D1968. La saga des quatre centres -2ème épisode
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q. On étudie le lieu de chacun des centres des quatre cercles inscrit et exinscrits aux trois côtés du triangle APQ.
1)On suppose que A seul est à l'infini. Montrer que les 4 lieux sont inclus dans la réunion d'une quartique bicirculaire et de la droite de l'infini. Préciser les points doubles de la quartique.
2)Traiter séparément le cas où B est aussi à l'infini.
Q1)
Origine du repère en B. Le point A est à l'infini dans la direction By.
L'équation du cercle (C) est : x²+y² – 2ax – 2by +c = 0 ou ρ² – 2ρ (a cos θ + b sin θ) + c = 0 Les bissectrices de QPA et PQA se coupent en deux points I et J à distance finie et deux points à l'infini. Elles définissent un rectangle PIQJ de centre D. La bissectrice de PAQ est la droite IJ de direction By.
D , milieu de la corde PQ, est sur le cercle de diamètre BC d'équation polaire ρ = a cos θ + b sin θ I et J ont pour abscisse X = ρ cos θ = a cos² θ + b sin θ. cos θ
Longueur PQ = ρ2 – ρ1 = 2√[(a cos θ + b sin θ)² – c ] DI = DJ = PQ / 2
I et J ont pour ordonnée Y = ρ sin θ + PQ /2 = a cos θ.sin θ + b sin²θ + √[(a cos θ + b sin θ)² – c ] En prenant pour paramètre m = tan θ on a : X = (a+bm)/(1+m²) et Y = mX + √[(a+bm)²/(1+m²) – c ] Y = mX + √[(1+m²)X² – c ] ; (Y – mX)² = (1+m²)X² – c ; X² + 2mXY – Y² – c = 0 ;
En éliminant m entre X² + 2mXY – Y² – c = 0 et (1+m²)X – a – bm = 0, on obtient : (X²+Y²)² + 2(bY – c)(X² – Y²) – 4aXY² – 2bcY + c² = 0
qui est l'équation d' une quartique bicirculaire .
Si on coupe par la droite Y=0 il vient (X² – c)² = 0 : si c>0, c'est à dire si B est extérieur au cercle (C), la courbe possède deux points doubles d'abscisses + √c.
Si la sécante issue de B devient tangente, P,Q,I et J sont confondus, la courbe passe par les points de contact T et T' des tangentes issues de B au cercle (C). Les points doubles et les points T et T' sont sur le cercle de centre B et de rayon √c. (tracé en pointillé)
En plus des points I et J, les deux autres points à l'infini dans les directions PI et PJ décrivent la droite de l'infini.
Page suivante : autre forme de courbe quand B est intérieur au cercle (C).
Q2) B est aussi à l'infini. Le repère choisi (C,u,v) a pour origine C. L'axe des abscisses est dirigé vers B. Un vecteur unitaire w est dirigé vers A.
Soit R le rayon de (C), si les coordonnées de P sont (Rcos θ, R sin θ), on a : Vect CI = Vect CD +Vect DI = R.( sin θ .v + cos θ .w).
Les centres I et J décrivent donc une ellipse pour laquelle v et w sont de directions conjuguées.
Les deux autres « centres » sont les points fixes sur la droite de l'infini, car PI et PJ ont des directions fixes.
