THÉORIE DES NOMBRES Années 1998/2001 BESANÇON
T h é o r i e d ' I w a s a w a d e s n o y a u x s a u v a g e s é t a l e s d ' u n c o r p s d e n o m b r e s
T. N G U Y E N Q U A N G D O
T h é o r i e d ' I w a s a w a d e s n o y a u x s a u v a g e s é t a l e s d ' u n c o r p s d e n o m b r e s
T h o n g N G U Y E N Q U A N G D O
A b s t r a c t
For a prime number p and a number field F which contains "sufficiently" (but of course finitely) many roots of unity, the higher étale wild kernels of F are ail canonically isomorphic.
§ 0 - I n t r o d u c t i o n :
D a n s u n e n o t e r é c e n t e ([So] ; voir aussi [JS]), F . Soriano-Gafiuk a m o n t r é que p o u r u n n o m - b r e p r e m i e r p et u n corps de n o m b r e s F c o n t e n a n t " s u f f i s a m m e n t " de racines p - p r i m a i r e s de l ' u n i t é et vérifiant la c o n j e c t u r e de Gross, le p-Sylow d u n o y a u sauvage H2F de F est i s o m o r p h e a u p - g r o u p e des classes "logarithmiques" C l ( F ) i n t r o d u i t p a r J . - F . J a u l e n t d a n s [J]. La d é m o n s t r a t i o n de [So] utilise les m é t h o d e s l o g a r i t h m i q u e s de [J] et s ' a p p u i e essentiellement sur u n i s o m o r p h i s m e c a n o n i q u e H2F ! p ~ C l ( F ) / p (en présence des racines 2p-ièmes de l ' u n i t é ) . O r cet i s o m o r p h i s m e est u n e conséquence i m m é d i a t e de la descrip- t i o n c o h o m o l o g i q u e d u K2 ([T], 5-1) et d u n o y a u sauvage ([Se], 6.1) ce qui laisse à p e n s e r q u e les m é t h o d e s cohomologiques p e r m e t t r a i e n t à p e u de frais (mais, bien sûr, en p e r d a n t l'aspect a l g o r i t h m i q u e des m é t h o d e s l o g a r i t h m i q u e s ) de r e t r o u v e r , et m ê m e de renforcer et généraliser le r é s u l t a t de [So]. C'est ce que l'on se p r o p o s e de faire d a n s la p r é s e n t e note, en r a p p e l a n t a u p a s s a g e le t h é o r è m e d'isomorpliisme de Schneider, qui ne n o u s semble p a s assez connu.
N o t a t i o n s D a n s t o u t e la suite, S = S ( F ) désignera l'ensemble des places de F divisant p et l'infini, et G s = G s [ F ) sera le g r o u p e de Galois sur F de l'extension algébrique S - ramifiée (i.e. n o n ramifiée en d e h o r s de S ) m a x i m a l e de F . P o u r j = 1 , 2 et p o u r i 6 Z , on considérera les g r o u p e s de cohomologie galoisienne H3 ( G s , Qp/ Zp( i ) ) et les g r o u p e s de cohomologie p - a d i q u e H * ( G s , ZP( i ) ) , où (•)(?) est le ih m e " t o r d u " à la T a t e ([T], § 3).
D é f i n i t i o n 0 . 1 Avec des n o t a t i o n s évidentes p o u r les groupes de cohomologie locaux, on pose I I l f { F ) : = ker ( H2( Gs( F ) , Zp( i ) ) ^ ® .u € S H2( FV, Zp( i ) ) ) , p o u r tout i e Z .
La t e r m i n o l o g i e d a n s la l i t t é r a t u r e n'est p a s très bien fixée p o u r ces n o y a u x de localisation (P. Schneider d a n s [Se] se réfère seulement à "gewisse G a l o i s c o h o m o l o g i e g r u p p e n " ) . P o u r i > 2, I I I(s \ F ) est usuellement appelé le ( 2 î - 2 )i è m e noyau sauvage étale ([K], [N] etc . . . ) . L ' a d j e c t i f "étale" dissimule la référence a u n o m b r e p r e m i e r p, m a i s l'adjectif "sauvage" est justifié p a r le fait que, p o u r i = 2, la c o n j e c t u r e de Q u i l l e n - L i c h t e n b a u m ( d é m o n t r é e d a n s ce cas p a r T a t e ) e n t r a î n e que I I I g ( F ) est c a n o n i q u e m e n t i s o m o r p h e à la p - p a r t i e d u
1
n o y a u sauvage d e F . P o u r i = 1, le corps de classes p e r m e t de m o n t r e r s a n s difficulté que I I I ^ \ F ) est i s o m o r p h e a u p - g r o u p e G l s ( F ) des 5-classes de diviseurs de F . P o u r t o u t i ^ 1, on a l ' i n t e r p r é t a t i o n suivante en t e r m e s de m o d u l e s d ' I w a s a w a :
D é f i n i t i o n 0 . 2 Soit X = lim C l s ( F ( / j ,pn ) ) où /j,pn désigne le groupe des racines pn- i è m e s de l'unité.
P a r le c o r p s de classes, X est i s o m o r p h e au g r o u p e de Galois sur F(ftpeo) de la pro-p- extension abélienne de F ( pp° ° ) qui est non-ramifiée, t o t a l e m e n t d é c o m p o s é e a u x places de F(fj,poo) a u - d e s s u s de p ( d o n c en t o u t e s les places), m a x i m a l e p o u r ces propriétés. Alors :
§ 1 - C o - d e s c e n t e :
Les n o y a u x de localisation p r é c é d e n t s p e u v e n t ê t r e décrits c o m m e m o d u l e s de co-descente T h é o r è m e 1 . 1 ([Se], § 6, l e m m a 1) Supposons que F contienne /J4 si p = 2. Alors pour tout i € ^ 1, n o u s avons u n isomorphisme canonique
I I I g \ F ) ~ X ( i — l ) p , où (-)r désigne les co-invariants p a r T = Gai (F(/j,poo ) / F ) .
Idée de la preuve : P a r la d u a l i t é de P o i t o u - T a t e , I I I % \ F ) est le d u a l de ker ( Hl( Gs( F ) , Q p / Zp( 1 - ® „es H1( FV, Qp/ Zp( l - i))). Les h y p o t h è s e s ( F contient /i4 si p = 2, et i 1) e n t r a î n e n t la trivialité cohomologique de Qp/ Zp( l — i)) p o u r l'action de T (lemme de T a t e ) , d ' o ù H1 ( G s ( T ) , Qp/ Zp( l - i)) ~ ^ ( G s i F i ^ ), Qp/ Zp( l - i ) ) )r p a r inflation.
O n conclut p a r la t h é o r i e de K u m m e r . • Remarque : À i s o m o r p h i s m e près, X r n'est a u t r e que le p - g r o u p e C1(.F) des classes loga-
r i t h m i q u e s , d o n t la définition d a n s [J] est en fait la t r a d u c t i o n " l o g a r i t h m i q u e " d ' u n e suite exacte d e S i n n o t t ([FGS], A p p e n d i x ) en théorie d u corps de classes (suite qui "remplace"
l ' i s o m o r p h i s m e d u t h é o r è m e 1.1 p o u r i = 1).
E n t e n a n t c o m p t e de la r e m a r q u e suivant 0.1, on p e u t p r o p o s e r la n o t a t i o n unifiée suivante : p o u r t o u t i e Z , K n F : = X ( i )r.
E x a m i n o n s d ' a b o r d les p r o p r i é t é s fonctorielles des n o y a u x H.2i(. ) d a n s la t o u r F ( pp^ ) / F . C o r o l l a i r e 1 . 2 Sous les hypothèses de 1.1, soit L / K u n e extension finie, de groupe de Galois G, c o n t e n a n t F et contenue dans F ( pp° ° ) . Alors, p o u r tout i G Z :
a) La co-descente naturelle (cohomologiquement, c'est la co-restriction) induit u n iso- m o r p h i s m e (H2% L )g c^ H i i K .
b) L ' e x t e n s i o n naturelle (cohomologiquement, c'est la restrict/ion) induit une surjection H2i K —H u g {H2i L ) , où l>g est la n o r m e algébrique de G.
P r e u v e :
( N o t o n s q u e sous nos h y p o t h è s e s , l'extension F ( ppca) / F est procyclique, d o n c G est f o r c é m e n t cyclique)
a) Avec des n o t a t i o n s évidentes, E n K = X ( i ) rK, E2i L = X ( i ) rL et G — T k / ^ l - La co-descente n a t u r e l l e é t a n t i n d u i t e p a r l'identité de X , l'assertion a) est évidente.
b) L ' e x t e n s i o n n a t u r e l l e est i n d u i t e p a r la n o r m e algébrique, c'est-à-dire qu'elle p r e n d place d a n s le triangle c o m m u t a t i f
X ( * ) rL > X ( i ) rL
cores \ r e s X ( i ) rK
C o m m e la co-descente est surjective, l ' i m a g e de l'extension est bien l ' i m a g e de vq- • R e m a r q u e : E n général, les p r o p r i é t é s de 1.2 ne r e s t e n t p a s valables en d e h o r s de la t o u r F { ( xp~ ) f F (voir e.g. [KM]).
Q u a n d i varie d a n s Z , les n o y a u x E n F n e sont p a s a priori liés. C e p e n d a n t :
C o r o l l a i r e 1 . 3 P o u r tout entier m tel que F contient ppm (resp. 4 si p = 2 et m = 1), p o u r tous i, j G Z , l'identité de X induit u n isomorphisme de modules galoisiens E2{ F j pm ~
( H2 )F / pm) ( 1 - 3 ) .
P r e u v e : Soit 7 u n g é n é r a t e u r topologique de T, et posons u> = 7 — 1. P a r définition, H2j F = ( X / u ^ X ) ( j ) , o ù est caractérisé p a r la nouvelle action 7 ^ ( . t ) = «(7)^ -y(x), k é t a n t le c a r a c t è r e cyclotomique. Si F contient ppm , alors « ( 7 ) = l ( m o d pm) , et d o n c les i d é a u x ( c Ji> , pm) et (u;<iï,pm) sont é g a u x d a n s l'algèbre d ' I w a s a w a Zp[[r]], d ' o ù l'égalité
des g r o u p e s - q u o t i e n t s X J { ^i\ pm) X = X / ( u j ^ K , pm) X . Q
P o u r p a s s e r des q u o t i e n t s m o d pm a u x m o d u l e s e u x - m ê m e s , on a besoin de certaines conjec- t u r e s classiques de la cohomologie galoisienne et de la théorie d ' I w a s a w a , qui a p p a r a i s s e n t sous diverses f o r m e s e.g. d a n s [Se], [N], etc. . . .
C o n j e c t u r e (Cj) P o u r tout i G Z , H2{ F est fini.
Il est c o n n u q u e le cas i = — 1 (resp. 0) c o r r e s p o n d à la c o n j e c t u r e de Léopoldt (resp.
Gross). P o u r i > 1, la c o n j e c t u r e (Ci) est vraie, à cause de la f i n i t u d e d u g r o u p e K2i ( O s ) (voir [Se], 6.6).
3
P o u r t o u t i 0, u n e f o r m u l a t i o n cohomologique de la c o n j e c t u r e (Ci) (voir e.g. [Se]) est que H2( GS( F ) , % / Zp( i + 1)) = 0.
O n r e t r o u v e (et généralise) facilement le r é s u l t a t principal de K e u n e , qui p e u t ê t r e considéré c o m m e u n e version "finie" de 1-2 a) :
C o r o l l a i r e 1 . 4 (cf. [Ke], t h m 6.6)
Supposons que F vérifie (Ci) et soit r un entier assez g r a n d p o u r que pr a n n u l e H 2 i F et q u ' a u c u n e place au-dessus de p ne se décompose dans l'extension F(p,poo ) / F ( p ,pr ) . P o s o n s E = F ( p ,pr ) et G — G a i ( E / F ) . On a u n isomorphisme de modules galoisiens H2 t F ~
( ( C l s ( E ) / pr) ( i ) )G, où C l s ( E ) désigne le groupe des S - c l a s s e s d'idéaux de E .
P r e u v e : D ' a p r è s 1.2, H n F ~ ( H2i E ) G — ( H 2 i E )G/ pr • Pa r définition et d ' a p r è s 1a, d u a l i t é de P o i t o u - T a t e , ( H2i E )G/ pr est le d u a l de pr K e r l ( E , Qp/ Zp( - i ) )G où
K e r ^ - E , Q p / Zp( — i ) ) désigne le n o y a u de la localisation
H1( GS( E ) , Qp( Zp( ~ i ) ) ®v £ SH1{ Ev, % / Zp( - i ) ) et pr ( . ) la pr- t o r s i o n . À p a r t i r de la s u i t e exacte 0 Z / prZ ( - ï ) % / Zp( - i ) % / Zp( - i ) 0 et avec l ' h y p o t h è s e s u p p l é m e n t a i r e de n o n d é c o m p o s i t i o n , il est i m m é d i a t de voir que pr
est le n o y a u de la localisation Hl{ Gs{ E ) , Z / prZ ( - i ) ) © « g s ^1 ^ , Z / prZ ( - i ) ) . Mais H1( GS( E ) , Z / prZ ( ~ i ) ) = H o m ( GS( E ) , Z / prZ ) ( - i ) , et p a r le corps de classes, le n o y a u p r é c é d e n t est le d u a l de ( C l s { E ) / pr) ( i ) . E n r é s u m é , H2%F ~ ( ( C l s ( E ) / pr) ( i ) ) G, c o m m e
a n n o n c é . • O n é t u d i e aussi facilement le cas o ù F contient " s u f f i s a m m e n t " de racines de l ' u n i t é ([So],
[JS]).
C o r o l l a i r e 1 . 5 (cf [So], ou [JS], théo. 7-i))
Supposons que H n F est a n n u l é p a r ps et que F contient /ups+i. Alors p o u r tout j G Z , l'identité de X induit un isomorphisme de modules galoisiens H2i F ~ ( H2j F ) ( i — j ) .
P r e u v e : C ' e s t évident, d ' a p r è s 1.3. • C o r o l l a i r e 1 . 6 (cf. [JS], théor. 7-ii))
Si H2i F est a n n u l é p a r ps m a i s F contient s e u l e m e n t fjp*, suppsons en outre que l'extension H2i F —> H2iF(pv>>+1) est injective. Alors, p o u r tout j G Z , l'identité de X induit un i s o m o r p h i s m e de modules galoisiens H2i F ~ ( H2j F ) ( i — j ) .
P r e u v e : P o s o n s E = F(pLp.+1) et G = Gai ( E / F ) .
Si l ' e x t e n s i o n H2i F ( H2i E )G est injective, elle est également surjective, car ( H2i E )G
et ( H2i E ) g — H2i F ont m ê m e o r d r e (le g r o u p e G é t a n t cyclique). Alors, d ' a p r è s 1-2 b), on a H2 i F uG( H2 i E ) .
P o u r t o u t j G Z , n o t o n s V ^ l ' e n d o m o r p h i s m e de H2j E / ps + 1 o b t e n u à p a r t i r de v q p a r p a s s a g e a u q u o t i e n t m o d u l o C o m m e s les F ^ sont c o n g r u s e n t r e eux m o d u l o ps + 1. on a, avec des n o t a t i o n s évidentes, u n d i a g r a m m e c o m m u t a t i f
—(j)
H2 jE / ps + 1 — H- I m i W
l\ Il H2 i E / ps + 1 ( j - i) V b ) ) > I m ï W
cor es r e s ( H2 iF ) ( j - i)
qui m o n t r e q u e v ^ a d m e t u n e section, égale à l'application r ë s- 1 suivie d u "twist" ( j — i) de la c o m p o s é e H2 t F ^ H2 i E H2 iE / ps + 1. D o n c H2 jE / ps + 1 ~ H2 i F ( j - i) 0 K e r F ^ . M a i s le d i a g r a m m e m o n t r e aussi que K e r F ^ est i s o m o r p h e à l ' i m a g e p a r cores de ps H2j E / ps + 1 H2j E , d o n c est a n n u l é p a r p (cette dernière p r o p r i é t é est bien connue,
voir e.g. [KM], [T], . . . ) . P a r suite, H2 j E est a n n u l é p a r ps. •
R e m a r q u e : L ' h y p o t h è s e d ' i n j e c t i v i t é de 1.6 est "expliquée" en 2.9 ci-dessous.
§ 2 - D e s c e n t e :
O n a v u que, p a r c o n s t r u c t i o n même,les n o y a u x H2i ( . ) se c o m p o r t e n t bien vis-à-vis de la co-descente galoisienne (i.e. en p r e n a n t les co-invariants) d a n s la t o u r F(/i,p-x ) / F . O n n e p e u t n a t u r e l l e m e n t p a s en a t t e n d r e a u t a n t p a r descente galoisienne (i.e. en p r e n a n t les invariants), à cause de p h é n o m è n e s de c a p i t u l a t i o n . Il convient alors de modifier légèrement les n o y a u x H2i ( . ).
L e m m e 2 . 1 - d é f i n i t i o n
On garde les n o t a t i o n s du § 1. Soit X ° le sous-module fini m a x i m a l de X . P o u r tout i E Z t.q, F vérifie la conjecture (Ci), ( X ° ( i ) ) r s'injecte dans X ( i ) r , et l'on notera H2i F = X ( î ) r le conoyau.
P r e u v e : E n p o s a n t X = X / X ° , la suite exacte 0 X ° ( i ) X ( i ) -> X ( i ) ->• 0 d o n n e p a r co-clescente u n e suite exacte . . . - » X ( ï f —V X ° ( i ) r —> - Y ( 0 r X ( i ) r - » 0. O r le A-module de torsion X ( i ) a m ê m e série c a r a c t é r i s t i q u e q u e X ( i ) et n ' a p a s de s o u s - m o d u l e
fini n o n nul. La c o n j e c t u r e (Ci) signifie que X ( i )T est fini, d o n c nul. • D é f i n i t i o n 2 . 2
R a p p e l o n s q u e p o u r u n A - m o d u l e de torsion Y, le co-adjoint j3(Y) est défini c o m m e é t a n t le conoyau de la localisation : Y —> © Y<p, où p a r c o u r t t o u s les i d é a u x p r e m i e r s de h a u t e u r 1 de A. C ' e s t le d u a l de l ' a d j o i n t a ( Y ) a u sens d ' I w a s a w a ([Iw], 1.3). O n sait que p o u r t o u t e suite admissible d ' é l é m e n t s 7rn € A (i.e. les rcn sont disjoints d u diviseur de Y
et convergent vers 07 et 7xn divise 7r„+i p o u r t o u t n)7 J3(Y) ~ lim Y / nnY E n particulier,
—•
si p,(Y) = 0, la suite des pn est admissible, et /3(Y) n'est a u t r e que Y ® Qp/ Zp.
N o t o n s Eo = F , En — F (/Upn) et E ^ = F ( nP° o ) . Nous dirons que Eoq vérifie la conjecture (Ci) si t o u s les En (n > 0) vérifient (Ci) (il s'agit en fait d ' u n e p r o p r i é t é "finie", qu'il suffit de vérifier p o u r t o u t n < \ ( X ) ) . N o t r e b u t p r i n c i p a l va ê t r e de m o n t r e r le r é s u l t a t suivant, qui fait p e n d a n t a u t h é o . 1.1 de Schneider :
T h é o r è m e 2 . 3
P o u r tout i G Z tel que Eoo vérifie la conjecture (Ci), on a u n isomorphisme canonique H2 i F ~ P ( X ) ( t )r, o ù T = Gai ( E o c / F ) .
La d é m o n s t r a t i o n va se faire p a r u n e succession de lemmes. N o t o n s H2 t Eco = lim H n En, H2i E0o — lim H—> 2i En (les m o r p h i s m e s de liaison é t a n t les extensions naturelles) et
Cap( < ) ( E œ / En) = K e r ( H2 l En E2 l £ « , ) , L e m m e 2 . 4
D a n s les hypothèses de 2.3, on a :
a) des i s o m o r p h i s m e s H2i Eoo = H2i E ^ ~ (3(X(i)) b) u n i s o m o r p h i s m e H2i F ~ ^ H2i E ^
c) un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f (comparer à [KM], S.6)
0 -> C a p W ^ o o ) - > H2 lF - ^ ( f f o E o o ) - > 0 t l || t i
0 - + h2 i F - + 0 ,
les flèches verticales étant induites p a r l ' h o m o m o r p h i s m e d'extension.
P r e u v e :
D a n s a), l ' i s o m o r p h i s m e H2i E0 0 — (5(X(i)) résulte i m m é d i a t e m e n t de la c o n j e c t u r e (Ci) p o u r Eoo et de la description d u co-adjoint. P o u r l'égalité H2i E ^ = H2i E ^ , il suffit de r e m a r q u e r q u e l ' e x t e n s i o n n a t u r e l l e X ( « ) rn —> X ( i ) rm ( p o u r m > n ) n'est a u t r e que la
p™ — 1 m u l t i p l i c a t i o n p a r n—
— , d o n c a n n u l e le s o u s - m o d u l e fini b o r n é X ° ( i ) r ,l p o u r rn n 0. — 1
P o u r m o n t r e r b), n o t o n s d ' a b o r d que l'extension X ( i ) rn X ( i ) rr n est injective : c'est u n calcul i m m é d i a t , en utilisant la nullité de ^T(î)r'n (qui résulte de la c o n j e c t u r e (Ci) et de la nullité de X ° ) . Soit Gm,
n — rm/ r „ . C o m m e c'est u n g r o u p e cyclique, les invariants
X ( i ) p , ce qui m o n t r e que H2i F ^ H2i (Eoo)F p a r passage à la limite. L ' a s s e r t i o n c)
est alors évidente. •
L ' é t a p e s u i v a n t e est p u r e m e n t algébrique : elle consiste à m o n t r e r que les f o n c t e u r s "co- a d j o i n t " et "twist" c o m m u t e n t . P l u s p r é c i s é m e n t :
L e m m e 2 . 5
P o u r tout i e Z , (3(X(i)) ~ P ( X ) ( i ) . P r e u v e :
Soit (7rn) u n e suite admissible p o u r X . Alors (3(X)(i) ~ lim ( X / i rnX ) ( i ) . Mais
{ X / 7r„ X ) ( i ) = X ( i ) / i r(-i ) X ( i ) , avec des n o t a t i o n s qui s'expliquent d'elles-mêmes ( c o m m e d a n s la p r e u v e de 1.3). E v i d e m m e n t , (ni. ?'>) est u n e suite admissible p o u r d ' o ù le
r é s u l t a t cherché. • Le t h é o r è m e 2.3 résulte i m m é d i a t e m e n t des l e m m e s 2.4 et 2.5.
C a s p a r t i c u l i e r s :
i) Si le s o u s - m o d u l e fini m a x i m a l de X (c'est u n n o y a u de c a p i t u l a t i o n ) est nul, on p e u t r e m p l a c e r H2i F p a r H2i F d a n s t o u s les r é s u l t a t s précédents.
ii) S'il n ' y a q u ' u n e seule place au-dessus de p d a n s Eq et qu'elle est t o t a l e m e n t ramifiée d a n s E0 c, on sait q u e X \n est i s o m o r p h e a u p - g r o u p e des S-classes de En, donc 8 ( X ) est i s o m o r p h e a u p - g r o u p e des S-classes de Eoo-
O n p e u t d é d u i r e d u t h é o r è m e 2.3 des conséquences parallèles à celles q u ' o n a tirées d u t h é o r è m e 1.1.
C o r o l l a i r e 2 . 6
D a n s les hypothèses de 2.3, soit L / K u n e extension finie, de groupe de Galois G, c o n t e n a n t F et contenue dans E0 0. Alors H n L est cohomologiquement trivial pour G, et H2i L et C a p ^ ^ E o o / L ) ont m ê m e cohomologie.
P r e u v e :
P a r définition, la co-descente induit u n i s o m o r p h i s m e ( H2i L ) a —> H2i K . D ' a p r è s 2.4, l'extension i n d u i t u n i s o m o r p h i s m e H2i K -> ( H2i L )G, d ' o ù l'on d é d u i t , en r e p r e n a n t le r a i s o n n e m e n t d e 1.2, que UG(H2i L ) — ( H2i L )G. C o m m e G est cyclique, la trivialité coho- mologique de F i n L en découle i m m é d i a t e m e n t . L a dernière assertion est alors évidente.
•
C o r o l l a i r e 2 . 7
P o u r tout entier m tel que F contient p,pm (resp. 4 ^ P — 2 et m = 1), pour tous i , j Ç Z tels que Eoo vérifie (Ci) et ( C j ) , on a un isomorphisme de modules galoisiens
7
P r e u v e : c'est évident, en utilisant 2.3. • C o r o l l a i r e 2 . 8
Supposons que Eco vérifie (Ci) et soit ps l'exposant de H2i F . P o s o n s E — F([AP») et G = G a i ( E / F ) . On a u n isomorphisme de modules galoisiens H2i F ~ Ç , * C l ( E ) (i)^j , où C l ( . ) désigne le groupe des classes logarithmiques (voir la remarque suivant 1.1).
P r e u v e : D ' a p r è s 2.3, ps H2 iF ~ { p . H ï i E ^ * et d ' a p r è s 2.7, p* H2 iE ~ p* H0E ( i ) =
ps C l ( E ) ( i ) . •
C o r o l l a i r e 2 . 9
Supposons que Eqo vérifie (Ci) et que F contient fips, où ps est l'exposant de H2{ F . Si Ea 0
vérifie également ( C j ) , on a u n isomorphisme de modules galoisiens H n F ~ ( H2j F ) ( i ~ j ) .
P r e u v e : C ' e s t la m ê m e d é m o n s t r a t i o n q u e d a n s 2.8, en r e m p l a ç a n t Ho p a r H2j . •
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L a b o r a t o i r e de M a t h é m a t i q u e s U M R 6623
Université de F r a n c h e - C o m t é 25030 Besançon Cedex
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