G222. Tirer des plans sur un cube
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Solution proposée par Bernard Grosjean
Le cube ayant 12 arêtes, nous avons donc 12 points correspondant à leur milieu.
Le nombre maximum de plans passant par 12 points (non alignés) est C (12,3) = 220.
Dans notre cas, ce nombre ne sera pas atteint, certains plans contenant 4 points et d'autres 6.
Il conviendra de soustraire :
– pour chaque plan contenant 4 points : C(4,3) – 1 = 3
– pour chaque plan contenant 6 points : C(6,3) – 1 = 19
Si nous avons n plans de 4 points et m plans de 6 points: N = 220 -3n – 19m Détermination de n et m : (voir la figure ci-dessous).
Repérons le cube en x,y,z comme sur la figure, en donnant à chaque arête la longueur 2, de façon à éviter les décimales. (Les coordonnées des 12 points sont indiquées et il est alors facile de trouver les équations des plans).
1°) Plans contenant 4 points, à savoir les 21 plans suivants :
– les 6 faces du cube :
AEFI (x - 2 = 0); CGHK (x = 0); DEHL (y = 0); BFGJ (y – 2 = 0) ABCD (z – 2 = 0) IJKL (z = 0)
– 12 plans parallèles aux arêtes :
ADIL (x – y – 1 = 0); BCJK (x – y + 1 = 0); EFJL (x – z – 1 = 0); BDGH (x – z + 1 = 0) CDKL (x + y – 1 = 0); ABIJ (x + y – 3 = 0); GHJL (x + z – 1 = 0); BDEF (x + z – 3 = 0) FGIK (y – z – 1 = 0); ACEH (y – z + 1 = 0); EHIK (y + z – 1 = 0); ACFG (y + z – 3 = 0)
– 3 plans parallèles aux faces :
EFGH (z – 1 = 0); ACIK (y – 1 = 0); BDJL (x – 1 = 0) n = 21
2°) Plans contenant 6 points, à savoir les 4 plans suivants : ADFHJK (x – y – z + 1 = 0)
BCFHIL (x – y + z – 1 = 0) ABEGKL (x + y – z – 1 = 0) CDEGIJ (x + y + z – 3 = 0) m = 4
Conclusion : N = 220 – 3x21 – 19x4 = 220 – 63 – 76 = 81
Il y a donc 81 plans distincts passant par les milieux de trois arêtes d'un cube
O
X
Y Z
A B
C D
E F
H G
I
J L K
1 2
1 2
1 2
.
. .
.
. .
. . .
. .
A (2,1,2) E (2,0,1) I (2,1,0) .
B (1,2,2) F (2,2,1) J (1,2,0) C (0,1,2) G (0,2,1) K (0,1,0) D (1,0,2) H (0,0,1) L (1,0,0)
O
X
Y Z
B C D
E F
H G
I
J K L
1 2
1 2
1 2
.
. .
.
.
. .
A.
. .
.
.
Plan contenant 6 points (ABEGKL)
