Sur la pro-p-extension localement cyclotomique maximale d'un corps de nombres

(1)

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Preprint submitted on 8 Dec 2008

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Sur la pro-p-extension localement cyclotomique maximale d’un corps de nombres

Romain Validire

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Romain Validire. Sur la pro-p-extension localement cyclotomique maximale d’un corps de nombres.

2008. �hal-00345304�

(2)

Sur la pro-

p

^-extension ^loalement ^ylotomique

maximale d'un orps de nombres

Romain Validire

8 déembre 2008

Résumé. Soit p ^un ^nombre ^premier ^et F∞ ^la Z_p^-extension ^ylotomique

d'unorpsdenombresF^.^Nous^étudions^le^groupe^de ^GaloisG_F^′∞

surF∞^de

lapro-p^-extension^non^ramiée,p^-déomposée^maximale^deF∞^.^La^question

delapro-p^-liberté ^deGF^′∞

adéjàétéévoquépardenombreux auteurs.Dans

etartile,nousaratérisonslapro-p^-liberté^de G_F^′∞

en termesdedesente

galoisiennepourertainsnoyauxdeloalisationenohomologie galoisienne:

les noyaux sauvages étales. Nous en déduisons des ritères eetifs pour la

nonpro-p^-liberté ^de ^e ^groupe.

Abstrat.Letp^be^a^prime^number^andF∞^be^the^ylotomiZ_p^-extension

of a number eld F^. ^Wê ônsider ^the ^Galois ^group GF^′^∞ ôver F∞ ôf ^the

maximal unramied, p-deomposed, pro-p^-extension ^of F∞^. ^The ^question

whetherG_F^′∞

is freepro-p ^was âlready âsked ^by^many âuthors.În ^this ârti-

le, we highlight a linkbetween the freenessof GF^′^∞ ^and ^the^Galois ^desent

for some loalisation kernels : the étale wild kernels. Then we give expliit

riterionsto show thatG^′_F∞

is not afreepro-p^-group.

Introdution

Soient p ûn ^nombre ^premier êtF ûne êxtension âlgébrique^du ôrps ^des^ra-

tionnelsQ^.Ôn^désigne ^par LF ^la^pro-p^-extension^non ^ramiée^maximale^de F êtôn ^noteGF = Gal(LF/F)^son^groupe ^de ^Galois ^surF^.

Mêmedansleasoù F êstûn ôrps^de^nombres ^(i.e.F/Qêst^ni),^la^stru-

turedupro-p^-groupeGF ^n'est^pas^bien^onnue.^La^théorie^du^orps^de^lasses

nousmontrequeGFâb êstîsomorphe ^à^lap^-partie^du^groupe ^des^lasses^de F

(il s'agit don d'un groupe ni). En 1964, Golod et Shafarevith ont donné

lespremiers exemplesde orpsF ^pour^lesquelsGF ^est ^inni.^De^nombreuses

questionsonernant lastruturede esgroupesrestentependant ouvertes

(dimensionohomologique,analytiité p-adique,...).

(3)

Soit F∞ ^une Z_p^-extension ^de F^. ^Une ^stratégie ^lassique ^pour ^étudier ^le

groupe GF^, ^est ^d'étudier ^le ^groupe GF^∞ ^via ^la ^théorie ^d'Iwasawa ^des Z_p^-

extensions ('est par exemple le point de vue adopté dans [O℄); l'idée est

ensuite de desendre les résultats au niveau de F^. ^Dans ^et ^artile, ^nous

nousintéressonsauxobjets suivants:

F∞^est ^laZ_p^-extension^ylotomique ^d'un^orps ^de^nombres F^.

L^′_F∞

est la pro-p^-extension ^non ^ramiée, p-deomposée, maximale de F∞

etlegroupe de Galois

GF^′^∞ = Gal(L^′F^∞/F∞).

LegroupeGF^′^∞ êstûn^quotient^naturel ^deG^F^∞ êt^leurs^strutures^sont^forte-

ment reliées.Danset artile,nousnousintéressonsàlaquestion suivante:

Le groupeGF^′^∞ ^est-il ^un^pro-p^-groupe ^libre^?

On désigne par A^′_F ^la p^-partie ^du ^group^e ^des p^-lasses ^de F ^et ^par µ_n ^le

groupedesraines n^-ièmes^de ^l'unité.^F^aisons ^un^bref^historique^de ^la^ques-

tionpréédente. Supposons queleorps F êst ^àmultipliation omplexe et que la partie plus de A^′_F êst ^triviale ^(par êxemple, F êst ûn ôrps ^ylo-

tomique Q(µ_p)satisfaisant laonjeture de Vandiver);souses hypothèses, on pensait quele groupe GF^′∞

était pro-p^-libre ^(f.^[Wi, ^Theorem^1℄ ^et^{[N2 ,}

Exemples 3.2℄). Cependant, en 2003, des résultats de W. MCallum et R.

Shari (f. [MS ℄) mettent en porte-à-faux les résultats antérieurs. En par-

tiulier, on a l'exemple suivant (f. [Sha ℄) : pour p = 157 ^et F = Q(µ₁₅₇)

le groupe GF^′∞

est isomorphe au groupe abélien Z²_p^. Aujourd'hui, les seuls exemplesonnus deouples (F, p) ^pour ^lesquelsGF^′^∞ ^est^pro-p^-libre ^sont ^les

ouples (F, p)^pour ^lesquelsGF^′^∞ êst^trivial ôuîsomorphe ^à Z_p^.

Dans et artile, notre but est de aratériser la pro-p^-liberté ^de G^′F∞

en

termes de desente galoisienne pour les noyaux sauvages étales. Pour tout

i ≥ 1^, ^les ^noyaux ^sauvages ^étales W K_2iêt^´(F) âttahé ^à F êt p ^peuvent ^être

vusommedesversionstordues dup^-groupe ^des^lasses A^′_F^.^Ils ^sont^dénis

omme des noyaux de loalisation en ohomologie galoisienne. Pour i= 1^,

legroupe W K₂êt^´(F) êstîsomorphe ^à^la p^-partie ^du ^noyau ^sauvage ^lassique

i.e.lenoyau dessymboles de Hilbertdanslegroupe K₂(F)^.

Dansunepremière partie,nousétablissons unrésultat(Proposition1.4) qui

aratérise la liberté d'un pro-p^-groupe ^au ^moyen ^du ^morphisme ^de ^trans-

fert.Dansune seondepartie,nousrappelonsune desriptionlassique,due

àShneider,desnoyauxsauvagesentermesd'un ertainmoduled'Iwasawa.

L'objetdelatroisièmepartieestdétablirlerésultatprinipal(théorème3.4)

qui relie le omportement galoisien des noyaux sauvages à la struture de

G_F^′∞

.

Notonsquel'étudede GF^′^∞ (préisement lanitude) vialesnoyauxsauvages

(4)

GF^′^∞ ^donné ^dans ^{[JS ℄.} ^Celui-i ^provient ^d'une ^inégalité ^à ^la ^Golod ^et ^Sha-

farevith. Dans la dernière partie, nous obtenons à l'aide du théorème 3.4

un ritèrede non pro-p^-liberté^(théorème ^4.3)^pour G^′F^∞^;^elui-i^s'exprime

au moyen d'une inégalité similaire à elle de [JS ℄. Le ritère nous permet

de onstruire eetivement des ouples (F, p) ^pour ^lesquels GF^′∞

n'est pas

libre.Enn,toujours ommeonséqueneduthéorème3.4,nousobtenonsle

orollaire4.7qui montrequepour unorps F ^àmultipliation omplexe,la trvialité delapartie plusde A^′_F êstûne ôndition^néessairê ^pour ^la^liberté

deG_F^′∞

(nousretrouvonsainsilerésultat [Wi , Proposition3.3℄).

1 Préliminaires ohomologiques

1.1 Pro-p^-liberté ^et ^transfert

Fixonsun nombrepremier p^.^Dans ^e ^paragraphe ^nous^rappelons ^des^résul-

tats standardssur laohomologie desgroupeset lanotion de pro-p^-liberté.

Onpeuttrouverlaplupart desrésultats énonésdans[NSW℄ou[Se2 ℄.

Etantdonné ungroupe abélienM ^loalement ^ompat, ^on^rappelle ^queM^∗

désigneledualdePontryagindeM^.^C'est^le^groupeHom(M,R/Z)^des^homo-

morphismesontinus deM ^versR/Z^.Ônâûne^dualité^parfaiteM ≃(M^∗)^∗

quitransforme les groupesdisrets en groupesompats.

LorsqueM êst ûn^pro-p^-groupeôu ûn ^groupe^disret ^de p^-torsion M^∗ = Hom(M,Q_p/Z_p).

SoitG ûn^groupe ^proni êtM ûn G^-module ômpat. ^Pour ^tout êntier n≥ 0^, ^les ^groupes d'homologie sont dénis par dualité à partir des groupes de ohomologie :

Hn(G, M) := (Hⁿ(G, M^∗))^∗.

Etant donné un pro-p^-groupe G^, ^on ^note G^ab l'abelianisé de G^. ^C'est ^le

quotient de G^par ^l'adhérene ^de ^sonsous-groupe dérivé [G, G]^.

Enoutre, on a

G^ab≃H₁(G,Z_p).

La notation H ⊳ G^signie ^queH êst ûnsous-groupe distinguéde G^.Ênn,

onnoted(G) := dim_F_p(H¹(G,F_p))^lep^-rang ^deG^.^C'est ^le^nombre^minimal

degénérateurs de G^.

Etant donné unpro-p^-groupe G^,^on ^notecd(G) ^(resp.scd(G)⁾ ^la^dimension

ohomologique (resp. dimension ohomologique strite) du pro-p^-groupe G^.

(5)

Pro-p^-liberté^et^dimensionohomologiquesontreliéesparlapropositionsuiv- ante :

Proposition 1.1. Soit G ûn^pro-p^-groupe ^non^trivial. Ôn â ^l'é^quivalene ^:

(i) G^est ^pro-p^-libre.

(ii) cd(G) = 1^.

Il endéoule laaratérisation suivante :

Proposition1.2. Le groupe G^est ^pro-p^-libre ^si^et ^seulement ^siscd(G) = 2

etG^ab ^est ^sans p^-torsion.

Etantdonnésunpro-p^-groupeGêtûnsous-groupe H ^d'indie ⁿⁱ ^deG^,ôn

dénit(f. [Se1 , VII, 8℄) unmorphismeanonique appelé transfert :

V er:G^ab→H^ab,

quis'identieà l'homomorphisme derestritionentregroupesd'homologie:

res:H₁(G,Z_p)→H₁(H,Z_p).

Par dualité, le transfert s'identie à l'appliation de orestrition entre les

groupesde ohomologie :

cor:H¹(H,Q_p/Z_p)→H¹(G,Q_p/Z_p).

La proposition suivante fait un lien entre l'étude du transfert et la dimen-

sion ohomologique strite (f. [NSW, Theorem 3.6.4℄). Elle aratérise les

groupespronis dont ladimension ohomologique strite est égale à 2^.^Ces

groupessont partiulièrementimportants, notammentparequ'ilsapparais-

sent naturellement en théoriedu orpsde lasses.Cette proposition estune

ombinaisonde résultatsdûs à J.-P.SerreetJ. Tate.

Proposition 1.3. Soit G ^un ^groupe ^proni^non ^nul. ^Les ^prop^ositions ^suiv-

antessont équivalentes :

(i) La dimension ohomologique strite deG ^est 2^.

(ii) Pour tout ouple de sous-groupes ouverts distingués V ⊳ U^, ^le ^transfert

induitun isomorphisme Uâb→^≃ (Vâb)Û/V^.

Nousproposonsuneadaptationdelapropositionpréédente;elle-ipermet

dearatériserexatementlapro-p^-liberté^d'un^groupe^au^moyen^du^tansfert.

Proposition 1.4. Soit G ^un ^pro-p^-groupe ^non ^nul. ^Les propositions suiv- antessont équivalentes :

(i) G^est ^pro-p^-libre.

(ii) Pour tout sous-groupe ouvert U ⊳ G ^le ^mo^dule Uâb êst Z_p^-libre êt ^pour

toutouple desous-groupes ouverts V ⊳ U^,^le ^transfert înduitûne înjetion V :Uâb⊗Q_p/Z_p ֒→Vâb⊗Q_p/Z_p,

où V ^est ^dénie ^par V(x⊗_p¹ⁿ) =V er(x)⊗_p¹ⁿ^.

(6)

1.3.

1.2 K^-théorie ^des ânneaux ^d'entiers êt ôhomologie ^galoisi-

enne

Commençonspar donnerquelques notations.

Soient p ûn^nombre ^premier êtF ûn ôrps^de ^nombres, ôn ^note^:

µ_pⁿ ^le^groupe ^des^rainespⁿ^-ièmes ^de^l'unité, µ_p^∞ :=S

n≥1µ_pⁿ ^etZ_p(1) := lim

←−µ_pⁿ^,

F_v ^le^loalisé ^deF ênv^,ôùv ^désigne ûne ^plae ^deF^, S_p=S_p(F) ^l'ensemble^des^plaes ^de F ^divisant pêt∞^, S=S_F ûn ênsembleⁿⁱ^de ^plaes ^de F ôntenant S_p^, O^SF ^l'anneau ^desS^-entiers^de F^,

A^′_F ^lap^-partie ^du^groupe ^du ^groupe^de ^lasses ^deOF^S^p^,

F^S l'extension S^-ramiée ^maximale ^deF ^etG^S_F := Gal(F^S/F)^, r₁(F) ^(resp. r₂(F)⁾ ^le ^nombre ^de ^plaes ^réelles ^(resp. ^de ^plaes

omplexesà onjuguaisonprès) deF^.

Ennpour touti≥0^,^on^pose

A(i) :=A⊗Z_p(i) =A⊗Z_p(1)⊗ · · · ⊗Z_p(1),

| {z } i^fois

lei^-ième ^tordu^à ^la^T^ate^de A^.

Hypothèse : dans toute la suite du texte, lorsque p = 2 ^on ^supp^ose ^que

√−1∈F^.

Pour i ≥ 1^, êt k = 1,2 ^les ^groupes ^de K^-théorie ^étale K_2i+2−k^´êt (OF^S) întro-

duits par Dwyer et Friedlander (f. [KM℄) sont isomorphe aux groupes de

ohomologie galoisienneontinue :

H_cont^k (G^S_F,Z_p(i+ 1)) := lim

←−H^k(G^S_F,Z/pⁿ(i+ 1)).

Les résultats de Quillen et Borel sur la K^-théorie ^algébrique ^ainsi ^que ^les

résultatsdeSoulé surlasurjetivitédesaratères deChern (f[Sou℄) nous

donnent lespropriétés suivantes :

Pour touti≥1^,^les ^groupesK_2i^et^´(O^SF) ^sont ^nis.

(7)

Pour touti≥1^,^les ^groupes K_2i+1^´^et (OF^S)≃K_2i+1^´^et (F) ^sont^de ^type ⁿⁱ ^sur Z_p^.Préisément, ona :

rg_Z_p(K_2i+1^´^et (F)) =

r₁+r₂ ^siiêst ^pair, r₂ ^siiêst împair

Rappelons qu'une extension de orps de nombres L/F ^est ^une p^-extension

lorsqueL/F êstûneêxtensiongaloisiennenieet Gal(L/F)êstûnp^-groupe.

Onxeun ensembleni S ^de ^plaes ^de F ^ontenant ^les ^plaes p^-adiques ^et

lesplaesàl'inni.Par abus,onnotetoujoursS:=S_L^l'ensemble^des^plaes

de L âu-dessus ^des ^plaes ôntenues ^dans S^. Ôn s'intéresse maintenant au omportement galoisien des K^-groupes^dans^les p-extensions S^-ramiées.

SoitM ûn ^groupe âbélien êtGûn ^groupe ôpérant ^sur M^.Ôn^note

M^G ^lesous-groupe de M ^des^éléments ^inv^ariants^par G^.

M_G ^le ^quotient M/I_GM^,ôù I_G êst ^le sous-groupe de Z[G] êngendré ^par

les g−1^,g∈G^.

Soit L/F ^une p^-extension ^de ^group^e ^de ^Galois G^, ^non ^ramiée ^hors ^de S^.

Pour i≥1êtk∈ {1,2} ônâ ûn^morphisme d'extension:

e_k,i :K_2i+2−k^´^et (OF^S)→K_2i+2−k^´^et (OL^S)^G,

quis'interpr`ete ohomologiquement ommeun morphismede restrition.

Lesnoyauxdesmorphismesd'extensionsontappelésnoyauxdeapitulation.

Ilsjouent unrle entral danslasuite del'artile.

Dénition 1.5. Pour toute extension S^-ramiée ^nie L/F êt ^tout êntier i≥1^, ôn ^note ^:

Cap^S_i(L/F) := ker(K_2i^et^´(O^SF)→K_2i^et^´(O^SL)).

Si L/F êst ûne êxtension algébrique, on pose Cap^S_i(L/F) = lim

−→Cap(L/F)^,

où L ^parourt ^les sous-extensionsnies deL/F^.

Tout omme les noyaux de apitulation des groupes de lasses qui s'expri-

mententermesdeohomologiedesunités,lesnoyauxCap^S_i(L/F)^sont^reliés

àlaohomologiedesK^-groupesîmpâirs.^Pouri= 1^,^le^résultat^suivântêst^à

rapproherd'unrésultatde B.Kahn(f[Ka℄). Pour lagénéralisation àtout

i≥1^,^on ^renvoie ^à^[KM,^Theorem ^1.2℄.

LesgroupesHˆ^∗(G, .)^désignent ^les ^groupes^de^ohomologie ^modiés ^(f.^par

exemple [Se1 ,Chapitre VIII℄)

Théorème 1.6. Soit L/F ûne p-extension, nonramiée en dehorsde S êt G:= Gal(L/F)^. Âlors

Cap^S_i(L/F)≃Hˆ⁻¹(G, K_2iêt^´(O^SL))≃H¹(G, K_2i+1^´êt (L)), êt coker(e_2,i)≃Hˆ⁰(G, K_2i^´êt(OL^S))≃H²(G, K_2i+1êt^´ (L)).

(8)

Deplus, lorsque L/F êst ^ylique, ^le^quotient ^de ^Herbrând h(G, K_2i+1êt^´ (L)) = |H²(G, K_2i+1^´êt (L))|

|H¹(G, K_2i+1^´^et (L))|

est trivial.

Remarques.

LesnoyauxCap^S_i(L/F) ^ne^dépendent^pas^de^l'ensembleS ôntenant S_p∪ S∞ êt^les ^premiers ^ramiés^dansL/F^.Ôn ^note^désormais

Cap_i(L/F) := Cap^S_i(L/F).

Trouver une minoration intéressante de |Cap_i(L/F)| ^est ^en ^général ^plus

diile(leproblèmeestsoulevépar B.Kahndansl'introdutionde[Ka℄).

Dans[AM℄,lesauteursdonnentuneminorationdeetordresousertaines

hypothèsesde ramiationpourL/F^.

Laproposition suivanteestlassique etportesurlatrivialité desnoyauxde

apitulationdansune p-extension.

Proposition 1.7. Soient L/F ^et L^′/F ^des p-extensions nies, S^-r^amiées

ave L⊂L^′^.^Alors

Cap_i(L^′/F) = 0 ^si^et ^seulement ^si Cap_i(L^′/L) = 0 ^et Cap_i(L/F) = 0

1.3 L'algèbre d'Iwasawa

Nous terminons ette partie par quelques rappels sur l'algèbre d'Iwasawa.

Soit Λ := Z_p[[T]]^, ^l'algèbre ^des ^séries ^formelles ^en T ^à ^oeient ^dans Z_p^.

Soient Γ ûn ^pro-p^-groupe multipliatif isomorphe à Z_p êt γ ûn ^générateur

topologique de Γ^. ^Pour ^tout ^entier n ≥ 0^, ^on ^pose Γ_n := Γ^pⁿ^. ^L'agèbre Λ

est topologiquement isomorphe à l'algèbre de groupes omplète Z_p[[Γ]] = lim←−Z_p[[Γ/Γ_n]] ^via l'appliation γ →1 +T^.

Si M êst ûn Λ^-module ^de ^type ^ni, îl êxiste ^des ^polynmes ^distingués îr-

rédutibles f_i ∈ Z_p[T]^, ^des êntiers n_i^, m_j êt r_M ^tels ^que M êst ^pseudo-

isomorphe à

Λ^r⊕ Mn

i=1

Λ/(f_i)ⁿⁱ⊕ Mm j=1

Λ/(p)^m^j,

Lesentiersr_M^,λ_M :=Pn

i=1n_ideg(f_i)^etµ_M :=Pm

j=1m_i ^sont^les^invariants

d'IwasawadeM^.^Le ^polynmef_M(T) =p^µ^XΠⁿ_i=1f_i(T)^est^appelé^polynme

aratéristique deM^.

Rappelons que F∞ = S

n≥0F_n ^désigne ^la Z_p^-extension ^ylotomique ^de F

etΓ := Gal(F∞/F)^.^On ^note GF^′^∞ ^le ^groupe ^de ^Galois ^surF∞ ^de ^la^pro-p^-

extension non ramiée, p-déomposée, maximale de F∞ ^('est ^aussi^la ^pro-

p^-extension^non ^ramiée, ^déomposée^en ^toute ^plae,^maximale ^deF∞^).