I145 Les miradors de la forêt [***** à la main]
Solution
Soit ABCD la forêt de dimension carrée et de surface 100km2. On a donc AB = 10 km.
Par convention les axes des abscisses x’Ox et des ordonnées y’Oy sont pris comme axes de symétrie du carré.
Comme le suggère l’énoncé, nous allons chercher successivement la localisation optimale de 1, 2,3,….n miradors et déterminer le rayon de couverture minimal de chacun d’eux pour surveiller toute la forêt. Ceci revient à recouvrir un carré de côté 10 à l’aide de cercles de même rayon r, r étant le plus petit possible. Ce problème a fait l’objet d’analyses détaillées parmi lesquelles on retiendra notamment:
[1] J.B.M. Melissen et P.C. Schuur : « Improved coverings of a square with six and eight circles »
[2] J. Numerla et P.R.J. Ostergard : « Covering a square with up to 30 equal circles »
Pour n = 1, la solution est triviale (voir 1ère figure ci-après). Le mirador placé en O1 au centre du carré doit avoir un rayon de couverture R1 = 5 2= 7,07106….kms.
Pour n = 2, la solution est immédiate avec deux cercles centrés en O1et O2 et de rayon de couverture R = 2
2 5
5 = 5,590169….kms (voir 2ème figure ci-après).
Pour n = 3, on considère le point I milieu de CD. La médiatrice de BI coupe AD en E et celle de AI coupe BC en F. On AF = BE = EI = FI. Les trois miradors placés respectivement en
3 2 1,O et O
O milieux des segments EI, FI et AF ont pour rayon de couverture R = 3 8
65 5 = 5,038911…kms La configuration ainsi obtenue est symétrique par rapport à l’axe des y (voir 3ème figure ci-après)
.
Pour n = 4, la solution très simple consiste à placer les miradors aux centres des carrés de même côté 5 qui partagent en quatre le carré de côté 10. Le rayon de couverture est R = 4
2 2
5 = 3,5355339… kms. La configuration est symétrique par rapport à l’axe des x comme par rapport à l’axe des y (voir 1ère figure ci-après)
.
Pour n = 5, les choses se compliquent un peu. On place deux miradors en O1et O2sur une première ligne et les trois autres miradors en O3,O4et O5 en dessous de telle sorte que le cercle de centre O est plus bas que les deux autres cercles de centres 4 O3et O5 .La
configuration reste symétrique par rapport à l’axe des y. Soient I le milieu de AB, E un point de AC tel que AE = 10x et r le rayon commun aux cinq cercles. Le premier mirador placé en
O1 milieu de EI a pour rayon de couverture r = 2
x 4 1
5 2
. On en déduit aisément les positions de O2,O3et O5 (voir figure ci-dessus) à l’aide des points F,G et H situés sur les côtés BC et CD. Soit J le deuxième point d’intersection autre que I des deux premiers cercles de centres O1et O2. La position de O est déterminée de telle manière que 4 O4JO4G= r.
Il en résulte une équation du 6ième degré en x : 64x6 – 149x5 + 209x4 – 196x3 + 154x2 – 92x + 21 = 0 qui a pour solution x = 0,4189545…. comprise entre 0 et 1 Il en résulte R = 5 3,2616058… kms (voir 2ème figure ci-après).
Pour n = 6, la configuration qui vient à l’esprit consiste à partager le carré en six rectangles de mêmes dimensions 5 et
3
10 et à placer les miradors aux centres O1,O2,O3,O4,O5et O6 de ces six rectangles. Le rayon de couverture est alors égal à R = 6
6 13
5 = 3,004626…kms (voir 3ème figure ci-après). La configuration est symétrique par rapport à l’axe des x comme par rapport à l’axe des y.
A ce stade, on constate qu’à un epsilon près (4 mètres…) six miradors d’un rayon de couverture de 3 kilomètres et placés aux points O1,O2,O3,O4,O5et O6 ne suffisent pas à surveiller la totalité de la forêt. Ceci est confirmé par les deux figures ci-après:
Comme le montre le grossissement de la zone où se rencontrent les quatre cercles de centres
6 5 2
1,O ,O et O
O , il y a bien à l’intérieur du carré deux zones non surveillées par les six miradors.
Faut-il installer un 7ième mirador ? Ce n’est pas nécessaire . Si l’on décale légèrement le point I vers le haut sur AD avec par exemple AI = 4,9 kms et DI = 5,1 kms , on peut construire six cercles de centres O1,O2,O3,O4,O5et O6 et de rayon commun 3 qui couvrent la totalité de la forêt. La figure cesse d’être symétrique par rapport à l’axe des x mais le demeure par rapport à l’axe des y. A partir du point I, on construit facilement les points L sur BC puis M et N sur CD. On en déduit les centres O2et O5 qui sont respectivement à l’intersection des cercles de rayon 3 et de centres J et K d’une part et des cercles de centres M et N d’autre part.
Il apparaît que le point O2 est en dessous de la ligne horizontale qui passe par les points
3 1et O
O . Il en est de même du point O5 par rapport à la ligne qui passe par les points
6 4et O
O .La vérification du recouvrement complet du carré par les six cercles peut se faire en calculant les coordonnées des points d’intersection des cercles pris deux à deux. C’est ainsi que les cercles de centres O2et O6ont deux points d’intersection respectivement situés à l’intérieur du cercle de centre O1 et du cercle de centre O . 5
On note au passage que d’après l’article [1] déjà mentionné, T.Tarnai et Z. Gaspar ont démontré que la figure ci-dessus peut être optimisée avec un rayon des cercles égal à r = 2,98950…< 3. Un peu plus tard, dans l’article [2], J. Numerla et P.R.J. Ostergard ont
amélioré ce résultat avec r = 2,98727….kms. La configuration est légèrement différente et les deux symétries par rapport aux deux axes des x et des y ont disparu, il ne reste plus que la symétrie par rapport au centre du carré de côté 10.
Pour n= 7, 8 et 9 on obtient les couvertures symétriques suivantes:
Avec n = 7, les pointsO1,O3,O5et O7 sont au centre de rectangles de longueur 5 et de largeur 4
5. Les points O2,O4et O6 sont alignés sur l’axe des y avec O4 au centre du carré et I
O J O I
O2 2 1 ,etc…. Le rayon commun aux 7 cercles est égal à
4 5 R7 5 = 2,79508…kms. D’après [2], on peut faire mieux avec une configuration doublement symétrique par rapport aux deux axes dans laquelle R = 2,7429188..kms. 7
Avec n = 8, les points O1,O3,O6et O8 sont placés sur les diagonales principales du carré, les autres points O2,O4,O5et O7 sont situés sur les axes des x et des y à égale distance du centre O du carré. Le rayon commun aux 8 cercles est tel que O1IO2IO2O. Il en découle
2
) 1 2 2 1 2 (
R8 5
= 2,65505…kms. D’après [1] et [2], on peut faire mieux avec une configuration doublement symétrique par rapport aux deux axes dans laquelle R = 8
2,603001...kms.
Dans un cas comme dans l’autre , le rayon est supérieur à 2,5.kms. On ne peut donc pas surveiller la forêt avec 8 miradors de portée maximale 2,5 kms. Il en faut 9 qui sont placés aux centres des carrés de côté
3
10 qui partagent en 9 le carré de côté 10. Le rayon correspondant des 9 cercles est égal à
3 2
5 = 2,357022…kms qui est inférieur à 2,5 kms.
D’après [2], on peut réduire le rayon de couverture minimal des miradors avec une configuration symétrique par rapport à l’axe des x dans laquelle R = 2,306369…kms <9
3 2 5
.
Dernière étape pour l’installation des miradors de rayon de couverture égal à 2 kilomètres.
Avec n = 12, la configuration symétrique décrite ci-après dans laquelle les points
12 10 3
1,O,O etO
O sont à des distances 4 5 et
3
5 des côtés du carré, donne un rayon de
couverture égal à
16 25 9
25 = 12
25 = 2,08333..kms > 2 kms. D’après [2], la configuration optimale non symétrique aboutit à un rayon R12 = 2,022758…kms toujours > 2kms.
Il faut donc au minimum 13 miradors dont le rayon de couverture est 2 kms. Avec 13 miradors de rayon de couverture de 2 kms, on peut effectivement réaliser une configuration symétrique par rapport à l’axe des y. A partir d’un premier cercle de rayon 2 et de centre O1 situé au milieu de AB, on construit de proche en proche les cercles de même rayon et de centres O2,O3,O4,...,O13 jusqu’à recouvrir la totalité du carré. Tous les points
13 4 3 2
1,O ,O,O ,...,O
O sont aux nœuds d’un maillage régulier obtenu par juxtaposition de triangles isocèles égaux entre eux (voir supra). On constate que les deux cercles
12 11et O
O recouvrent « largement » les sommets C et D du carré. On peut donc réduire d’un epsilon le rayon de couverture pour le rendre < 2 kms. D’après [2], il existe une configuration symétrique optimale pour R = 1,94432288..kms et non symétrique pour 13 R = 13
1,913123..kms.
