Activit´e de math´ematiques
Algorithme de H´eron
Le but de l’activit´e est d’´etudier l’algorithme de H´eron qui permet de calculer des approxi- mations rationnelles des racines carr´ees de nombres entiers.
Approximations rationnelles de √ 2
On consid`ere la suite (uk)k>1 d´efinie par la relation de r´ecurrence :
u1 = 1 uk+1 = u2k+ 2
2uk
, k>1
1. Calculer la valeur exacte deu2 etu3 puis une valeur approch´ee au milli`eme de u4 etu5. 2. Construire la repr´esentation graphique de la fonction f(x) = x2+ 2
2x , x > 0 dans un rep`ere orthonormal avec pour unit´e 10 cm. Tracer dans ce rep`ere la droite d’´equation y=x puis placer les pointsM1(u1;u2),M2(u2;u3),M3(u3;u4) etM4(u4;u5).
3. Vers quel point semble converger la suite de points (Mk)k>1 ? Calculer les coordonn´ees de ce point et en d´eduire la limite de la suite (uk)k>1.(on ne demande pas de prouver la convergence)
4. Calculer les valeurs exactes deu4etu5 et donner leur pr´ecision en tant qu’approximations de √
2.
Approximations rationnelles de √
n , n > 2
On consid`ere la suite (uk)k>1 d´efinie par la relation de r´ecurrence :
u1 = 1 uk+1 = u2k+n
2uk
, k>1
1. On admet que la suite (uk)k>1 converge comme pr´ec´edemment, calculer sa limite.
2. Calculer une valeur approch´ee rationnelle au milli`eme de√ 3,√
5 et √ 7.
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