Classes logarithmiques signées des corps de nombres∗

Classes logarithmiques signées des corps de nombres

Jean-François Jaulent

Version corrigée

Résumé. Nous dénissons le 2-groupe des classes logarithmiques signées d'un corps de nombres par analogie avec le groupe des classes d'idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de l'arithmétique des classes logarithmiques signées.

Abstract. We introduce the signed logarithmic 2-class group of a number eld as a cy- clotomic analogue of the restricted ideal class group and we establish the fundamental results of the arithmetic of signed logaritmic classes.

Introduction

Le`-groupe des classes logarithmiques d'un corps de nombres a été introduit dans [J1] en liaison avec les noyaux des`-symboles sauvages de laK-théorie.

On peut dire schématiquement que son interprétation via la théorie`-adique du corps de classes (cf. [J2]) revient, par rapport à celle classique du`-groupe des classes d'idéaux, à substituer la notion d'extension (localement) cyclotomique à celle d'extension (localement) non ramiée : pour chaque place niep du corps de nombre K considéré, le complété Kp de K en p admet entre autres deux Z`-extensions remarquables, la non ramiée K<sub>p</sub><sup>nr</sup> et la cyclotomique K<sub>p</sub><sup>c</sup>, qui se trouvent coïncider lorsquepne divise pas`, mais dièrent substantiellement dans le cas contraire ; et le passage du cas classique au cas logarithmique revient à échanger leurs rôles respectifs. En d'autres termes, la dénition des groupes de classes au sens logarithmique consiste à remplacer la valuation habituellev_p dénie sur le compactiéRp deK_p^×à valeurs dansZ`, qui induit le plongement naturel deR<sub>K</sub> =Z`⊗_ZK^× dans le`-groupe des idéaux I<sub>K</sub> =L p<sup>Z`</sup>, par son analogue logarithmiqueev_p déni à partir du logarithme de la valeur absolue`- adique attachée à la place niep.

Lorsque ` vaut 2, il est possible d'aner cette dénition pour prendre en compte la contribution des places réelles : on tombe alors sur la notion de classes logarithmiques au sens restreint introduite dans [S2] par analogie avec la notion habituelle de classes d'idéaux au sens restreint. Tout bien considéré, il apparaît cependant que cette dernière notion n'est pas totalement aboutie :

∗J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), 455474 & 14 (2002), 15.

s'il est vrai que c'est le concept d'extension localement cyclotomique qui est au coeur de la théorie, il faut considérer que la notion de "signe" ne concerne pas seulement alors les places réelles . Pour` = 2, en eet, la pro-`-extension cyclotomiqueKp[ζ2^∞]d'un corps localKpn'est pas toujours uneZ`-extension : cela est clair pour les places réelles, pour lesquellesKp[ζ2^∞] = Cest de degré 2 surK_p =R ; mais cela se produit aussi pour les places 2-adiques, où il peut arriver que laZ2-extension cyclotomiqueK_p^c deK_p ne contienne pas les racines quatrièmes de l'unité, auquel cas K_p^c[i] est encore de degré 2 sur K_p^c, ce qui se traduit par l'existence d'une fonction "signe" aux places 2-adiques. D'où l'intérêt , à l'image de ce qui a été fait dans [AJ] pour les corps de fonctions, de généraliser proprement le concept de classes logarithmiques signées en cohérence avec les correspondances données par la théorie 2-adique du corps de classes.

1. Fonction signe attachée à une place non complexe

Le nombre premier ` = 2 étant désormais xé, nous utilisons dans ce qui suit le formalisme de la théorie`-adique du corps de classes tel qu'exposé dans [J₂].

Rappelons qu'en chaque place non complexepd'un corps de nombresK est déni sur le compactié 2-adique Rp = lim

←−K_p^×/K_p^×2n du groupe multiplicatif K_p^× du complété deK en pune valeur absolue 2-adique, à valeurs dansZ^×2 = 1 + 2Z2, donnée par la formule :

|x|p =







sg_p(x) sip est réelle, Np^−vp(x) pourp-2∞, N_Kp/Q2(x)Np^−vp(x) enn, pourp|2.

Dans celle-ci, sg_p(x)est la fonction signe attachée au plongement réel cor- respondant à la place p ; Np est la norme absolue de l'idéal p ; et v_p est la valuationp-adique attachée àp.

La famille(| |p)_pdes valeurs absolues 2-adiques lorsquepparcourt l'ensemble des places non complexes deK peut ainsi être regardée comme un morphisme sur le 2-groupe des idèlesJ_K = Qres

p R_pà valeurs dansZ^×2 ; et il est bien connu (cf. [J₃], prop. 1.8.) que les idèles principaux, i.e. les éléments du tensorisé 2- adiqueRK =Z²⊗_ZK^×regardé comme sous-groupe deJK, vérient la formule du produit :

∀x∈ RK

Y

p

|x|p = 1.

Maintenant, la décomposition canoniqueZ^×2 ' {±1} ×(1 + 4Z2) ' F2⊕Z2

permet d'écrire tout élémentxdeZ^×2 comme produit de son signeε(x)∈ {±1}

et de sa composante "positive"ε(x)x∈1+4Z². Cette observation naïve conduit à étendre comme suit la notion de signe aux places non réelles :

Dénition 1. Nous appelons fonction signe attachée à une place non complexe p de K l'application à valeurs dans {±1} dénie sur le compactié 2-adique

Rp = lim

←−K_p^×/K_p^×2n du groupeK_p^× par la formule : sg_p(x) = ε(|x|p), oùεest la fonction signe canonique surZ^×2.

Il est commode de dire qu'une place est signée lorsque la fonction signe at- tachée est non trivale. Les places réelles sont évidemment signées. Plus générale- ment :

Proposition 2. SoitP lS l'ensemble des places signées du corps K. On a : p∈P lS ⇐⇒ i6∈Kp.

Preuve. Il s'agit de vérier que la fonction signesg_p est triviale si et seulement si le complétéK_pcontient les racines 4-ièmes de l'unité ; ce qui est bien évident pour les places à l'inni. Pour les places nies, distinguons :

Sip est impaire (i.e. p-2), il vient directement : p6∈P lS ⇔ Np≡1 [mod4] ⇔ i∈Kp.

Si p est paire (i.e. p| 2), introduisons la 2-sous-extension maximale K_p⁰ de Kp abélienne surQ2, et observons que le groupe de normes (dans le compactié proni R2 de Q^×2) associé à l'extension abélienne Q2[i]/Q2 par la théorie `- adique locale du corps de classes est(1 + 4Z2) 2^Z2. Nous obtenons donc : i∈Kp ⇔ Q2(i)⊂K_p⁰ ⇔ (1 + 4Z2) 2^Z2 ⊃NK_p/Q2(Rp)⇔ sg_p(Rp) ={+1}, comme annoncé.

Corollaire 3. Nous disons que le corps K est signé lorsqu'il existe au moins une placep deK qui est signée ; ce qui a lieu si et seulement si on a i6∈K. Preuve. Le théorème deCˇebotarev montre qu'un corps signé admet une innité de places signées : ce sont celles qui ne se décomposent pas dans l'extension quadratiqueK[i]/K.

Nous supposerons implicitement dans tout ce qui suit queK est signé. En fait, nous allons même faire apparaître une condition plus forte, celle de corps lo- garithmiquement signé, en dehors de laquelle la dénition des classes signées est de peu d'intérêt. Nous avons besoin pour cela d'introduire la notion d'élément totalement positif (au sens logarithmique).

Dénition 4. Nous appelons sous-groupe des éléments positifs de Rp et nous notons R⁺p, le noyau dans Rp de la fonction signe sg_p. Le 2-groupe R⁺p est donc d'indice 2 dansRp sip est signée ; il coïncide avecRp sinon.

Le sous-groupe Ue_p⁺ = Uep∩ R⁺_p (où Uep = {xp ∈ Rp| |xp|p = ±1}) est le groupe des unités logarithmiques positives dansRp ; c'est aussi le noyau dans Rp de la valeur absolue p-adique| |p.

Enn, le produit Ue_K⁺ = Q

p Ue_p⁺ est ainsi le sous-groupe de UeK = Q

p Uep

formé des unités logarithmiques (locales) positives.

Remarque. Aux places nies impaires, nous avonsUe_p⁺=Uep ; aux places réelles, Uep=Rp={±1}etUep⁺=R⁺p = 1; aux places paires mais non signées,Uep⁺=Uep

etR⁺p =Rp ; enn, aux places signées paires, il faut distinguer :

(i) pouri∈K_p^c, le groupeGal(K_p^c[i]/K_p)' R_p/Ue_p⁺est procyclique, isomor- phe àZ2, ce qui permet d'écrire :

Rp=Ue_p⁺ π^Z2 et R⁺_p =Ue_p⁺ π^2Z2, avec Rp/R⁺_p 'F² et Uep/Ue_p⁺'1 ; (ii) pour i 6∈ K_p^c, le groupe Gal(K_p^c[i]/Kp) ' Rp/Ue_p⁺ est bicyclique, iso- morphe à Z2⊕F2, de sorte que l'on a : Uep = < _p > Uep⁺, pour une unité logarithmique_p6∈Ue_p⁺ dont le carré est dansUe_p⁺, puis :

Rp=Uep π_p^Z2 et R⁺_p =Ue_p⁺ π^Z_p², avec πp∈ R⁺_p et Rp/R⁺_p 'Uep/Ue_p⁺'F2 . Notons que lorsque [Kp : Q2] est impair, il vient sg_p(−1) =| −1|p =−1, ce qui permet de choisirp=−1 et donneRp ={±1} Uep⁺ πp^Z2 avecπp∈ R⁺p. Ce choix est, bien entendu, impossible lorsque[K_p:Q2]est pair.

Dénition & Proposition 5. Nous appelons logarithmiquement signées celles des places du corpsK qui vérient i6∈K_p^c. L'ensembleP LS_K des places deK qui sont logarithmiquement signées est donc formé :

(i) des places réelles d'une part,

(ii) et de celles des places 2-adiques pour lesquelles le groupe de Galois Gal(K_p^c[i]/Kp)n'est pas procyclique, d'autre part.

Preuve. Pour chaque place p de K, notonsK_p^c l'extension locale associée à la Z2-extension cyclotomique deK. Il s'agit de caractériser les conditions locales i∈K_p^c. Or :

(i) pourpnie impaire, la conditioni∈K_p^cest automatiquement satisfaite ; (ii) pour p innie, nous avons K_p^c =K_p et la condition précédente s'écrit tout simplementKp=C;

(iii) pour p nie et paire, enn, il peut arriver que le groupe |Rp|p ' Gal(K_p^c[i]/Kp)ne soit pas procyclique (i.e. que|Rp|p contienne−1) ; ce cas se produit si et seulement si on ai /∈K_p^c .

Dénition 6. Par groupe des signatures logarithmiques d'un corps de nombres K, nous entendons le F2-espace vectoriel déni par :

Sg`K =UeK/Ue_K⁺=⊕p Uep/Ue_p⁺=⊕p∈P LSK Rp/ R⁺_p qui a pour dimension le nombres_K de places deP LS_K.

Lorsque s_K n'est pas nul, nous disons que le corps K est logarithmique- ment signé ; ce qui a lieu si et seulement si l'extensionK^c[i]/K^c attachée à la Z2-extension cyclotomique K^c de K n'est pas localement triviale partout , en d'autres termes si et seulement si l'élémenti n'appartient pas à la 2-extension abélienne localement cyclotomique maximaleK^lc deK.

Il est alors commode de poserUe_K^∗ ={(up)p ∈UeK | Q

p|up |p= +1} et Sg`g_K =Ue_K^∗/Ue_K⁺=⊕ep Uep/Ue_p⁺=⊕e_{p∈P LSK} Rp/ R⁺_p

en indiquant par un tilde la restriction induite par la formule du produit.

Exemple. Les corps quadratiques logarithmiquement signés sont les corps quadra- tiques réels et les corps quadratiques imaginairesQ[√

−d]avecd6= 1,2 [mod8]. 2. Construction du 2-groupe des classes logarithmiques signées

Rappelons que la valuation logarithmiqueevp attachée à une place niepest dénie sur le compactié 2-adiqueRp deKp^× par la formule :

evp(x) =− |x|p/degp,

oùdegp est choisi de telle sorte queevp(Rp)soit égale à Z2 (cf. [J1], Déf 1.1).

Le noyauUep deevp est, par dénition, le sous-groupe des unités logarithmiques deRp ; il coïncide avec le sous groupe de torsionUp=µp deRp pour p-2∞, mais en dière généralement sinon.

Introduisons maintenant le 2-adiéJK =Qres

p Rp du groupe des idèles de K ; écrivonsJeK le sous-groupe des idèles de degré nul (i.e. l'image réciproque de{±1} par l'application Q

p| |_p) ; et notonsUe_K =Q

pUe_p le sous- groupe des unités logarithmiques locales. Le quotient

D`fK =JeK/UeK =⊕p Z2 p

est le 2-groupe des diviseurs logarithmiques (de degré nul) du corpsK; on peut le regarder comme l'ensemble des combinaisons linéairesP

pνppde places nies deK à coecients dansZ2qui satisfont la condition de degréP

pνpdegp= 0. L'image P`fK dans D`fK du 2-groupe des idèles principaux RK = Z2⊗_ZK^× (considéré comme un sous-groupe deJeK) est alors, par dénition, le 2-groupe des diviseurs logarithmiques principaux. La condition de degré mise à part, le quotient

fC`<sub>K</sub> =D`f_K/P`f_K

peut être tenu comme l'analogue logarithmique du 2-groupe des classes d'idéaux du corpsK. C'est le 2-groupe des classes logarithmiques du corps considéré. Il est d'ailleurs ni sous les conjectures`-adiques standard (cf. [J1]) et s'interprète par la théorie 2-adique du corps de classes comme groupe de Galois Gal(K^lc/K^c) attaché à la 2-extension abélienne localement cyclotomique maximaleK^lcdeK relativement à laZ2-extension cyclotomiqueK^c.

Pour construire le 2-groupe des classes logarithmiques au sens restreint, il est tentant de procéder par analogie avec le cas classique en remplaçant sim- plement le sous-groupe principal P`f<sub>K</sub> au dénominateur de fC`_K par le sous- groupe P`f⁺_K engendré par les seuls éléments totalement positifs (au sens loga- rithmique). Malheureusement la formule du produit pour les valeurs absolues

introduit ici une complication supplémentaire dont il est indispensable de tenir compte scrupuleusement pour respecter la cohérence avec les isomorphismes du corps de classes global. Précisons ce que nous entendons par là :

Dénition 7. Dans un corps logarithmiquement signé K, nous disons qu'un idèle de degré nul(xp)p∈JeK est :

(i) globalement positif, lorsqu'il satisfait la formule du produit pour les fonc- tions signessg_p. Le groupe des idèles globalement positifs est ainsi :

Je_K^∗ ={(xp)p∈JeK | Q

psg_p(xp) = +1}={(xp)p∈ JK | Q

p|xp |p = 1}. Son sous-groupe unité (au sens logarithmique) est de même :

Ue_K^∗ =UeK∩Je_K^∗ ={(up)p∈UeK | Q

psg_p(up) = +1}.

(ii) logarithmiquement positif, lorsqu'il est d'image triviale dans le groupe des signaturesSg`K. Le groupe des idèles logarithmiquement positifs est ainsi :

Je_K⁺={(xp)p∈JeK | sg_p(xp) = +1 ∀p∈P LSK}. Son sous-groupe unité (au sens logarithmique) est de même :

Ue_K⁺=UeK∩Je_K⁺={(up)_p ∈UeK | sg_p(u_p) = +1 ∀p∈P LS_K}.

(iii) totalement positif, lorsqu'il l'est globalement et logarithmiquement. Le sous-groupe des idèles totalement positifs est ainsi :

Je_K^∗+=Je_K^∗ ∩Je_K⁺={(x_p)_p ∈Je_K^∗ | sg_p(x_p) = +1 ∀p∈P LS_K}. En particulier, le groupe des éléments globaux totalement positifs est le noyau R⁺_K =RK∩Je_K⁺ dansRK du morphisme signaturesglK à valeurs dansSg`K. Remarques.

(i) On prendra garde que les idèles totalement positifs sont pris dansJe_K^∗, et qu'ils vérient donc la condition de positivité globale Q

psg_p(xp) = +1. Les idèles principaux sont, eux, globalement positifs en vertu de la formule du produit pour les valeurs absolues.

(ii) On a bien Ue_K⁺ ⊂ Ue_K^∗ et RK ⊂ Je_K^∗ mais non Je_K⁺ ⊂ Je_K^∗, le quotient Je_K⁺/Je_K^∗+'Je_K/Je_K^∗ 'Gal(K^c[i]/K^c)étant d'ordre 1 ou 2.

(iii) Dans la correspondance du corps de classes, JeK est le groupe de normes attaché à laZ2-extension cyclotomique globale K^c ; tandis que son sous- groupe UeKRK correspond à la 2-extension abélienne localement cyclo- tomique maximaleK^lc. De façon semblable,Je_K^∗ correspond à la 2-extension cyclotomiqueK^c[i]et le sous-groupeUe_K^∗RK =UeKRK∩Je_K^∗ à l'extension composéeK^lc[i].

Lemme 8. On a l'identitéJe_K^∗ =Je_K^∗+RK, d'où l'isomorphisme entre quotients : Je_K^∗/Ue_K⁺RK ' Je_K^∗+/Ue_K⁺R⁺_K.

Preuve. L'égalité annoncée est une conséquence facile du théorème d'approxima- tion simultanée ; l'isomorphisme en résulte immédiatement puisqu'on a :

Je_K^∗+∩ Ue_K⁺RK =R⁺_K.

Dénition & Proposition 9. SoitK un corps de nombres quelconque.

(i) Nous appelons 2-groupe des classes logarithmiques signées le quotient gC`sK = Je_K^∗/Ue_K⁺RK ' Je_K^∗+/Ue_K⁺R⁺_K.

(ii) En termes de diviseurs, le groupeC`sgK s'identie d'une part au quotient gC`sK ' D`sgK/Pg`sK

du 2-groupe des diviseurs logarithmiques signés de degré nul D`sgK =Je<sub>K</sub><sup>∗</sup>/Ue<sub>K</sub><sup>+</sup> par son sous-groupe principalP`sgK =RKUe_K⁺/Ue_K⁺ ; et d'autre part au quotient

gC`s<sub>K</sub> ' D`f^∗_K/Pf`⁺_K

du 2-groupe des diviseurs logarithmiques globalement positifs D`f<sup>∗</sup><sub>K</sub> =Je<sub>K</sub><sup>∗+</sup>/Ue<sub>K</sub><sup>+</sup> de degré nul par son sous-groupe principal totalement positifPf`⁺_K=R⁺_KUe_K⁺/Ue_K⁺. (iii) Et la théorie 2-adique du corps de classes interprète le groupe de classes logarithmiques signées comme groupe de Galois relatif

gC`sK 'Gal(K^lcs/K^cs)

de la plus grande pro-2-extension abélienne K^lcs du corps K qui est complète- ment décomposée surK^cs=K^c[i] en chacune de ses places.

Preuve. Les isomorphismes énoncés résultent directement du Lemme 8. Cela étant, comme expliqué plus haut, le groupe Je_K^∗ xe K^cs ; et le sous-groupe Ue_K⁺R_K xeK^lcs. D'où les interprétations annoncées.

Remarques. Nous n'avons pas fait ci-dessus d'hypothèse de signature surK : (i) Pouri∈K^c, on a banalement Je_K^∗ =JeK etUe_K⁺ =UeK, d'où l'identité :

gC`sK =fC`K ;

et la notion de signe n'apporte rien par rapport à la construction de [J1].

(ii) Pour i ∈K^lc\K^c, en revanche, on a (Je_K :Je_K^∗) = 2 et Ue_K⁺ =Ue_K, de sorte quegC`s<sub>K</sub> est alors d'indice 2 dansfC`_K, lequel est donc non trivial ici.

(iii) Pouri /∈K^lc, enn (c'est à dire pourKlogarithmiquement signé), on a (JeK:Je_K^∗) = 2maisUe_K^∗ 6=UeK doncJeK=Je_K^∗UeK, d'où la suite exacte courte :

1−→Sg`g<sub>K</sub> −→D`sgK −→D`fK −→1. Plus précisément dans ce cas :

Corollaire 10. Dans un corps logarithmiquement signé, diviseurs logarith- miques signés et diviseurs au sens ordinaire sont liés par la suite exacte courte :

1 −−−−→ Sg`g<sub>K</sub> −−−−→ D`sgK −−−−→ D`fK −−−−→ 1

1 −−−−→ Ue_K^∗/Ue_K⁺ −−−−→ Je_K^∗/Ue_K⁺ −−−−→ Je_K/Ue_K −−−−→ 1

En particulier, le noyau Sg`g<sub>K</sub> de la formule du produit dans le 2-groupe des signatures Sg`_K s'identie au sous-groupe de torsion de D`sg<sub>K</sub> ; et D`f_K au quotientD`sgK/Sg`g_K, de sorte qu'on a (non canoniquement) :

D`sgK'D`fK⊕Sg`g_K.

Remarque. Même lorsque les places 2-adiques ne sont pas signées, le 2-groupe des classes signéesC`sgK ne coïncide donc pas en général avec le 2-groupe des classes logarithmiques au sens restreint fC`^res_K déni dans [S2], du fait de la condition de positivité globale introduite dans la dénition 9.

Comme dans le cas classique, le groupe des classes signées est un invariant arithmétique plus n que son homologue au sens ordinaire. Plus précisément, si EeK=RK∩UeK désigne le groupe des unités logarithmiques (globales) du corps KetEe_K⁺ =R_K∩Ue_K⁺son sous-groupe totalement positif (au sens logarithmique), on a une suite exacte canonique :

1−→EeK/Ee_K⁺−→Sg`g<sub>K</sub>−→C`sgK −→fC`K −→1.

En particulier, il suit :

Proposition 11. Sous la conjecture de Gross généralisée, le 2-groupe gC`sK

attaché à un corps logarithmiquement signéK est un 2-groupe ni, d'ordre :

|gC`sK| = |fC`K| (gSg`_K:sglK(EeK) ).

Et, pour tout corps logarithmiquement signéK, on a donc l'équivalence :

gC`sK= 1 ⇔











fC`K = 1 et

K contient des unités logarithmiques de toutes signatures à la formule du produit près.

3. Formule des 2-classes logarithmiques signées ambiges

Comme pour les 2-classes logarithmiques au sens ordinaire, le problème de la propagation de la trivialité du 2-groupe des classes logarithmiques signées se pose naturellement dans le cadre des 2-extensions (i.e. des extensions ga- loisiennesL/K de degré une puissance de 2), où l'on peut espérer relier l'ordre du sous-groupe des points xes dans gC`sL pour l'action de G = Gal(L/K) à celui degC`sK par une formule explicite ne faisant intervenir que des invariants arithmétiques simples de l'extension considérée, à l'image du classique résultat de Chevalley sur les classes ambiges d'idéaux.

L'expérience montrant toutefois qu'une telle formule est rarement exploitable en dehors du cas cyclique, du fait de l'occurence de facteurs cohomologiques

dicilement calculables en toute généralité, et la formule du produit venant apporter des complications supplémentaires par rapport au cas des idéaux, nous n'hésitons pas dans cette section à faire quelques hypothèses simplicatrices, quitte à renvoyer l'étude générale à la section suivante consacrée aux classes logarithmiques centrales, dont la dénition est plus directement reliée aux outils habituels de la théorie du corps de classes.

Considérons donc une 2-extension galoisienne de corps de nombres logarith- miquement signésL/K, et notonsG= Gal(L/K)son groupe de Galois. Sous l'hypothèse de primitivitéH¹(G,D`f<sup>∗</sup><sub>L</sub>) = 0(que nous discuterons plus loin), par- tant de la suite exacte courte qui dénit le 2-groupegC`sL=D`fL/Pf`⁺_L, prenant les points xes parG, et comparant la suite exacte obtenue avec celle dénis- sant gC`sK, nous obtenons le diagramme commutatif (où les èches verticales sont induites par les morphismes canoniques d'extension) :

0 −−−−→ P`f<sup>+</sup><sub>K</sub> −−−−→ D`f^∗_K −−−−→ gC`s_K −−−−→ 0



 y^ple

+ L/K



 y^dle

∗ L/K



 y^clsfL/K

0 −−−−→ Pf`<sup>+</sup><sub>L</sub><sup>G</sup> −−−−→ D`f^∗_L^G −−−−→ gC`s<sup>G</sup><sub>L</sub> −−−−→ H<sup>1</sup>(G,P`f⁺_L) −−−−→ 0.

Formant alors le diagramme du serpent, nous obtenons immédiatement l'identité entre ordres de groupes nis (avec|Kerple⁺_L/K|=|Kerdle_L/K|= 1) :

|Cokerdle^∗_L/K|

|Kerdle^∗_L/K| = |Cokerple⁺_L/K|

|Kerple⁺_L/K|

|Cokerclsf_L/K|

|KerclsfL/K|

1

|H¹(G,P`f⁺_L)|. D'où la formule (où les deux membres sont simultanément nis ou innis) :

|gC`s<sup>G</sup><sub>L</sub>| = |gC`sK| (fD`<sup>∗</sup><sub>L</sub><sup>G</sup>:D`f^∗_K) (fP`<sup>+</sup><sub>L</sub><sup>G</sup>:Pf`⁺_K)

|H¹(G,Pf`⁺_L)|.

Cela étant, il vient successivement :

Lemme 12. Sous la condition de primitivité forte H¹(G,D`f<sup>∗</sup><sub>L</sub>) = 0, l'indice (fD`^∗_L^G : D`f^∗_K) est donné à partir des indices de ramication logarithmiques eep(L/K)par la formule :

(D`f<sup>∗</sup><sub>L</sub><sup>G</sup>:D`f^∗_K) = Y

p

ee_p(L/K)

/[L^cs:K^cs].

Preuve. C'est le résultat établi dans [J1] (cf. Prop. 4.4), sous la condition H¹(G,D`fL) = 0, qui exprime en termes cohomologiques la primitivité de la ramication logarithmique.

Lemme 13. Lorsque l'extension galoisienne L/K est cyclique, les relations entre la cohomologie des diviseurs logarithmiques principaux totalement positifs et celle des unités logarithmiques totalement positives fournissent l'identité :

|H¹(G,Pf`⁺_L)|

(fP`<sup>+</sup><sub>L</sub><sup>G</sup>:Pf`⁺_K) = ((eE⁺_K∩NL/K(R⁺_L)) :NL/K(Ee⁺_L)) (Ee⁺_L^G:Ee⁺_K)

|H¹(G,Ee⁺_L)|

|H¹(G,R⁺_L)|

(R⁺_L^G:R⁺_K) Preuve. Partons de la suite exacte courte qui dénit le groupePf`<sup>+</sup><sub>L</sub> ; formons la suite de cohomologie associée, et comparons la à la même suite écrite pour P`f⁺_K. Le diagramme obtenu commence ainsi :

0 −−−−→ Ee⁺_K −−−−→ R⁺_K −−−−→ P`f⁺_K −−−−→ 0



 y



 y



 y

0 −−−−→ Ee⁺_L^G −−−−→ R⁺_L^G −−−−→ P`f⁺_L^G −−−−→ H¹(G,Ee⁺_L) −−−−→ ...

Et le lemme du serpent nous donne la suite exacte longue :

0−→Ee⁺_L^G/Ee⁺_K−→ R⁺_L^G/R⁺_K−→P`f<sup>+</sup><sub>L</sub><sup>G</sup>/Pf`⁺_K −→H¹(G,Ee⁺_L)−→...

...−→H¹(G,R⁺_L)−→H¹(G,Pf`⁺_L)−→H²(G,Ee⁺_L)−→H²(G,R⁺_L)−→...

Maintenant, siGest cyclique, il vient :

H²(G,Ee⁺_L)'Ee⁺_L^G/N_L/K(Ee⁺_L) et H²(G,R⁺_L)' R⁺_L^G/N_L/K(R⁺_L).

ce qui permet de remplacer la seconde partie de la suite exacte précédente par : ...−→H¹(G,R⁺_L)−→H¹(G,P`f⁺_L)−→(Ee⁺_L^G∩NL/K(R⁺_L))/NL/K(Ee_L⁺)−→1 Et le résultat annoncé suit, compte tenu de l'égalité entre groupes de normes : Ee⁺_K∩N_L/K(R⁺_L) =Ee⁺_L^G∩N_L/K(R⁺_L).

Lemme 14. Toujours lorsque l'extensionL/K est cyclique, le quotient de Her- brand attaché au 2-groupe des unités logarithmiques globales totalement positives est donné, sous la conjecture de Gross généralisée, par la formule ;

q(G,Ee⁺_L) =|H²(G,Ee_L⁺)|/|H¹(G,Ee_L⁺)|= Y

p∈P l^∞_K

d_p(L/K),

oùdp(L/K) =|Dp|désigne le degré local enp de l'extensionL/K etpparcourt l'ensembleP l^∞_K des places à l'inni du corps K.

Preuve. Le groupe Ee_L⁺ étant d'indice ni dans EeL, il a le même quotient de Herbrand. Le lemme résulte donc directement du calcul de q(G,EeL) eectué dans [J1] (cf. cor. 3.7).

Lemme 15. On a l'égalité :

|H¹(G,R⁺_L)|

(R⁺_L^G:R⁺_K) = |Sg`_L^G|

|Sg`K| = 2^{−|P LDL/K2 |},

où P LD²_L/K désigne l'ensemble des places 2-adiques de K qui se dessignent dans l'extensionL/K.

Preuve. Partons du diagramme commutatif (où nous avons remplacé par 0 le groupe de cohomologieH¹(G,RL)en vertu du théorème 90 de Hilbert) :

0 −−−−→ R⁺_K −−−−→ RK −−−−→ Sg`_K −−−−→ 0



 y



 y

sgl_L/K

0 −−−−→ R⁺_L^G −−−−→ R^G_L −−−−→ Sg`_L^G −−−−→ H¹(G,R⁺_L) −−−−→ 0.

Nous obtenons immédiatement les isomorphismes :

R⁺_L^G/R⁺_K 'Kersgl_L/K et H¹(G,R⁺_L)'Cokersgl_L/K, d'où l'identité attendue :

|H¹(G,R⁺_L)|

(R⁺_L^G :R⁺_K) = |Cokersgl_L/K|

|Kersgl_L/K| = |Sg`_L^G|

|Sg`_K|

Convention. Convenons de dire qu'une place logarithmiquement signée du corps K se dessigne dans l'extension L/K lorsqu'aucune des places au-dessus n'est signée dansL. Ecrivons alors l'ensemble P LS_K des places logarithmiquement signées du corpsK comme la réunion disjointe

P LS_K = P LD_L/K∪ P LS_L/K

du sous-ensemble formé des places p qui se déssignent dans L/K et du sous- ensemble formé de celles qui restent logarithmiquement signées dansL( de sorte queP LS_K^∞ = P LD^∞_L/K∪ P LS_L/K^∞ est la partition naturelle de l'ensemble des places réelles deK entre celles qui se complexient dansL/K et celles qui se décomposent complètement).

Cela étant, il vient :

Lemme 16. Avec les notations précédentes, on a : Sg`_L ' M

p∈P LS_L/K

F2[G/D_p] ; et |Sg`_K|

|Sg`^G_L| = 2^{|P LD2L/K|},

oùD_p est un sous-groupe de décomposition de la placepdans l'extensionL/K. Preuve. La dénition du groupe des signatures logarithmiques nous donne :

Sg`_L= M

p_L∈P LS_L

F2 p_L= M

p_K∈P LS_L/K

M

pL|pK

F2 p_L

' M

p∈P LS_L/K

F2[G/Dp] ;

d'où la première formule. Il suit : Sg`_L^G ' M

p∈P LS_L/K

F2(Σ_σ∈G/Dp p^σ_L) ; puis |Sg`_L^G| = 2^{|P LSL/K|},

L'identité|Sg`_K| = 2^{|P LSK|}donne alors le résultat annoncé.

En n de compte, nous pouvons énoncer comme suit le théorème fondamental de cette section :

Théorème 17. Dans une 2-extension cycliqueL/K de corps de nombres loga- rithmiquement signés, le nombre de 2-classes logarithmiques signées invariantes parG=Gal(L/K)est donné, sous la condition de primitivitéH¹(G,D`f^∗_L) = 0, par la formule :

|gC`s<sup>G</sup><sub>L</sub>|= |gC`s_K| 2^{|P LD2L/K|}

Q

p ee_p(L/K)

[L^cs:K^cs] (Ee_K⁺:Ee_K⁺∩N_L/K(R⁺_L))

oùP LD²_L/K est l'ensemble des places 2-adiques du corps K qui sont logarith- miquement signées dansK mais non dans L, etee_p(L/K)est l'indice de rami- cation logarithmique de la placep dans l'extension L/K.

Remarque. L'hypothèseH¹(G,D`f<sup>∗</sup><sub>L</sub>) = 0 est appelée ci-dessus condition de pri- mitivité forte, car elle s'écrit encore(D`_L^IG:D`f<sup>∗</sup><sub>L</sub><sup>IG</sup>) = 1, de sorte qu'elle contient bien la condition de primitivité faible(D`^I_L^G :D`f^I_L^G) = 1introduite dans [J1].

4. Formule des 2-classes logarithmiques signées centrales

Pour aborder maintenant le cas des 2-extensions (galoisiennes) en toute généralité, nous allons nous intéresser non plus au plus grand sous-groupe invari- antC`sg<sup>G</sup><sub>L</sub> du groupe des classes logarithmiques signées, mais plutôt à son plus grand quotient <sup>G</sup>C`sgL qui est invariant pour l'action du groupe de Galois G de l'extensionL/K considérée. Contrairement au sous-groupe ambigegC`s<sup>G</sup><sub>L</sub>, le quotient<sup>G</sup>gC`sLadmet , en eet, une interprétation galoisienne particulièrement simple, ce qui le rend plus accessible aux techniques classiques de la théorie du corps de classes.

Bien entendu, siGest cyclique (etC`sgL ni), on a banalement :

|^GgC`s<sub>L</sub>| = |gC`s^G_L|,

ce qui redonne la formule du théorème 17, mais en général ces deux quantités ne coïncident pas.

Il est commode d'introduire d'abord le genre logarithmique signé :

Dénition 18. Le 2-corps des genres logarithmiques signés relatif à une 2- extensionL/K de corps de nombres logarithmiquement signés est la plus grande pro-2-extensionL^lcs∩ LK^ab deLqui est complètement décomposée surL^cs= L^c[i] =LK^cs et provient (par composition avecL) d'une pro-2-extension abéli- enne deK.

Le groupe de Galois G`sgL/K =Gal(L^lcs∩LK^ab/L^cs)est, par dénition, le 2-groupe des genres logarithmiques signés de l'extensionL/K.

Comme expliqué plus haut, la détermination du genre logarithmique signé d'une 2-extensionL/K relève des méthodes du corps de classes 2-adique. Con- sidérons, en eet, le schéma de corps :

L^cs LK^lcs L^lcs∩LK^ab L^lcs

L^cs∩K^ab L^lcs∩K^ab

L^cs∩K^lcs K^lcs

K^cs

Notons pour simplierN la norme arithmétique N_L/K attachée à l'extension L/K. Comme expliqué dans la section 2, la 2-extension cyclotomique L^cs = LK^cs de L est associée au 2-groupe d'idèles Je^∗_L, et la pro-2-extension abéli- enneL^lcs au sous-groupeUe_L⁺ RL. D'après la théorie du corps de classes, leurs sous-extensions maximales L^cs∩ LK^ab et L^lcs∩ LK^ab qui proviennent (par composition avecL) d'une 2-extension abélienne deKsont donc respectivement associées aux saturés pour la norme ⁻¹N(N(Je^∗_L)RK) et⁻¹N(N(Ue_L⁺)RK)des groupes précédents. En particulier, il vient ainsi :

gG`sL/K 'Gal((L^lcs∩K^ab)/(L^cs∩K^ab))'⁻¹N(N(Je^∗_L)RK)/⁻¹N(N(Ue_L⁺)RK), et, par suite :

|gG`s<sub>L/K</sub>|= (N(Je<sup>∗</sup><sub>L</sub>)RK :N(Ue<sub>L</sub><sup>+</sup>)RK) = (Je<sup>∗</sup><sub>K</sub> :Ue<sub>K</sub><sup>+</sup>RK)(Ue<sub>K</sub><sup>+</sup>RK:N(Ue<sub>L</sub><sup>+</sup>)RK) (Je<sup>∗</sup><sub>K</sub> :N(Je<sup>∗</sup><sub>L</sub>)RK) . Dans la formule obtenue le facteur (Je<sup>∗</sup><sub>K</sub> : Ue<sub>K</sub><sup>+</sup>RK) n'est autre que gC`sK ; le dénominateur (Je^∗_K : N(Je_L^∗)RK) est égal à [L^cs∩ K^ab : K^cs] ; et le dernier facteur s'écrit encore :

(Ue_K⁺RK :N(Ue_L⁺)RK) = (Ue_K⁺:N(Ue_L⁺))

(RK∩ Ue_K⁺:RK∩N(Ue_L⁺))= Q

p(Ue_p⁺:N_LP/Kp(Ue_P⁺)) (Ee_K⁺:Ee_K⁺∩N_L/K(Ue_L⁺))

puisque l'intersection deRK avecN_L/K(Ue_L⁺)est évidemment contenue dans le sous-groupeEe_K⁺ des unités logarithmiques positives globales du corpsK. Lemme 19. Pour chaque placep du corpsK, l'indice normiqueee^ab+_p (L/K) = (Uep⁺ : N_LP/Kp(Ue_P⁺)) est donné par la formule suivante (où ee^ab_p (L/K) désigne l'indice de ramication abélianisé de la placepdans l'extension L/K) : (i) ee^ab+_p (L/K) =ee^ab_p (L/K) = 1,lorsquep est réelle ;

(ii) ee^ab+_p (L/K) =ee^ab_p (L/K),lorsquep est nie impaire ; (iii)ee^ab+_p (L/K) =







ee^ab_p (L/K), pour ppaire non contenue dans P LDL/K, 1

2 ee^ab_p (L/K), pour p paire contenue dans P LD_L/K. Preuve. Pour chaque placepdeKetParbitraire deLau-dessus dep, désignons parL^ab_p la sous-extension maximale deL_P qui est abélienne surK_p.

Si p et réelle, nous avons trivialement Ue_p⁺ = 1, d'où ee^ab+_p (L/K) = 1; si p est nie mais impaire nous avons Ue_p⁺ = Uep et Ue_P⁺ = UeP, d'où directement : (Uep⁺ :NL_P/K_p(Ue_P⁺)) = (Uep:NL_P/K_p(UeP)) = (Uep :N_Lab

p/Kp(Ue_p^ab)) =ee^ab_p (L/K) par dénition de l'indice de ramication logarithmique (cf. [J1]) ; enn, sipest paire, nous pouvons écrire (en abrégeantNL_P/K_p parN) :

ee^ab+_p (L/K) = (Ue_p⁺:N(Ue_P⁺)) = (Ue_p:N(Ue_P))(N(Ue_P) :N(Ue_P⁺)) (Uep:Uep⁺) ;

Maintenant, l'indice(Ue_p:Ue_p⁺)au dénominateur est égal à 1 ou 2 ; et le deu- xième cas n'a lieu que si la placepest logarithmiquement signée dansK. Dans cette hypothèse, l'indice(N(UeP) :N(Ue_P⁺))au numérateur n'est lui même égal à 2 que si les placesPau-dessus depsont encore logarithmiquement signées dans L. En n de compte le quotient (Uep :Ue_p⁺)/(N(UeP) :N(Ue_P⁺))vaut donc 2 si p est dansP LDL/K et 1 dans tous les autres cas. Quant à l'indice(Uep :N(UeP)), c'est tout simplementee^ab_p (L/K), comme plus haut.

Nous pouvons donc énoncer :

Théorème 20. Dans une 2-extensionL/K de corps de nombres, le genre loga- rithmique signé est donné par la formule :

|gG`s<sub>L/K</sub>|= |gC`s_K| [L^cs∩K^ab:K^cs]

Q

pee^ab_p (L/K)

2^{|P LD2L/K|}(eE_K⁺:Ee_K⁺∩NL/K(Ue_L⁺)) Dans celle-ci Ee_K⁺ désigne le 2-groupe des unités logarithmiques positives deK et , pour chaque place p du corps de base, ee^ab_p (L/K) est l'indice de ramica- tion logarithmique de la sous-extension abélienne maximale L^ab_p /Kp associée à l'extension localeLP/Kp.

Remarques.

(i) Contrairement à la formule des classes ambiges qui ne vaut que dans le cas cyclique, la formule des genres ne requiert aucune hypothèse sur la nature de l'extensionL/K. Elle ne suppose pas non plus que K vérie la conjecture de Gross (pour le premier 2 : lorsque celle-ci est en défaut dansK, la formule obtenue montre quegG`s_L/K est inni, et le corpsL ne la vérie pas non plus.

(ii) PourKxé (en particulier dès quegC`sK etEeK sont donnés), la formule obtenue ne fait intervenir que les propriétés galoisiennes ou locales de l'extension considérée, et non ses propriétés globales.

Corollaire 21. Dans une 2-extension abélienneL/K de corps de nombres loga- ritmiquement signés, le genre logarithmique signé est donné par la formule :

|gG`s<sub>L/K</sub>|= |gC`s_K| [L^c :K^c]

Q

peep(L/K)

2^{|P LD2L/K|} (Ee_K⁺ :Ee_K⁺∩NL/K(Ue_L⁺))

Preuve. Seule reste à vérier l'égalité[L^cs:K^cs] = [L^c :K^c], qui résulte du fait qu'on ai /∈L^c, puisque le corpsLest réputé logarithmiquement signé.

Le corollaire 21 ci-dessus nous donne ainsi une condition nécessaire de trivi- alité du 2-groupe des classes logarithmiques signées dans une 2-extension abéli- enne de corps de nombres, qui généralise exactement celle obtenue dans le cas cyclique à l'aide de la formule des classes ambiges. Pour obtenir en retour un critère susant, il convient cependant de remplacer le quotient des genres par un invariant plus n, le 2-groupe des classes logarithmiques signées centrales, que nous allons maintenant introduire :

Dénition & Théorème 22. Nous appelons 2-groupe des classes logarithmi- ques signées centrales attaché à une 2-extension (galoisienne) L/K de corps de nombres le plus grand quotient ^GgC`s<sub>L</sub> =C`sg_L/gC`s<sup>I</sup><sub>L</sub><sup>G</sup> =Je<sub>L</sub><sup>∗</sup>/Je<sub>L</sub><sup>∗IG</sup>Ue<sub>L</sub><sup>+</sup>R<sub>L</sub> du groupegC`sL sur lequel le groupe de GaloisG=Gal(L/K)opère trivialement.

(i) La condition ^GC`sgL = 0 caractérise les 2-extensionsL deK qui ont un 2-groupegC`sL trivial. En d'autres termes, on a : gC`sL= 0 ⇔ <sup>G</sup>gC`sL= 0.

(ii) Le nombre de classes logarithmiques centrales est donné, avec les nota- tions du théorème précédent par la formule :

|^GC`sgL|= |gC`sK| [L^cs∩K^ab:K^cs]

Q

pee^ab_p (L/K) κL/K

2^{|P LDL/K2 |}(Ee_K⁺:N(R_L)∩N(Ue_L⁺)) c_L/K, oùN_L/K^loc est le sous-groupe de RK formé des éléments qui sont normes locales, κL/K = (N_L/K^loc :NL/KRL)désigne le nombre de noeuds de l'extension L/K et l'indicec_L/K = (J_L^IGUe_L⁺RL :Je_L^∗IGUe_L⁺RL)est induit par la formule du produit pour les valeurs absolues.

Remarque. Comme expliqué dans [J1] et [AJ], le nombre de noeudsκ_L/K est un invariant purement galoisien de l'extensionL/K. Par exemple, siGest abélien,

il est égal à l'indice dans le carré extérieurG∧GdeGdu sous-groupe engendré par lesDp∧Dp lorsque Dp décrit les groupes de décomposition des places de K. En particulier, il vaut 1 dans le cas cyclique.

Preuve du théorème. L'assertion (i) est purement algébrique : si G est un 2- groupe ni, l'idéal d'augmentationI_Gde l'algèbre 2-adiqueZ2[G]est topologique- ment nilpotent, de sorte que pour toutZ2[G]-module noéthérienM, on a, en no- tations additives : M = 0⇔M =I_GM, en vertu du lemme de Nakayama.

Et tout le problème est donc d'évaluer le nombre de classes centrales.

Ecrivons le pour cela comme produit de trois entiers sous la forme :

|^GC`sg_L|= (Je_L^∗:Je_L^∗IGUe_L⁺R_L) =abcavec











a= (Je_L^∗:⁻¹N(N(Ue_L⁺)RK)) b= (⁻¹N(N(Ue_L⁺)RK) :J_L^IGUe_L⁺RL) c= (J_L^IGUe_L⁺RL:Je_L^∗IGUe_L⁺RL) ; et examinons successivement chacun des trois facteurs :

(a) Le premier facteuran'est autre que le nombre de genres signés|G`s_L/K| puisque l'égalitéL^cs=LK^cs entraîne⁻¹N(N(Je_L^∗)R_K) =⁻¹N(Je_K^∗) =Je_L^∗.

(b) Transporté par la norme globaleN =N_L/K, le second bs'écrit encore :

(N(Ue_L⁺)(R_K∩N(J_L)) :N(Ue_L⁺)N(R_L)) = (RK∩N(JL) :N(RL))

((R_K∩N(Ue_L⁺)N(R_L)) :N(R_L)); or : Lemme 23. SoitN_L/K =R_K∩N_L/K(J_L). Alors, dans le quotient précédent,

(i) le numérateur(RK∩N(JL) :N(RL)) = (N_L/K :N(RL))est le nombre de noeuds de l'extensionL/K,

(ii) et le dénominateur vaut (Ee_K⁺∩N(Ue_L⁺) :N(RL)∩N(Ue_L⁺)).

Preuve. On a : (RK∩N(Ue_L⁺)N(RL))/N(RL)' RK∩N(Ue_L⁺)/N(RL)∩N(Ue_L⁺). (c) Enn, il est intéressant de remarquer que le dernier facteurc s'écrit :

c=c_L/K = (J_L^IGUe_L⁺RK :Je_L^IGUe_L⁺RK)(Je_L^IGUe_L⁺RK :Je_L^∗IGUe_L⁺RK), les deux indices étant induits par la formule du produit, le premier pour les valuations logarithmiques, le second pour les signatures.

Corollaire 24. Sous les hypothèses du théorème, le 2-groupe gC`sL des classes logarithmiques signées du corpsLest trivial si et seulement si les trois conditions suivantes sont réalisées :

(i)a= 1, i.e. |gG`sL/K|= 1 ;

(ii) b= 1, i.e. (Ee_K⁺∩N(Ue_L⁺) :N(RL)∩N(Ue_L⁺)) =κ_L/K ; (iii)c= 1, i.e. J_L^IGUe_L⁺R_L=Je_L^IGUe_L⁺R_L=Je_L^∗IGUe_L⁺R_L.