Exercices d’apprentissage : fonctions
Images et antécédents :
1. Trouvez l’image de 1 par la fonction
f : x 7→ 3 4 x − 2, puis de 0.5 par la fonction g : x 7→ −x 2 − x + 2, puis de 3 par la fonction h : x 7→ x+1 x−1 .
2. Trouvez, s’ils existent, le ou les antécédents de 1 par f : x 7→ −x + 3, et de 10 par g : x 7→ x 2 + 1.
3. Soit f une fonction dont la courbe représenta- tive C f est donnée ci-dessus. Déterminez graphi- quement l’image de 1 puis de 2 par f , le ou les antécédents de 8 par f .
Croissance, décroissance, maxima :
1. Indiquez les variations sur [−1; 5] de la fonction f représentée par la courbe en haut de page. Dressez son tableau de variation sur [−1; 5]. Quel est le maximum de f sur [−1; 5] ? Quel est le minimum de f sur [−1; 5] ?
2. Complétez les phrases suivantes à l’aide d’un des signes de comparaison ≤, ≥, <, >, = (f est toujours la fonction dont la courbe représentative est donnée plus haut).
• 0 < 1 donc f(0) . . . f(1).
• f (2) . . . f (3).
• Si a ∈ [−1; 1], f (−1) . . . f(a) . . . f (1)
Fonctions affines
1. Indiquez si les fonctions suivantes sont des fonctions affines. Si oui, quel est leur sens de variation ?
• f : x 7→ 1 + x 2 .
• g : x 7→ − 3 2 − x.
• h : x 7→ − 3 2 + (1 + √ 3)x.
• l : x 7→ (3 − π)x.
2. Tracez la courbe représentative de la fonction g : x 7→ − 3 2 − x.
Résolution graphique d’équations et inéquations
1. On considère la fonction f dont la courbe représentative est en haut de la page. Résoudre graphique- ment :
• f (x) < 3.
• f (x) = 0.
• f (x) ≥ −1.
• Tracez la fonction h : x 7→ 0.5x sur le même graphique que celui où se trouve la courbe représentative de f. Résolvez alors graphiquement l’inéquation f (x) ≤ h(x).
2. La fonction f représentée par la courbe du haut de page est en fait la fonction f : x 7→ (x − 1)(x − 3).
Résoudre à l’aide d’un tableau de signe l’inéquation (x − 1)(x − 3) < 0 et retrouvez le résultat en résolvant graphiquement f(x) < 0.
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Correction
Exercice 1
1. • L’image de 1 parfestf(1) =34×1−2 =−54=−1.25. L’image de 1 par f est donc -1.25 puisquef(1) =−1.25.
• L’image de 0.5 pargest−0.52−0.5 + 2 =−0.25−0.5 + 2 = 1.25. L’image de 0.5 pargest 1.25 carg(0.5) = 1.25.
• L’image de 3 parhest3+13−1= 42= 2. L’image de 3 parhest 2 carh(3) = 2.
2. • L’antécédent de 1 parfvérifie−x+ 3 = 1, doncx= 2. L’unique antécédent de 1 parfest 2 carf(2) = 1.
• Les antécédents de 10 parg:x7→x2+ 1vérifientx2+ 1 = 10, doncx2= 9. Or l’équationx2= 9a deux solutions : 3 et -3. Donc les antécédents de 10 pargsont 3 et -3, car g(3)=10 et g(-3)=10.
3. • On lit graphiquement (mettre les pointillés...) quef(1) = 0, donc l’image de 1 parfest 0.
• De même, on lit graphiquement quef(2) =−1, donc l’image de 2 parfest -1.
• On lit graphiquement quef(−1) = 8etf(5) = 8(faire les pointillés...), donc 8 a deux antécédents parf: -1 et 5.
Exercice 2
1. • fest décroissante sur[−1; 2]puis croissante sur[2; 5].
• Le minimum def sur[−1; 5]est -1 (ordonnée du point le plus bas atteint par la courbe). En effet, pour toutxde[−1; 5],f(x)≥ −1.
• Le maximum def sur[−1; 5]vaut 8 (ordonnée du point le plus haut atteint par la courbe). En effet, pour toutxde[−1; 5],f(x)≤8.
•
x −1 2 5
8 8
f(x)
-1
2. • 0<1doncf(0)> f(1)carfdécroissante sur[−1; 2].
• (2<3 donc)f(2)< f(3)carfest croissante sur[2; 5].
• Si−1≤a≤1, f(−1)≥f(a)≥f(1)carfdécroissante sur[−1; 2].
Exercice 3
1. • f:x7→1 +x2n’est pas de la formef(x) =ax+b(il y a unx2...) ce n’est pas une fonction affine.
• g:x7→ −32−xest de la formef(x) =ax+baveca=−1etb=−32.a <0donc cette fonction affine est décroissante surIR.
• h:x7→ −32+ (1 +√
3)xest de la formef(x) =ax+baveca= 1 +√
3etb=−32.a >0donc cette fonction affine est croissante surIR.
• l:x7→(3−π)xest de la formef(x) =ax+baveca= (3−π)etb= 0, elle est donc affine (et même linéaire, puisqueb= 0), et elle est décroissante surIRcara <0.
2. Tracez la courbe représentative de la fonctiong:x7→ −3 2−x.
Exercice 4
1. • f(x)<3pourxappartient à]0; 4[(à montrer, avec des couleurs, sur la courbe).
• f(x) = 0a deux solutions : les abscisses des points d’intersection de l’axe des abscisses et de la courbe représentative def, soitx= 1etx= 3.
• f(x)≥ −1: c’est vrai pour toutxdansIR(la courbe est toujours au-dessus de -1...) donc l’ensemble des solutions def(x)≥ −1estIRtout entier.
• Après avoir tracéhsur le même graphique, on voit que la courbe représentative dehest au-dessus de celle defpour des abscissesxallant de 0.8, environ, à 3.7. Donc l’ensemble des solutions def(x)≤h(x)est ”à peu près” l’intervalle[0.8; 3.7].
2. Par tableau de signe, on trouve que l’ensemble des solutions de(x−1)(x−3)<0estS=]1; 3[. Orf(x) = (x−1)(x−3), donc résoudre(x−1)(x−3)<0, c’est résoudref(x)<0. On voit graphiquement que la courbe représentative def est sous l’axe des abscisses, strictement, pourx∈]1; 3[, on retrouve bien les solutions trouvées à l’aide du tableau de signe...
