Concours Blanc n

E1B 2015-2016

Concours Blanc n

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Mathématiques

Vendredi 3 juin

Durée : 4 heures

La calculatrice est interdite.

Exercice

Dans cet exercice, on considère la matriceA suivante.

A =





3 −1 1 2 0 2 1 −1 3





1. a) CalculerA²−4A.

b) En utilisant la question précédente, montrer queAest inversible et déterminer sa matrice inverse A⁻¹.

2. On considère maintenant la matriceP =





1 0 1 1 1 1 0 1 1



.

a) Démontrer que la matrice P est inversible et déterminer son inverse P⁻¹ par la méthode du pivot de Gauss.

b) Déterminer deux réelsaetb tels qu’on ait :P⁻¹AP =





2 0 a 0 2 b 0 0 2



.

3. Dans la suite, on noteT = P⁻¹AP la matrice précédente et on écritT = 2I+N. a) Préciser la matrice N puis calculerN².

b) Soit n∈N. Déterminer Tⁿ.

4. a) Expliquer pourquoi l’on a :∀n∈N, Aⁿ = n2ⁿ⁻¹ A−(n−1)2ⁿI. b) La formule précédente est-elle vérifiée pourn=−1?

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Problème

On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie (pas forcément équilibrée). On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité p (0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1−p. On s’intéresse dans cet exercice au moment où apparaissent pour la première fois deux piles consécutifs.

Pour tout entier naturel knon nul, on note :

• Pk l’événement « on obtient pile auk-ième lancer ».

• Fk l’événement « on obtient face auk-ième lancer ».

Pour tout entier naturelnnon nul, on noteAnl’événement : « deux piles consécutifs apparaissent pour la première fois aux lancers numéros netn+ 1». On pose alors :

× pour tout entier naturelnnon nul, a_n = P(A_n), la probabilité deA_n.

× par convention,a0 = 0.

Partie 1. Préliminaire : encadrement des racines d’une équation.

On considère la fonction polynomialef de la variable réellex définie par : f(x) =x²−q x−p q

1. Montrer que l’équationf(x) = 0 possède deux racines réelles distinctesr₁ etr₂ (r₁< r₂).

2. Exprimerr₁+r₂ etr₁r₂ en fonction de petq.

3. Calculerf(1), f(−1), f(0). Préciser le signe de chacune de ces quantités.

4. Montrer que :

−1< r₁<0< r₂ <1 5. Montrer que :

|r₁|<|r₂|<1

Partie 2. Équivalent de a_n quand n tend vers l’infini.

1. a) ÉcrireA₁ en fonction deP₁ etP₂. En déduire que :a₁ = p². b) En raisonnant de même, déterminera2 en fonction de petq.

c) Déterminer enfina3 en fonction dep etq.

On écrira tout d’abord A₃ en fonction des événementsP_i etF_i pouri∈ {1,2,3,4}.

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2. a) Expliquer pourquoiPP1(A_n+2) = q a_n et PF1(A_n+2) = a_n+1. b) En utilisant la formule des probabilités totales, démontrer que :

∀n∈N, a_n+2 = q a_n+1+p q a_n

3. a) Montrer que : ∀n∈N, an= p² r2−r1

(r₂ⁿ−r₁ⁿ).

b) Déterminer la limite de la suite (an).

c) Donner un équivalent simple de a_nlorsque ntend vers +∞.

Partie 3. Expression de a_n en fonction de n par une méthode matricielle.

On définit les matrices AetP par : A=

r₁+r₂ −r₁r₂

1 0

P =

r₁ r₂ 1 1

ainsi que les matrices colonnesXn par :

X_n=

a_n+1 an

On noteI la matrice identité de taille 2.

1. Soitn∈N. ExprimerXn+1 en fonction de Aet de Xn.

2. Montrer que les matricesA−r₁I etA−r₂I ne sont pas inversibles. Que peut-on en déduire sur les équations matriciellesA X =r1X etA X=r2X de variableX ∈M2,1(R)?

3. Montrer queP est inversible et déterminer P⁻¹. 4. Expliciter la matriceD = P⁻¹A P.

5. Démontrer que : ∀n∈N, Dⁿ = P⁻¹AⁿP.

6. Montrer que : ∀n∈N, Xn=P DⁿP⁻¹X0.

7. Retrouver ainsi l’expression deanen fonction de r2,r1,petn.

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Partie 4. Étude du temps d’attente du premier double pile.

1. Exprimer(1−r₂) (1−r₁) en fonction dep.

2. Exprimer r₂(1−r₁)²−r₁(1−r₂)²

r₂−r₁ en fonction dep et de q.

3. SoitN ∈N^∗. ExprimerS_N = PN k=1

P(A_k)en fonction de p,r₁ etr₂. Que représente cette quantité ?

4. En déduire que la sérieP

a_n est convergente et calculer sa somme.

5. Démontrer que la sérieP

(n+ 1)a_n est convergente et que sa somme vautT = 1 +p p² . On commencera par exprimerT_N =

N

P

k=1

(k+ 1)P(A_k) en fonction dep,r₁,r₂ etS_N. 6. Que représente la quantitéTN?

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