E583** - Les extrêmes se rapprochent
Soit E un ensemble de 13 entiers strictement positifs distincts. Pris deux à deux, ils sont relativement premiers entre eux. La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus petite valeur possible d.
Déterminer d et donner un exemple de l’ensemble E
Proposition de Marc Humery
1/ suite de 13 entiers ui premiers entre eux 2 à 2
E = {u1, u2, …, u13} ; 0 < u1 < u2 < … < u13 tel que ∀i,j ; 1 ≤ i < j ≤ 1 on a pgcd(ui, uj) = 1
Pour construire une suite (E), il est préférable de partir de la suite connue des nombres premiers {P} = {pi ; 2, 3, 5, 7, 11,…} qui sont tous premiers entre eux 2 à 2.
2/ Avoir d = (u13-u1) le plus petit possible dans les suite {E}
d = ∑12𝑗=1(uj+1-uj) = u13-u1 ; d diminue si :
+ intervalles dj = (uj+1-uj) les plus petits possibles
+ avoir le plus grand nombre possible de « petits » intervalles dj
+ augmenter u1 plus vite que u13
3/ Le début de la suite des nombres premiers comme base initiale
Dans l’ensemble N, parmi les petits nombres, il y a beaucoup de nombres premiers et parmi les grands nombres, ils sont de plus en plus rares.
L'écart « moyen » entre deux nombres premiers consécutifs se comporte asymptotiquement comme Ln (n) c’est-à-dire tend à augmenter avec n, mais il y a beaucoup de dispersion.
Donc le début de la suite {P} est la plus favorable pour avoir le plus grand nombre de petits intervalles {ui = pi ; u1 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, u13 = 41} suite initiale ; d = 41 – 2 = 39
4/ Construction des suites {E} en augmentant u1 sans trop changer u13
u1 = 5, on peut remplacer 2 par 2k et 3 par 3k ou 2 et 3 par 2x3 (mais on perd un terme) qui restent toujours premiers avec chacun des autres entiers. Les entiers remplaçants sont insérés entre u1 et u13
{u1 = 3, 2², 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, u13 = 41} ; d = 41-3 = 38 {u1 = 5, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, u13 = 41} ; d = 41-5 = 36 {u1 = 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, u13 = 41} ; d = 41-7 = 34 {u1 = 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 37, 41, u13 = 43} ; d = 43-11 = 32 {u1 = 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 37, 41, 43, u13 = 47} ; d = 47-13 = 34 {u1 = 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, u13 = 49} ; d = 49-17 = 32 {u1 = 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, u13 = 53} ; d = 53-19 = 34 {u1 = 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, u13 = 59} ; d = 59-23 = 36 {u1 = 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 51, 53, 55, 59, u13 = 61} ; d = 61-29 = 32 {u1 = 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 51, 53, 55, 59, 61, u13 = 67} ; d = 67-31 = 36 etc…
Conclusion : la plus petite valeur possible : d = 32
