? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 2 - S1 - Analyse
vendredi 22 novembre 2019 - Durée 1 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
1. a. Démontrer que le rayon de convergence de X
zn vaut1.
b. Démontrer que le rayon de convergence de Xzn
n vaut1.
c. Pour toutx∈]−1,1[, exprimer
S1(x) =
+∞
X
n=0
xn et S2(x) =
+∞
X
n=1
xn n
en fonction dex.
2. a. Justifier que pour tout x∈]−1,1[,
ln(1−x) x−1 =
+∞
X
n=1
1 + 1
2+1
3 +· · ·+ 1 n
xn
b. Déterminer le rayon de convergence de la série entière X
1 +1 2 +1
3+· · ·+1 n
xn
3. On note pourx∈]−1,1[,
f(x) =
+∞
X
n=1
1 +1
2 +1
3 +· · ·+1 n
xn
a. Démontrer que pour toutx∈]−1,1[,
f(x)−xf(x) =S2(x) b. Retrouver le résultat de la question2.a)
4. Soit(an)une suite de réels strictement positifs. On pose
∀n∈N, bn=
n
X
k=0
ak
On note alorsRa etRb les rayons de convergence respectifs deX
anzn etX bnzn. a. Montrer que
Rb≥min(Ra,1) b. Montrer que si(an)converge vers0et X
an diverge alors Ra = 1 puis Rb= 1 5. On pose, pour toutx∈]−1,1[,
g(x) =
+∞
X
n=0
anxn
où(an)est une suite de réels strictement positifs telle que(an)converge vers0et X
an diverge.
Démontrer que pour toutx∈]−1,1[,
+∞
X
n=0
bnxn= g(x) 1−x
Fin de l’énoncé d’analyse
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