est dit "être membre de la
f amil te {3
(notée
"
si et seulement si L = où u est un
représentant
de la classe(3
dans est une extension dedegré
£ danslaquelle
aumoins une
place
modérée p de K seramifie.
Théorème 22. Soit K un corps de nombres (-rationnel et contenant une
racine
primitive £ième
de l’unité(,
et totalementréel torqne
1 vaut 2. Pourchaque
classe(3
de il existe uneinfinité
de corps denombres
qui
sont membres de lafamille
Fam(,Q).
La clé de la preuve du résultat
précédent
est le résultat suivant :Lemme 23. Soit K un corps de nombres (-rationnel contenant une racine
primitive
del’unité(
et totalement réellorsque .~
estpair.
Il existeun
épimorphisme
,
deKr j Krl
dans le groupe de Galois de la sous-extension l-élémentaire de lapro-f-extension
abélienne maximale deK,
qui
estl-ramifiée
etcomplètement décomposée
auxplaces
sauvagesautres que 1. De
plus,
le noyaude 0
est Autrementdit,
on a lasuite exacte courte
canonique :
1
PREUVE : le groupe de Galois de la ~-extension
Mab
abélienne f-ramifiéemaximale
(cf. [Ja],
p.29, Exemple
1.1.17.)
estisomorphe
à =Comme K est
supposé [-rationnel,
le f-adifié du groupe deqf£
ses idèles est donné par
l’isomorphisme
de sortequ’il
vient :
De
l’injectivité
dumorphisme
(cf.
[J6’],
th.1.7,
(3~)),
nous concluons :RK fl
pp = 1 si bienque Je;
s’injecte
dansGab.
Lequotient
correspondant
~~e
est sans
torsion,
si bienqu’il
estisomorphe
au groupe de Galois de lasous-extension Z’ de la
composée
des7,1-extensions, qui
est1’-décomposée
en toutes
places
sauvages autres que 1.Finalement,
il vient :où
Ék
est le tensoriséé-adique
du groupe des.~-unités,
saprojection
sur le tensoriséXlfi
etZ’
la sous-extension .~-élémentaire de Z’ . Il existedonc un
épimorphisme
canonique
de le groupe de Galois de la .~-extensionZ’
dont le noyau est clairement lequotient
et est en
particulier isomorphe
àPREUVE DU
THÉORÈME
22 :soit (3
une classe du groupequotient
K"
il résulte de l’ uniformerépartition
desautomorphismes
de Frobenius(Z’tK )
dans le groupe de Galois de l’extension
Z’/K,
et del’épimorphisme
donnépar le lemme
23,
qu’à
la classe4>({3)
correspond
une infinité deplaces
modérées p. Si deplus ~3 n’appartient
pas à sonimage
dansle groupe de Galois n’est pas triviale. Par
_
suite,
l’automorphisme
deFiobenius p
ne fixe pas la .-extensionZ’,
si bien que lepremier
modéré p est[-primitif
etpeut
êtrecomplété
en unensemble
r-primitif
maximal de K.5.2 CLASSIFICATION DES EXTENSIONS CYCLIQUES DE
DEGRÉ
.~.On considère à
présent
les extensionsL/K
cycliques
dedegré £,
de corps de nombres (-rationnelscontenant ~
une racineprimitive
del’unité,
totalement réels
lorsque
vaut2,
ramifiées en au moins uneplace
modérée de K.PROPOSITION 24. Soit K un corps de nombres [-rationnel contenant une
racine
pr2mitzve
del’unité (,
hK
et =Z£,
alors laplace
1 est nonramifiée
dans les membres L de l’une de cesfamilles,
et seramifie
dans toute autrefamille.
0 si ou
(1 t
hK
et alors laplace
1 seramifiée
dans les membres de toutes lesfamilles
d’extensions.PREUVE : notons S l’ensemble des
places
de Xjointes
auxplaces
sauvages distinctes de 1 etdésignons
parE£
le groupe des S-unités(i.e.
des unitésglobales
en dehors desplaces
deS}.
En considérant comme unhy-perplan
del’espace
vectoriel nous sommes assurés de l’existencede f
applications
linéaires deKt / Kt£.,
triviales surl’hyperplan
et à valeurs dans le groupe ¡..LI des racines
fièmes
de l’unité. Parsuite,
si[., .]
désigne
lapuissance
(m t /£) -
ième dusymbole
de Hilbert en laplace
sauvage 1,
mt étant l’ordre du groupe Mt des racines de l’unité deKr
d’ordre unepuissance
de £,
est l’une des 1applications
linéaires cherchéeset est de
plus,
nonpartout
triviale. Les autresapplications
linéaires sontclairement les
symboles
[~3~, .].
La recherche de ces lapplications
linéaires nous caractérise donc la seule extensionL/K
non ramifiée en t.·
Plaçons
nous d’abord dans le cas où(~ ) 1 hK) ;
il existe alors uneunique
extensionL/K
nonramifiée,
si bien que laplace
sauvage ( est ram-ifiée dans les membres de toutes familles d’extensions.*
Supposons
àprésent
quehK) ;
deux cass’imposent
alors :-
ou bien =
Zg,
auquel
cas toutes les extensionsL/K
l-ramifiées se ramifient en la
place
(qui
est donc non ramifiée dans l’une de cesfamilles,
mais ramifiée dans toutes les autres.- ou bien
Zî,
auquel
cas ( est non ramifiée dans une seuleextension non triviale de la forme L =
K( ~)
où T est unreprésentant
d’une classe de
EÉ: 1 EK l,
si bien que les membres de toutes les familles d’extensions sont ramifiées en f.THÉORÈME
25. Soit K un corps de nombres contenant une racineprimi-tive
(ième
de l’unité et dont unepdace
sauvage est notée C.Si L
désigne
une extensionscyclique
dedegré
.~ de corps de nombres £-rationnels alors il existe une classecl(o-}
=fi
detelle
u’on ait
L =K ~ Q .
Le nombre q de
représentants
duquot2ent
EKIEK
du groupe des-un2tés par son sous-groupe des unités
globales,
qui
ne sont pas normes à unitéprès
dansL/K,
et le nombref
deplaces
sauvages inertespar
conséquent,
sontindépendants
du de l’ensemble(-primitif
maxi-mal
X).
Autrementdit,
les extensions d’une mêmefamille
ont les mêmes indices q etf .
PREUVE :
l’isomorphisme
de dualitéjoint
au lemmed’approximation
par les X-unités nous donne lesisomorphismes compatibles
avec la structure(symplectique
pour 1~
2)
définie par lessymboles
de Hilbert :et montre
qu’effectivement
lesimages
de(u
E dans le.~-groupe
quotient
KÎ
IK"e
sontindépendantes
du choix de l~. Cequi
établit que d’unepart
f ,
et d’autrepart
q(puisqu’une
.~-unité est normeglobale
dèsqu’elle
l’est localementpartout)
nedépendent
que del’image
de u dansKr
THÉORÈME
26. Soit K un corps de nombres C-rationnel contenant uneracine
primitive ¡’ième
de l’unité.La liste
complète
des extensions Lcycliques
£-rationnelles et dedegré
.~ sur Kcomprend :
. d’une
part
les extensions L =K( ~
où T est unreprésentant
d’une classe du groupe dans
lesquelles
aucunpremier
modéré de K seramifie.
· d’autre
part
l-1
familles infinies d’extensions,
dont les mem-bres L seramifient
en au moins unpremier
modéré de K.· Pour .~ et =
Zî,
les extensions L =K(
-W)
où 7 est unreprésentant
d’une classe du groupeE’K / E’K l
sont telles que laplace
sauvage t estramifiées
et que l’ordrehL
du groupe des classes de L estdivisible par .~ si et seulement si on a q -
f
2:: 1. Deplus,
il n’existequ’une
seulefamille
d’extensions dont les membres L ne seramifient
pas en t etdont l’ordre du groupe des classes est divisible par .~ si et seulement si on a q -
f
> 1. Pour toute autrefamille,
laplace
sauvage 1 estramifiée
etl’ordre
hL
associé aux membres estmultiple
de .~ si et seulement si on aq-f>~.
,e Pour 1
~’
hK
et;
Zi,
il e,x2ste une seule extension L =(où T
est nécessairement unreprésentant
d’une classe du groupeE’K/E’Kl)
non triviale et nonramifiée
en 1. L’ordrehL
de son groupe des classes est divisible par .~ si et seulement si on a q -f 2:
1. L-esautres extensions
cycliques
1-ramz,fiées
dedegré .~,
son,tramifiées
en laplace
sauvage ( et ont pour ordrehL
unmultiple
de .~ si et seulement sila
place
sauvage ( et euxaussi,
ont pour ordre unmultiple
hL
de 1 si etseulement si on a q -
f
> 1.,e Pour
llhk,
il existe uneunique
extension non traiviale et nonramifiées
L =K(
~
où T est nécessairement unreprésentant
d’une classe du groupeE’¡ç / E’¡ç £.
Et l’ordrehL
de son groupe des classes est divisible par.~ si et seulement si l’ordre
hK
l’est par.~2.
Les autres extensionscycliques
1-ramifiées
dedegré °,
sontramifiées
en laplace
sauvage 1 et ont pour ordrehL
unmultiple
de 1.Enfin,
les membres de toutes lesfamilles
seramifient
en laplace
sauvage 1 et euxaussi,
ont pour ordre unmultiple
hL
de £.BIBLIOGRAPHIE
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Florence SORIANO
Laboratoire de Mathématiques U.F.R. / S.F.A.
40 avenue du Recteur Pineau
86 022 POITIERS CEDEX, FRANCE e-mail : soriano@matpts.univ-poitiers