12 - PROBABILITES -

CB n

12 - PROBABILITES -

Exercice 1

A, BetC lancent successivement un dé équilibré à 6 faces.Ajoue, puisB, puisC, puis on recommence à Aet ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un 6. Celui qui l’obtient gagne le jeu.

Pour tout n∈N^∗, on note :A_nl’événementA gagne au n-ième jet, et de mêmeB_n etC_n. 1. Calculer pour tout n∈N^∗,P(A_n),P(B_n)etP(C_n).

Pour k∈N^∗, on noteS_k : "obtenir 6au k-ième lancer".∀k∈N^∗,P(S_k) = 1 6. On remarque que chaque jour ne joue qu’un coup sur 3.

Pour n∈N on a :A3n+1 =S1∩S2∩ · · · ∩S3n∩S3n+1 donc P(A3n+1) = 5

6 3n

×1 6. De même, on trouve P(B_3n+2) =

5 6

3n+1

× 1

6, et P(C_3n+3) = 5

6 3n+2

×1 6. Les autres probabilités sont nulles.

2. En déduire la probabilité queA gagne, puisB, puisC.

On noteG_A : "A gagne",G_B : "B gagne", et G_C : "C gagne".

On a : G_A=

+∞

[

n=0

A_3n+1, donc par σ-additivité,P(G_A) =

+∞

X

n=0

5 6

3n

×1 6 = 36

91. On trouve de même,P(G_B) = 30

91 , et, P(G_C) = 25 91. 3. Calculer la probabilité que le jeu ne se termine pas.

On note T : "le jeu ne termine pas". On a : T = G_A∪G_B∪G_C;G_A,G_B et G_C sont deux à deux incompatibles doncP(T) = 1−(P(GA) +P(GB) +P(GC)) = 0.

On en déduit que le jeu termine.

Exercice 2

Un joueur lance une pièce équilibrée jusqu’à obtention du premier pile.

S’il a fallu n lancers pour obtenir ce premier pile, on lui fait tirer au hasard une boule parmin dont une seule est blanche. Il gagne s’il tire cette boule.

1. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?

Pour n∈N^∗, on note En : " le joueur obtient le premier pile au n-ième lancer" ; la formule des probabilités composées, et l’indépendance des jets donnent :P(En) = 1

2ⁿ.

On note B : "le joueur n’obtient jamais pile" ; alors B est l’événement : "le joueur obtient au moins une fois pile", et on a : B =

+∞

[

n=1

E_n, donc par σ-addivité, P(B) =

+∞

X

n=1

P(E_n) = 1.

On en déduit que P(B) = 0.

On noteG : "le joueur gagne". On a∀n∈N^∗,PEn(G) = 1 n.

(B, E₁, E₂,· · ·)est un système complet d’événements, donc la formule des probabilités totales donne : P(G) =P(B∩G) +

+∞

X

n=1

P(En∩G) = 0 +

+∞

X

n=1

1 n× 1

2ⁿ =ln(2).

2. Sachant que le joueur a gagné, quelle est la probabilité qu’il ait obtenu le premier pile au troisième lancer ?

PG(E₃) = P(E₃)×PE3(G) P(G) =

1 2

3

×¹₃

ln 2 = 1 24 ln 2

Exercice 3

On dispose de deux urnesU₁ etU₂. L’urneU₁ contient une boule blanche et deux boules noires, l’urne U₂ contient une boule blanche et une boule noire.

Deux joueursA etB effectuent des tirages successifs avec remise,Atire dans U1 etB dansU2. A commence. Le premier qui obtient une boule blanche gagne le jeu.

Pour tout n∈N^∗ on note :

An l’événement "A gagne au n-ième tirage"

B_n l’événement "B gagne au n-ième tirage".

1. Calculer pour tout n∈N^∗ P(A_n) etP(B_n).

Soitk∈N^∗; on note T_k : "le joueur tire une boule blanche auk-ième tirage".

On a : P(T_k) =









 1

3 si k est impair 1

2 si k est pair

Pour n∈N, on a :A_2n+1=T₁∩T₂∩ · · · ∩T_2n∩T_2n+1. La formule des probabilités composées donne :

P(A_2n+1) =P(T₁)×P_T1(T₂)× · · · ×P_{T1∩T2∩···∩T2n}(T_2n+1) = 2

3×1 2

n

× 1 3 = 1

3ⁿ⁺¹

De même, on trouve : P(B2n+2) = 2

3×1 2

n

×2 3×1

2 = 1

3 n+1

. Les autres probabilités sont nulles.

2. En déduire les probabilités des événements "Agagne le jeu", "B gagne le jeu", et "le jeu ne se termine pas".

On noteGA : "A gagne" etGB : "B gagne" ; on a : GA=

+∞

[

n=0

A2n+1 donc parσ-additivité :P(GA) =

+∞

X

n=0

1 3ⁿ⁺¹ = 1

2; de même,P(G_B) = 1

2.

On note T : "le jeu ne termine pas". On a : T = G_A∪G_B; G_A et G_B sont incompatibles donc P(T) = 1−(P(G_A) +P(G_B)) = 0. On en déduit que le jeu termine.

Exercice 4

Deux archersA1 etA2 disputent un match. Ils tirent alternativement sur une cible jusqu’à ce que l’un d’eux la touche.A1 tire en premier.

Pour i∈ {1,2}, l’archerA_i touche la cible avec la probabilitép_i. Les tirs sont indépendants.

On noteGi l’événementAi gagne pour i∈ {1,2}.

1. Calculer la probabilité que Ai gagne au rang2n+i, pouri∈ {1,2}, n∈N. Pour i∈ {1,2} etk∈N^∗, on noteE_i,k : "A−igagne auk-ième tir".

On a : E_1,2n+1=E_1,1∩E_2,2∩ · · · ∩E_2,2n∩E_1,2n+1.

La formule des probabilités composées et l’indépendance des tirs donnent : P(E1,2n+1) = (1−p1)×(1−p2)× · · · ×(1−p2)×p1= ((1−p1)(1−p2))ⁿ×p1; on trouve de même : P(E_2,2n+2) = ((1−p₁)(1−p₂))ⁿ×(1−p₁)×p₂.

2. En déduireP(G_i) pouri∈ {1,2}, puis la probabilité que le jeu dure indéfiniment.

G₁ =

+∞

[

n=0

E_1,2n+2 donc par σ-additivité, P(G₁) =

+∞

X

n=0

((1−p₁)(1−p₂))ⁿ×p₁= p1

1−(1−p₁)(1−p₂); on trouve de même,P(G2) = (1−p1)p2

1−(1−p₁)(1−p₂).

On noteT : "le jeu ne termine pas". On a :T =G1∪G2;G1 etG2 sont incompatibles donc P(T) = 1−(P(G₁) +P(G₂)) = 0. On en déduit que le jeu termine.

3. A quelle condition le jeu est-il équitable (c’est-à-direP(G₁) =P(G₂)) ? P(G1) =P(G2)⇔p2 = p1

1−p₁. 4. Que dire sip1> 1

2? Sip₁ > 1

2, alors p₁ 1−p1

>1donc dans ce cas, le jeu ne peut pas être équitable.

Exercice 5

SoitXune variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètreλ >0, etY un variable aléatoire indépendante deX, qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep.

On définit la variable aléatoire Z parZ= 0 si Y = 0, etZ =X sinon.

1. Déterminer la loi deZ, et la loi de Y conditionnée par (Z= 0).

On a, d’après la formule des probabilités totales :

P(Z = 0) =P(Y=0)(Z = 0)×P(Y = 0) +P(Y6=0)(Z = 0)×P(Y 6= 0)

De plus,P(Y6=0)(Z = 0) =P(X = 0)etP(Y 6= 0) =P(Y = 1), on en déduit que P(Z = 0) = 1×(1−p) +p×e^−λ.

Pour k∈N^∗,P(Z =k) =P(Y 6= 0∩X=k) =P(Y = 1)×P(X=k) =pλ^k k!e^−λ. P(Z=0)(Y = 0) = P((Z= 0)∩(Y = 0))

P(Z= 0) = P(Y=0)(Z = 0)×P(Y = 0)

P(Z = 0) = 1−p 1−p+pe^−λ.

Ainsi, la loi conditionnelle de Y sachant (Z = 0)est une loi de Bernoulli de paramètre pe^−λ 1−p+pe^−λ. 2. Z admet-elle une espérance ? Admet-elle une variance ? Si oui, la ou les calculer.

D’après le critère de d’Alembert, les séries de termes généraux kpλ^k

k!e^−λ et k²pλ^k

k!e^−λ convergent, et on a :E(Z) = 0×(1−p) +

+∞

X

k=1

kpλ^k

k!e^−λ =e^−λpλe^λ =pλ.

E(X²) = 0²×(1−p) +e^−λp

+∞

X

k=1

k(k−1) +k

k! λ^k=e^−λp

λ²e^λ+λe^λ

=pλ(λ+ 1).

On déduit de la formule de König-Huygens :V ar(X) =E(X²)−(E(X))² =pλ(λ+ 1−pλ).

Exercice 6

On définit surNl’applicationP donnée par :∀n∈N, P({n}) = 1 2ⁿ⁺¹. 1. Vérifier que P est une probabilité surN.

∀n∈N, P(n)∈[0,1] et

+∞

X

n=0

p(n) = 1donc P définit bien une probabilité sur N. 2. DansN muni de la probabilitéP, les événements2Net3Nsont-ils indépendants ?

On a, pour a∈N, P(aN) =

+∞

X

n=0

P(an) =

+∞

X

n=0

1

2^an+1 = 2^a−1 2^a−1. Ainsi, P(2N) = 2

3, P(3N) = 4

7 etP(2N∩3N) =P(6N) = 32

63, on en déduit que les les événements2N et3Nne sont pas indépendants.

3. Calculer la probabilité des événements :{k∈N,2-k et3-k} et{k∈N,2|k et3-k}.

On a : A={k∈N,2-ket3-k}= 2N∩3N, donc

P(A) = 1−P(2N∪3N) = 1−(P(2N) +P(3N)−P(2N∩3N)) = 38 69; etB ={k∈N,2|k et3-k}= 2N∩3N; on a donc :

P(B) =P_2N(3N)×P(2N) = (1−P_2N(3N))×P(2N) =

1−P(6N) P(2N)

P(2N) = 10 63.

4. La variable aléatoire de loi(n, P({n}))admet-elle une espérance ? Admet-elle une variance ? Si oui, la ou les calculer.

On noteX une variable aléatoire suivant la loi(n, P({n})).

D’après le critère de d’Alembert, les séries de termes généraux n

2ⁿ⁺¹ et n²

2ⁿ⁺¹ convergent et on a : E(X) =

+∞

X

n=0

n 2ⁿ⁺¹ = 1

4

+∞

X

n=1

n

2ⁿ⁻¹ = 1; E(X²) =

+∞

X

n=0

n(n−1) +n 2ⁿ⁺¹ = 1

8

+∞

X

n=2

n(n−1) 2ⁿ⁻² +1

4

+∞

X

n=1

n

2ⁿ⁻¹ = 2 + 1 = 3 On déduit de la formule de König-Huygens que V ar(X) = 2

Exercice 7

On définit surNl’applicationP donnée par :∀n∈N, P({n}) = 1 en!. 1. Vérifier que P est une probabilité surN.

∀n∈N, P(n)∈[0,1] et

+∞

X

n=0

p(n) = 1donc P définit bien une probabilité sur N.

2. DansN muni de la probabilitéP, calculer la probabilité des événements :A={2k, k∈N}et B ={2k+ 1, k∈N}.

P(A) =

+∞

X

n=0

P(2n) = 1 e

1

2n! =e⁻¹ch (1) P(B) =

+∞

X

n=0

P(2n+ 1) = 1 e

1

(2n+ 1)! =e⁻¹sh (1)

3. Les événements AetB sont-ils incompatibles ? indépendants ?

A∩B=∅donc les événements sont incompatibles. Par contre, P(A∩B)6=P(A)×P(B)donc ils ne sont pas indépendants.

4. La variable aléatoire de loi(n, P({n}))admet-elle une espérance ? Admet-elle une variance ? Si oui, la ou les calculer.

On noteX une variable aléatoire suivant la loi(n, P({n})).

D’après le critère de d’Alembert, les séries de termes généraux n

en! et n²

en! convergent, et on a : E(X) =e⁻¹

+∞

X

n=0

n

n!=e⁻¹e= 1 etE(X²) =e⁻¹

+∞

X

n=0

n(n−1) +n

n! =e⁻¹(e+e) = 2

On déduit de la formule de König-Huygens que V ar(X) = 1

Exercice 8

On effectue une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée. On note X (resp. Y) la VA égale au rang d’apparition du premier pile (resp. face).

1. Déterminer la loi du couple (X, Y).

Le couple(X, Y) prend ses valeurs dans(N^∗)².

Pour n∈N^∗, on note P_n:"obtenir Pile aun-ième lancer".

∀(i, j)∈(N^∗)², on a :

Sii=j,(X=i)∩(Y =j) =∅donc P((X=i)∩(Y =j)) = 0.

Sii≥2, j≥2,(X =i)∩(Y =j) =∅donc P((X=i)∩(Y =j)) = 0.

Si1 =i < j,(X =i)∩(Y =j) =P₁∩ · · · ∩Pj−1∩P_j donc la formule des probabilités composées et l’indépendance des lancers donnent :

P((X=i)∩(Y =j)) = 1

2 j−1

× 1 2 = 1

2^j On obtient de même si 1 =j < i.

Finalement :P((X=i)∩(Y =j)) =









 1

2^j si 1 =i < j 1

2ⁱ si 1 =j < i

0 sinon

.

2. Calculer la covariance du couple(X, Y).

Pour tout n∈N^∗, on a clairementP(X =n) =P(Y =n) = 1 2ⁿ, et E(X) =E(Y) =

+∞

X

n=1

n 2ⁿ = 1

2

+∞

X

n=1

n 2ⁿ⁻¹ = 1

2 1

1−¹₂2 = 2.

E(XY) =

+∞

X

n=1

nP(XY =n) =

+∞

X

n=2

n(P((X = 1)∩(Y =n)) +P((Y = 1)∩(X =n)) = 2

+∞

X

n=2

n 2ⁿ

=

+∞

X

n=2

n

2ⁿ⁻¹ = 1

1− ¹₂2 −1 = 3

Finalement, comme X etY sont indépendantes, on a : Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y) =−1.

3. Déterminer la loi de la VAS =X+Y. Soitk∈N, k≥3;

P(S =k) =P((X = 1)∩(Y =k−1)) +P((X=k−1)∩(Y = 1)) = 1

2^k−1 + 1

2^k−1 = 1 2^k−2. Exercice 9

On note pour tout(i, j)∈(N^∗)² :p_ij = 1

i(i+ 1)j(j+ 1).

1. Montrer que la famille (i, j, pij)_(i,j)∈(N^∗₎² est la loi de probabilité d’un couple (X, Y) de VA discrètes.

∀(i, j)∈(N^∗)², p_i,j ≥0 et

+∞

X

i=1

1 i(i+ 1) =

+∞

X

i=1

1 i − 1

i+ 1

= 1, par télescopage ;

on a donc

+∞

X

j=1 +∞

X

i=1

p_i,j =

+∞

X

j=1

1

j(j+ 1) = 1.

Ainsi, (i, j, pij)_(i,j)∈(N^∗₎² est la loi de probabilité d’un couple (X, Y) de VA discrètes.

2. Déterminer les lois marginales deX etY.

∀i∈N^∗,P(X =i) =

+∞

X

j=1

p_i,j = 1 i(i+ 1). De même pour Y.

3. Montrer que X etY sont indépendantes.

D’après les questions précédentes, ∀(i, j) ∈ (N^∗)²,P((X = i)∩(Y = j)) = P(X = i)P(Y = j) d’où l’indépendance.

Exercice 10

Soient X et Y deux VA indépendantes suivant une loi de Poisson de paramètres respectifs λ > 0 et µ >0.

1. Déterminer la loi deS =X+Y. La reconnaître.

Soitn∈N;P(S =n) =

n

X

k=0

P((X=k)∩(Y =n−k)) =

n

X

k=1

e^−(λ+µ) λ^kµ^n−k

k!(n−k)! = e^−(λ+µ)

n! (λ+µ)ⁿ. On reconnaît une loi de Poisson de paramètre λ+µ.

2. Soitn∈N. Déterminer la loi conditionnelle deX sachant (S=n). La reconnaître.

Soientn∈N, etk∈[|0, n|].

P(S=n)(X=k) = P((X =k)∩(S =n)) P(S=n) =

e^{−λ λ}_k!^ke^{−µ µ}_(n−k)!^n−k e^{−(λ+µ) (λ+µ)}_n! ⁿ

= n

k

λ λ+µ

k

× µ

λ+µ n−k

. La loi conditionnelle deX sachant (S=n) est donc une loi binomiale B

n, λ

λ+µ

.