I145 : Les miradors de la forêt
En vue de détecter au plus tôt les débuts d'incendie, on installe des miradors à l'intérieur d'une forêt délimitée par un carré d'une surface de 100 km2. On admet que chaque mirador a la même capacité d'intervention et que tous les points de la forêt susceptibles d'être atteints à partir de chaque mirador au bout d'un temps T sont sur la circonférence d'un cercle centré au mirador et dont le rayon est
proportionnel à T et est indépendant de la position du mirador dans la forêt.
Combien de miradors faut-il installer au minimum et quelle est leur localisation optimale si tout point de la forêt ne doit pas être éloigné de plus de 3 kilomètres du mirador le plus proche ?
Mêmes questions si la distance maximale d'éloignement est ramenée à 2,5 kilomètres puis à 2 kilomètres.
Les cercles circonscrits (de rayon r) à un réseau d’hexagones réguliers, permettent de recouvrir des rectangles dont les dimensions sont données ci-après :
• pour 3 cercles 5r/2 x r√3 (2,5x1,7 environ)
• pour 4 cercles 5r/2 x 3r√3/2 (2,5x2,6)
• pour 6 cercles 4r x 3r√3/2 (4x2,6)
• pour 7 cercles 4r x 2r√3 (4x3,5)
• pour 9 cercles 4r x 5r√3/2 (4x4,3)
• pour 12 cercles 11r/2 x 5r√3/2 (5,5x4,3)
• pour 14 cercles 11r/2 x 3r√3 (5,5x5,2)
Avec ce type de recouvrement, on pourra donc couvrir un carré de coté 10 avec :
• 7 cercles de rayon 3
• 9 cercles de rayon 2,5
• 14 cercles de rayon 2.
On peut cependant faire mieux dans le premier cas, c’est à dire recouvrir le carré avec 6 cercles de rayon 3 :
Soit OABC le carré, M le point de OA d’abscisse 5+x (x>0), P sur OC et Q sur AB, tels que MP=MQ=6 ; les cercles de diamètre MP et MQ se recoupent en N, milieu de PQ, donc sur la médiatrice de OA). Considérons, de plus, les point M’, N’, P’, Q’,
symétriques de M, N, P, Q par rapport au centre du carré. Les cercles de diamètre MP, MQ, M’P’, M’Q’, et les cercles circonscrits aux triangles PNQ’ et P’N’Q recouvrent le carré. On obtiendra donc un recouvrement par 6 cercles de rayon 3 si le rayon des cercles circonscrits à PNQ’ et P’N’Q est égal à 3.
Les ordonnées de P et Q sont respectivement y1=√(11-10x+x2)et y2=√(11+10x+x2). Les coordonnées du centre du cercle de rayon 3 passant par P et Q’ sont √(9-(10-y1-y2)2/4) et 5+(y1-y2)/2. Ce cercle passera par N dont l’abscisse est 5 et l’ordonnée (y1+y2)/2, si (√(9-(10-y1-y2)2/4)-5)2+(5-y2)2=9, soit, tous calculs faits, pour x=0,0342 ou x=0,7251 (en fait, le recouvrement par 6 cercles existe pour x compris entre ces deux valeurs).
