PanaMaths
[1 - 2]Août 2006
Soit le polynôme :
( )
31
P X = X + + X On note α , β et γ ses trois racines (dans ^ ).
Donner un polynôme dont les racines dans ^ sont 1
α + 1 , 1 β + 1 et 1
γ + 1 .
Analyse
Dans cet exercice, il convient d’utiliser les relations existant entre les coefficients d’un
polynômes et ses racines. On posera ainsi classiquement : σ1= + +α β γ , σ2=αβ βγ γα+ + , etc.
Rappelons que pour un polynôme P X
( )
=a0+a X1 +a X2 2+ +... a Xn n (an≠0) on a :1 2
( )
1 2 ...
... 1
k k
k n k
k i i i
i i i n
r r r a
σ a−
< < <
=
∑
= −Les ri (i∈
{
1, 2,...,n}
) désignant les n racines du polynôme dans ^.Résolution
Le coefficient de X2 de P étant nul, on a : σ1= + + =α β γ 0. Le coefficient de X de P étant égal à 1, on a : σ2 =αβ βγ γα+ + =1. Enfin, le coefficient constant de P étant égal à 1, on a : σ3=αβγ = −1.
Il convient maintenant de calculer les sommes équivalentes pour les nombres 1 α+1, 1
β+1 et 1
γ +1. On a :
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
1
2 1
3 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 1 2 0 3
1 1 1 1 0 1
4
β γ α γ α β
α β γ α β γ
αβ βγ γα α β γ σ σ
αβγ αβ βγ γα α β γ σ σ σ
+ + + + + + + +
Σ = + + =
+ + + + + +
+ + + + + + + + + × +
= = =
+ + + + + + + + + + − + + +
=
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[2 - 2]Août 2006
( )( )( )
2
1
3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 0 3
1 1
3
γ α β
α β β γ γ α α β γ
σ σ σ σ
+ + + + +
Σ = + + =
+ + + + + + + + +
+ +
= =
+ + +
=
( )( )( )
3
1 1 1 1 1
. . 1
1 1 1 1 1 1 1
α β γ α β γ
Σ = = = =
+ + + + + +
En notant Q le polynôme cherché et en le choisissant unitaire, il vient alors :
( )
3 4 2 3 1Q X = X − X + X −
Résultat final
( )
3 4 2 3 1Q X = X − X + X −
