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ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DES FORCES - TP
1. Modélisation des forces de frottement 1.1. Préparation de l’enregistrement
• Ajuster lʼhorizontalité de la table à coussin dʼair, à lʼaide des pieds à vis, en vérifiant lʼabsence de mouve- ment dʼun palet initialement immobile.
• Préparer une feuille dʼenregistrement, ainsi que le “second” palet : utile pour la fermeture du circuit élec- trique formant les étincelles.
• Mesurer la masse dʼun palet avec surcharge (celle-ci sert à augmenter le frottement pour mieux lʼétudier), puis le lancer (en mouvement “rectiligne uniforme” à la surface de la table), et enregistrer son mouvement.
◊ remarque : la précision relative des mesures nécessite de considérer des intervalles qui ne soient pas trop longs (trop peu de mesures) mais qui ne soient pas trop courts ( lʼincertitude sur la position des étincelles est de lʼordre de 0,5 mm) : ajuster le dispositif à étincelles et la vitesse du palet pour que les intervalles soient de lʼordre de 15 mm.
• Vérifier que la trajectoire est effectivement rectiligne, et que le mouvement est en première approximation uniforme. Vérifier quʼen seconde approximation on observe un léger ralentissement progressif.
Le but de lʼétude qui suit est de modéliser ce frottement en supposant quʼil sʼagit soit dʼun frottement “fluide”
sur lʼair, soit dʼun frottement “solide” sur les irrégularités de la surface de la table (le coussin dʼair et la sur- face ne sont pas parfaits).
1.2. Modèle du frottement fluide (visqueux)
• Pour les faibles vitesses (si on peut négliger les “tourbillons”), le frottement fluide est dû à la viscosité (celle de lʼair est très faible, mais non nulle). Ce frottement est alors proportionnel à la vitesse :
!
f = -k
!
v avec une constante k > 0.
Pour lʼétude du mouvement rectiligne, on peut raisonner algébriquement :
!
f = -k
!
v ; montrer que (compte tenu de la compensation du poids par la réaction normale de la table) la relation fondamentale de la dyna- mique de translation conduit à : ln(v) = ln(v0) -
!
k
m t et v = v0 e-kt/m.
Calculer, puis représenter graphiquement ln(v) en fonction de t ; en déduire la valeur de k permettant de modéliser lʼexpérience par un frottement fluide ; conclure du point de vue de la précision de ce modèle.
• Dans la mesure où le frottement est faible, on peut utiliser un développement limité : v ≈ v0 (1 -
!
k m t).
Calculer, puis représenter graphiquement v en fonction de t ; en déduire la valeur de k ; conclure du point de vue de la précision du modèle.
◊ remarque : pour les plus grandes vitesses, le frottement fluide est surtout lié à lʼénergie cinétique dissipée dans les tourbillons ; ce frottement est alors proportionnel au carré de la vitesse :
!
f = -k v2
!
u avec une constante k > 0 et où
!
u est un vecteur unitaire orienté selon le mouvement.
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1.3. Modèle du frottement solide
• Le frottement solide est dû au contact des aspérités microscopiques des surfaces. Pour les situations où il y a glissement, ce frottement est ici à peu près de norme constante (proportionnelle à la réaction normale) :
!
f = -f
!
u avec une constante f > 0 et où
!
u est un vecteur unitaire orienté selon le mouvement.
• Pour lʼétude du mouvement rectiligne, on peut raisonner algébriquement ; montrer que la relation fonda- mentale de la dynamique de translation conduit à : v = v0 -
!
f m t.
Calculer, puis représenter graphiquement v en fonction de t ; en déduire la valeur de f permettant de modé- liser lʼexpérience par un frottement solide ; conclure du point de vue de la précision de ce modèle (comparer en particulier au développement limité utilisé pour le modèle de frottement fluide faible).
2. Modélisation des forces magnétiques 2.1. Préparation de l’enregistrement
• Préparer une feuille dʼenregistrement. Munir les deux palets des anneaux magnétiques ; mettre en place le
“second” palet (fixe) utile pour la fermeture du circuit électrique formant les étincelles.
Mesurer la masse du palet (mobile) avec lʼanneau magnétique, puis le lancer selon une trajectoire du type représenté ci-contre, en enregistrant son mou- vement.
☞
remarque : si on veut obtenir une énergie poten- tielle magnétique importante pendant le choc (afin de mieux la mesurer) il faut que l'interaction soit grande (passage du palet mobile très proche) ; il peut donc être nécessaire de maintenir le palet fixe (moteur arrêté) pour éviter un effet de recul pendant le choc.2.2. Modélisation avec une énergie potentielle magnétique
• On suppose que les forces magnétiques entre les deux anneaux dérivent dʼune énergie potentielle de la forme : Ep =
!
"
rn avec r = OM et des constantes : α > 0 ; n ∈ ℕ.
• Pour un mouvement curviligne, lʼétude complète nʼest pas simple, mais on peut raisonner algébriquement avec lʼénergie mécanique ; montrer quʼon obtient ainsi : v2 +
!
A
rn = v02 +
!
A
r0n et expliciter la constante A.
Si on suppose lʼexposant n assez grand et r0≫ rmin, on peut négliger
!
A
r0n en très bonne approximation. En déduire une relation de la forme : ln(v02 - v2) ≈ ln(A) - n ln(r).
Calculer ln(v02 - v2) et ln(r) en fonction de t, puis représenter graphiquement ln(v02 - v2) en fonction de ln(r) ; en déduire les valeurs de α et n permettant de modéliser lʼexpérience par une énergie potentielle magnétique de la forme considérée ; conclure du point de vue de la précision de ce modèle (conclure en particulier si
!
A
r0n est négligeable, et si les frottements sont raisonnablement négligeables).
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2.3. Prise en compte des frottements
• On suppose que les frottements peuvent être décrits par le frottement solide :
!
f = -f
!
u avec une cons- tante f > 0 et où
!
u est un vecteur unitaire orienté selon le mouvement. En raisonnant algébriquement avec lʼénergie mécanique, montrer quʼon obtient : v2 +
!
A
rn = v02 +
!
A
r0n - C L, où L est la longueur (curviligne) parcourue par le palet à partir du point D, et avec une constante C > 0. Expliciter la constante C.
Si on suppose lʼexposant n assez grand et r ≫ rmin, on peut négliger
!
A
rn en très bonne approximation. En déduire dans ces conditions une relation “asymptotique” de la forme : v02 - v2 ≈ C L.
Calculer L en fonction de t, puis représenter graphiquement v02 - v2 en fonction de L ; en considérant uni- quement les points limites (pour r ≫ rmin, cʼest-à-dire pour L ≈ 0 et L ≈ Lmax), en déduire la valeur de f permettant de modéliser le frottement par un frottement solide ; conclure du point de vue de la précision de ce modèle (conclure en particulier si les frottements sont raisonnablement négligeables).
• Dans le cas général, on peut négliger
!
A
r0n en très bonne approximation, mais il faut tenir compte de
!
A rn pour les points proches de O.
Calculer ln(v02 - v2 - C L) en fonction de t, puis représenter graphiquement ln(v02 - v2 - C L) en fonction de ln(r) ; en déduire les valeurs de α et n permettant de modéliser lʼexpérience par une énergie potentielle magnétique de la forme considérée ; conclure du point de vue de la précision de ce modèle (conclure en particulier si
!
A
r0n est négligeable).
◊ remarque : les anneaux aimantés sont constitués dʼune série dʼaimants droits qui peuvent être considérés comme des dipôles magnétiques, et sont caractérisés par un moment dipolaire
!
M
; un aimant dipolaire crée un champ magnétique!
B =
!
µ0 4"
!
3u (u"
M
)#M
r3 où µ0 = 4π 10
-7 H.m-1 est la perméabilité magnétique du vide ; pour deux aimants droits alignés en opposition :
!
M
=M
!
u = -
!
"
M
,!
B =
!
µ0 2"
!
M
r3 et Ep = -
!
"
M
•!
B =
=
!
µ0 2"
!
M
2r3 , ce qui correspond à n = 3 ; pour lʼensemble des anneaux, la situation est plus compliquée, mais on peut raisonnablement envisager une énergie potentielle de forme analogue.
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Matériel (au bureau)
1 (ou 2) table(s) à coussin dʼair avec accessoires
(PRÈS DU TABLEAU)
1 (ou 2) série(s) de 2 anneaux magnétiques (masse ≈ 680 g ou ≈ 710 g selon la série) 1 rouleau de ruban adhésif
1 balance à lecture directe
1 dynamomètre à ressort sur support 1 boite de masses marquées (avec crochet)
“quelques” feuilles A2 pour enregistrement (x 4 groupes)
