Problème proposé par Dominique Roux
Soient un triangle ABC et un cercle Γ de centre Ω distinct du cercle circonscrit à ABC. On désigne par P , Q et R les pôles respectifs des droites (BC), (CA) et (AB) par rapport au cercle Γ.
Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (RC) sont concourantes.
Rappel : dans un repère orthonormé, la polaire, par rapport au cercle unité, d’un point P de coordonnées (a,b) a pour équation ax+by=1. De même pour les points Q (c,d) et R (e,f) dont les polaires ont pour équation cx+dy=1, ex+fy=1.
Le point A, intersection des polaires de Q et R a pour coordonnées (f-d)/cf-de) et (c-e)/cf-de), et de même pour B et C. Les équations des droites AP, BQ et CR peuvent donc s’écrire sous les formes suivantes :
x(b(cf-de)-c+e) -y(a(cf-de)-f+d) +a(c-e)-b(f-d)=0 x(d(be-af)-e+a) -y(c(be-af)-b+f) +c(e-a)-d(b-f)=0 x(f(ad-bc)-a+c) -y(e(ad-bc)-d+b) +e(a-c)-f(d-b)=0
Il suffit de remarquer que la somme des trois équations est identiquement nulle pour en déduire qu’elles sont liées, et que AP, BQ et CR ont un point commun.
