G223 : Triangles interdits
Soit un ensemble de 2n points du plan. Si on les classe en deux sous ensembles disjoints de n points chacun, on peut relier chacun des points du premier sous-ensemble à chacun du second, sans tracer de triangle. On aura tracé ainsi n2 segments.
Soit P(n) le nombre maximum de segments que l’on peut tracer entre 2n points sans former de triangle. Il est facile de vérifier que pour n=2, P(2)=4.
Considérons maintenant 2n+2 points (avec n≥2), et choisissons deux points reliés par un segment. Chacun des 2n autres points ne pourra être relié qu’à un seul des deux points choisis. Le nombre maximum de segments pour 2n+2 points sera donc au égal au nombre de segments pour 2n points, plus un (le segment choisi) plus au maximum un segment pour chacun des 2n points : P(n+1)≤P(n)+2n+1 et puisque P(2)=4, P(n)≤n2
Il en résulte que P(n)= n2 et donc si 2n=2006, P(1003)=1006009
