Problème E122. Solution proposée par Jacques Guitonneau On a une suite récurrente d’ordre 3 où

Problème E122.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

On a une suite récurrente d’ordre 3 où :Un= Un-3 + Un-2 avec U1=0, U2=2, U3=3

La théorie des suites récurrentes nous dit qu’il faut étudier les suites de vecteurs suivants : Vn= { Un, Un+1,Un+2 } et étudier la relation de récurrence entre Vn+1 et Vn par la relation Vn+1= A*Vn où A est la matrice de passage.

Celle-ci est égale à

0 1 0 0 0 1 1 1

0 1 1

Il s’agit alors de rechercher les valeurs propres de cette matrice de façon à la diagonaliser. Pour cela il faut rechercher le polynôme caractéristique de cette matrice qui n’est autre que le déterminant de le matrice A-X.I avec I la matrice identité

–X 1 0 0 –X 1 1

1 1 –X

Soit le polynôme P= X³– X –1. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de la matrice de passage et la solution de cette suite récurrente peut s’exprimer comme combinaison linéaire de puissances n ièmes de ces racines soit :

Un = K1.α1n + K2.α2n+ K3.α3n.

α1 est la racine réelle de P qui peut alors s’écrire P=(X- α1 )(X²+ α1.X + 1/α1) et d’autre part α2 et α3 les racines imaginaires conjuguées de X²+ α1.X + 1/α1 et valent respectivement – α1/2 + i/2 *

√(4/α1 – α12) et – α1/2 – i/2 * √(4/α1 – α12).

La valeur de α1 n’a pas d’utilité pour la démonstration de ce que l’on recherche , on peut cependant dire que sa formulation exacte est : √(1/2 –1/2√(23/27)) + √(1/2 +1/2√(23/27)) où le signe √ signifie racine cubique ce qui donne une valeur approchée de 1,32471796 et justifie la nature complexe conjugués des racines α2 et α3.

Recherchons maintenant les valeurs de K1, K2 et K3 . On suppose qu’elles sont réelles (ce qui n’est pas évident au départ mais s’avèrera juste), on a alors K2 égal à K3 pour que les termes imaginaires disparaissent.

U1=0= K1. α1- K2. α1/2 – K3. α1/2 et comme K2=K3 on a aussi K2=K1.

U2=2= K1. α1² +2.K1.(α2²+α3²)=K1.( α1²+ 2.( α1²/4 –1/4. (4/α1 – α1²))=2*K1. (α1² –1/ α1)=2*K1 (car α1³= α1 +1) soit K1=1 =K2 =K3

On peut vérifier que cette solution est aussi valable pour U3. Car U3=3 =K1*( α1³+ α2³+ α3³) et compte tenu que α³= α +1 on a donc 3=K1*( α1 + α2 + α3 +3) et comme d’après la première équation α1 + α2 + α3= 0, on a bien K1=1=K2=K3.

Donc on a Un = α1n + α2n + α3n

Par ailleurs on va exprimer Un en fonction des valeurs précédentes de la suite. Ainsi on a par définition : Un= Un-2+ Un-3, puis en appliquant la même chose sur Un-2 et Un-3, on obtient Un=Un-4 + 2Un-5 + Un-6 et ainsi de suite si on poursuit k fois on montre facilement par récurrence que :

Un= Un-2k + C(k,1).Un-2k-1 + C(k,2).Un-2k-2 +…+ C(k,k-1).Un-3k+1 +Un-3k, où C(n,m) est le nombre de combinaisons de m objets choisis parmi n.

Maintenant prenons n=3p avec p premier, et en prenant k= p également on peut donc écrire : U3p= Up + C(p,1). Up-1 +C(p,2). Up-2 +…+ C(p,p-1).U1 + U0. U0 vaut 3. Puisque p est premier chaque C(p,i) est divisible par p. On en conclut que U₃p ≡ Up +3 (mod p) (Résultat 1) Par ailleurs on peut évaluer l’expression (U3)^p=( α1³+ α2³+ α3³)^p qui en développant donne

∑ p !/(i!.j!.k!) * α13i * α23j * α33k où i+j+k =p On a les termes extrêmes α13p + α23p + α33p soit U3p. Pour les autres termes on peut les regrouper par triplets où aucun des i, j ou k ne vaut p. Pour un triplet quelconque et toutes ses permutations on a au maximum 6 termes :

α13i * α23j * α33k + α13i * α23k * α33j + α13j * α23i * α33k + α13 j* α23k * α33i + α13k * α23i * α33j + α13k * α23j * α33i avec le même coefficient à savoir p !/(i!.j!.k!).

On peut noter également que cette expression peut se réduire à des combinaisons de deux termes puisque α1* α2* α3 =1 d’après le polynôme caractéristique dont α1, α2, α3 sont racines. Donc les expressions sont du type : α13i * α23j + α13i * α33j + α13j * α23i + α13 j* α33i + α23i * α33j + α23j * α33i

qui peut encore s’écrire :

(α13i + α23i + α23i )*( α13j + α23j + α33j) – (α1(³ⁱ+^3j) + α2(³ⁱ+^3j) + α3(³ⁱ+^3j)) ou encore U3i *U3j – U3(i+j)

qui est par construction un nombre entier. Si j=i on a deux fois moins de termes à savoir α13i * α23i + α13i * α33i + α23i * α33i qui peut s’écrire également :

((α13i + α23i + α23i )²– (α16i + α26i + α36i))/2 là encore un nombre entier ou une moitié de nombre entier.

Le coefficient de chacun de ces termes est p !/(i!.j!.k!) ou un multiple qui est, puisque p est premier, nécessairement multiple de p.

Au final on a donc U3p≡ U3p(mod p). Par ailleurs U3=3 et d’après le petit théorème de Fermat on a 3^p≡3 (mod p) . Donc U3p≡ 3 (mod p). (résultat 2)

En reportant ce deuxième résultat sur le premier, à savoir Up ≡ U3p – 3 on obtient Up ≡ 0 (mod p) CQFD.