la suite numérique définie sur ` par :

Soit ( ) u

n

la suite numérique définie sur ` par :

0 1

0

3

_n

4

n

u

u

₊

u

⎧⎪

⎨⎪⎩

=

= +

1. a) Montrer que ( ) u

n

est majorée par 4.

b) Montrer que ( ) u

n

est strictement croissante.

c) En déduire que ( ) ^u

ⁿ

converge et déterminer sa limite.

2. a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

( )

1

4 1 4

2

ⁿ

u

n₊

u

− ≤ −

b) Retrouver le résultat du 1. c).

c) Etudier la convergence de la suite ( ) v

n

définie sur ` par :

( )

2

4

n n

v = n − u

Analyse

On a ici affaire à une suite récurrente où u_n+1 est de la forme f u

( )

n avec f x: 6 3x+4. La question 1. est classique et conduit à établir la convergence de la suite grâce à un théorème majeur du cours. La seconde question est plus délicate et consiste en comparaisons de suites et de suites géométriques …

Résolution

Question 1. a)

Nous allons établir un encadrement par récurrence.

Posons :

P

_n ^{: « 0}≤un<⁴ ».

Initialisation

Comme u₀= <0 4 , la propriété

P

₀ est vraie.

Hérédité

On considère un entier naturel n quelconque fixé et on suppose que

P

_n est vraie.

On a donc : 0≤u_n <4.

On en déduit immédiatement : 3 0 4× + ≤3u_n+ < × + =4 3 4 4 16, soit : 4≤3u_n+ <4 16. D’où : 2≤ 3u_n+ <4 4. On a bien : 0≤u_n+1<4.

La propriété

P

_n+1 est donc vraie.

Finalement : ∀ ∈n `, 0≤u_n<4. Donc :

, 4_n

n u

∀ ∈` <

Remarque : on a établi : ∀ ∈n `, 0≤u<sub>n</sub><4. En fait, notre calcul nous permet de conclure que l’on a : u<sub>0</sub>=0 et ∀ ∈n `*, 0<u_n<4.

Question 1. b)

Nous nous intéressons à la différence : u_n+1−u_n.

Pour tout entier naturel n non nul, on a, la somme u_n+1+u_n ne pouvant être nulle (cf. la remarque ci-dessus, u₀ est le seul terme nul de la suite et tous les autres sont strictement positifs), on a :

(

1

)(

1

) ( )( )

²

1

1

3 4 3 4 3 4

3 4 3 4

n n n n

n n n n n n

n n

n n n n n n

u u u u

u u u u u u

u u

u u u u u u

+ +

+

+

+ − + +

− + + −

− = = =

+ + + + +

D’après la question précédente, le dénominateur u_n+1+u_n = 3u_n+ +4 u_n est strictement positif. Le signe de la différence u_n+1−u_n est donc celui de 3u_n+ −4 u_n².

On a facilement : ^{− +x2 3x+ = − +4}

(

^{x 1}

)(

^x−4

)

^{, d’où :}

( )( ) ( )( )

3u_n+ −4 u_n2= − u_n+1 u_n−4 = u_n+1 4−u_n .

D’après la question précédente, on a : 4−u_n>0. Comme u_n≥ ⇒0 u_n+ ≥ >1 1 0, on a finalement

(

un+^{1 4}

)(

−un

)

>⁰ et donc u_n+1−u_n >0.

La suite

( )

un n_∈` est strictement croissante.

Question 1. c)

La suite

( )

un n_∈` est strictement croissante et majorée, elle est donc convergente. Notons L sa limite.

On a : un₊1= f u

( )

n avec f x: 6 3x+4. Or : lim _{n 1} lim _n

n u ₊ n u L

→+∞ = →+∞ = .

Par ailleurs, comme la suite

( )

un n_∈` est minorée par 0, on a : L≥0. La fonction f étant continue sur \₊, on a : n^lim un f L

( )

→+∞ = .

Ainsi, la limite L vérifie : ^{f L}

( )

^=L.

Pour déterminer L on va donc résoudre le système :

( )

0 f L L L

⎧⎪ =

⎨ ≥

⎪⎩

On a :

( )

( )( )

2

2

3 4

3 4

0

0 0

1 4 0

3 4 0

0 0

4

f L L L L L L

L

L L

L L

L L

L L

L

= ⎧

⎧ + = ⎧ + =

⎪ ⇔⎪ ⇔

⎨ ≥ ⎨ ≥ ⎨ ≥

⎪ ⎪ ⎩

⎩ ⎩

+ − =

⎧ − − = ⎧⎪

⇔⎨⎩ ≥ ⇔⎨⎪⎩ ≥

⇔ =

La suite

( )

un n_∈` converge vers 4.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel n, on a :

( )( ) ( ) ( )

1

4 3 4 4 3 4 16 3 4 3 4

4 4 3 4

4 3 4 4 3 4 4 3 4

n n n n

n n

n n n

u u u u

u u

u u u

+

− + + + − + −

− = − + = = =

+ + + + + +

A la question 1.a), on a vu que l’on avait 3u_n+ ≥4 2, pour tout entier naturel n.

On en déduit : 4+ 3u_n+ ≥4 6 et enfin : 1 1 4 3u_n 4 ≤6

+ + .

Il vient alors : 1

( ) ( ) ( )

3 4 1 1

4 3 4 4

6 2

4 3 4

n

n n n

n

u u u u

+ u

− = − ≤ × − = −

+ + .

Le résultat est ainsi établi.

( )

1

, 4 1 4

n 2 n

n u ₊ u

∀ ∈` − ≤ −

Question 2. b)

D’après la question précédente, on a : 1

( )

, 4 1 4

n 2 n

n u ₊ u

∀ ∈` − ≤ − .

Pour tout n strictement positif, on a alors, classiquement :

(

1

)

²

(

2

) (

0

)

1 1 1 1

0 4 4 4 ... 4 4

2 2 2 2

n n

n n n

u u ₋ ⎛ ⎞ u ₋ ⎛ ⎞ u ⎛ ⎞

< − ≤ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ − ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Il convient, en toute rigueur, d’établir le résultat par récurrence.

Posons :

P

_n ^{: « 4 4 1}

2

n

un ⎛ ⎞

− ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ».

Initialisation

Comme u₀ =0, on a : 4−u₀ =4. Par ailleurs :

1 0

4 4 1 4

⎛ ⎞ = × =2

⎜ ⎟⎝ ⎠ . D’où :

0 0

4 4 1

u ⎛ ⎞2

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . La propriété

P

₀ est vraie.

Hérédité

On considère un entier naturel n quelconque fixé et on suppose que

P

_n est vraie.

On a donc : 1

4 4

2

n

un ⎛ ⎞

− ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ .

D’après la question précédente, on a : 1

( )

4 1 4

n 2 n

u ₊ u

− ≤ − .

On déduit de ces deux inégalités : 1

( )

¹

1 1 1 1

4 4 4 4

2 2 2 2

n n

n n

u u

+

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ≤ − ≤ × ⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . La propriété est donc héréditaire.

En définitive, la propriété est vraie pour tout entier naturel n : , 4 4 1

2

n

n un ⎛ ⎞

∀ ∈` − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

D’après la question 1.a), il vient alors :

, 0 4 4 1 2

n

n un ⎛ ⎞

∀ ∈` < − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Comme la suite 1 4 2

n

n∈

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠ `

est géométrique de raison ¹

]

^{1; 1}

[

2∈ − + , on a : 1

lim 4 0

2

n n→+∞

⎡ ⎛ ⎞ =⎤

⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure :

( )

lim 4 _n 0

n u

→+∞ − =

D’où : lim _n 4

n u

→+∞ = . On a ainsi retrouvé le résultat de la question 1.c).

La suite

( )

un n_∈` converge vers 4.

Question 2. c)

Remarquons d’abord que nous ne pouvons conclure directement puisque l’on a : lim ²

n n

→+∞ = +∞

et, d’après la question précédente : n^{lim 4}

(

un

)

⁰

→+∞ − = . Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞×0 ».

Nous allons raisonner avec n entier naturel non nul (ainsi, v_n >0) et allons nous inspirer de la question précédente.

On a :

( ) ( )

( )

2 2 2

1 1 1 1

2

1 4 1 4 1 4

4 4 1 4

n n n n

n n n n

n u

v n u u

v n u n u n u

+ = + −− + =⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ −− + = +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ −− + .

On a immédiatement : 1

lim 1 1

n^→+∞ n

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et, la fonction carrée étant continue en 1 :

2

1 2

lim 1 1 1

n^→+∞ n

⎛ + ⎞ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Il existe donc un rang N tel que :

1 2 3

N 1

n 2

n

⎛ ⎞

≥ ⇒ +⎜⎝ ⎟⎠ ≤ .

Pour tout entier naturel n strictement supérieur à N on a alors, en tenant compte du résultat obtenu à la question 2.a) :

2

1 1 4 1 3 1 3

1 4 2 2 4

n n

n n

v u

v n u

+ = +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ −− + ≤ × =

Soit, v_n étant strictement positif : ₁ 3

n 4 n

v₊ ≤ v .

Remarque : nous avons choisi ci-dessus la valeur 3

2 car son produit par 1

2 donne un résultat strictement inférieur à 1. Tout autre valeur strictement positive donnant un produit strictement inférieur à 1 aurait également convenu.

En raisonnant comme à la question précédente (nous ne redonnons pas tous les détails), on obtient :

N N

N 3

4

n

n vn v

⎛ ⎞ −

≥ ⇒ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(La démonstration rigoureuse par récurrence conduit à initier le raisonnement au rang N) On a finalement, en tenant compte du signe de v_n :

N N

N 0 3

4

n

n vn v

⎛ ⎞ −

≥ ⇒ ≤ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Comme la suite

N N

N

3 4

n

n n

v

−

∈≥

⎛⎛ ⎞ ⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠ ^` est géométrique de raison ³

]

^{1; 1}

[

4∈ − + , on a :

N N

lim 3 0

4

n

n v

−

→+∞

⎡⎛ ⎞ ⎤=

⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure : lim _n 0

n v

→+∞ = . La suite

( )

vn n_∈` converge vers 0.