BAC PC-SVT MATHS
Sujet de révision
Exercice 1
Calculer les intégrales suivantes :
1 2
0 2 1
0
1 ln2
1 1
) )
2 1 ln
sin 2
) )
2 cos 1 2
x e
x
e
x x
A = e dx B = dx
e x x x
C = x dx D = dx
x e e
Exercice 2
On considère la fonction g définie sur
1;
par : g x 1 lnx x .
Et soit
C sa courbe dans un repère orthonormé g
o i j . ; ;
1) a) Montrer que : 3
1
14 3
e g t dt
.b) Déduire la valeur moyenne de la fonction g entre 1 et e3 . 2) a) Montrer en utilisant une intégration par parties que :
3 3
2 3
1
ln 4
e x e
x dx e
.b) Déduire le volume du solide engendré par la rotation de
C autour de l’axe des abscisses gen un tour complet sur l’intervalle
1;e3
. ProblèmeOn considère la fonction f définie par :
2 0 1 ln
0 0
f x x x x
f
1 . a) Montrer que : 2
lim0 ln 0
x x x .
b) Déduire que la fonction f est continue à droite de 0 .
2. Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite de 0 ; puis donner une interprétation géométrique au résultat .
3. a) Calculer lim
xf x et
xlim f x
x .
b) Etudier la branche infinie de la courbe de f au voisinage de +∞ . 4. a) Montrer que :
x
0; f x lnx1 ln x1 .
b) Déduire le tableau de variation de f sur
0;
.
5. a) Montrer que la courbe de f admet un point d’inflexion A dont on déterminera les coordonnées .
b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point A . 6. Construire la courbe
Cf dans un repère orthonormé
o i j . ; ;
7. On pose :
1ex x dxln
I et 2
1ex lnx dx
J .
a) Montrer en utilisant une intégration par parties que :
2 1
4 e
I .
b) En utilisant une intégration par parties montrer que :
2
2
e
J I.
c) Déduire l’aire de la partie du plan délimitée par
