Séance du Vendredi 10 Avril 2020
ALGEBRE
Prof : M. Redouaby
Voir Vidéo correspondante
Chapitre 2
Les Applications Linéaires
Définition
E
: espace vectoriel sur IR de dimension nF
: espace vectoriel sur IR de dimension mE f F
u f ( u )
Définition
f
est une application deE
versF
(chaqueélément de E a une image et une seule dans
F
) .f
est dite linéaire lorsque f conserve lescombinaisons linéaires : et
L’image d’une C.L. = La C.L. des images
E v
u Î
" ,
) (
) (
)
( u v f u f v
f a + b = a + b
Î IR
" a , b
Ce qui est équivalent à :
Ø :
et
Ø et :
Î E
" u , v
) (
)
( u f u
f a = a
Î IR
" a
) (
) (
)
( u v f u f v
f + = +
Î E
" u
Exemple
IR 3 IR 2
) ,
,
( x y z
u = ( x + 2 y , x + 2 z )
On a :
:
;
IR 3
Î
" u , v
) ,
,
( x y z
u = v = ( x ,' y ,' z ' )
Exemple
)) ' (
2 '
), ' (
2 '
( x + x + y + y x + x + z + z
=
) ' '
' (
)
( u v f x x , y y , z z
f + = + + +
) ' 2
' ,'
2 '
( x + x + y + 2 y x + x + z + 2 z
=
) ' '
,' '
( )
2 ,
2
( x + y x + z + x + 2 y x + 2 z
=
) (
)
( u f v
f +
=
Exemple
) (
)
( u f x , y , z
f a = a a a
) ( u
a f
=
D’autre part :
f
est donc une application linéaire de vers) ( a x + 2 a y , a x + 2 a z
=
) ( x + 2 y , x + 2 z
= a IR
2IR
3Exemples d’application non linéaire
IR 2 IR 2
) ,
( x y ( x
2, y
2)
IR 3
IR 2
) ,
( x y ( x y , xz , yz )
f
f
0E
0
Fx
x
x x x
x x x x
x
xx
x x x x x
x x
Ker(
f
)Noyau d’une application linéaire
E F
Noyau d’une application linéaire
Définition
Théorème
Ker
(f
) est un sous-espace vectoriel deE
ïî ïí ì
ïþ ïý ü
) F
( f u E f u
Ker
Remarque
Ø L’image du vecteur nul de
E
par une application linéairef
est le vecteur nul deF
Preuve : ;
F
f ( E ) =
) (
) 0
( f u u
f E = -
u F
f u
f ( ) - ( ) = 0
=
uÎ E
Remarque
Ou encore :
;
Exemple :
f
n’est pas linéaire car :) 0
( )
0
( f u
f E =
u F
f ( ) 0
0 =
= 0 Î IR
) 0 , 0 , 0 ( )
0 , 3 , 2 ( ))
0 , 0
(( = ¹
f
f 3
2 IR IR , )
( x y ( x + 2 , y + 3 , y )
0E
x
x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x
Image d’une application linéaire
0F Im(
f
)x
x x
x x x x x
x
Image d’une application linéaire
Définition
Théorème
Im
(f
) est un sous-espace vectoriel deF
ïî ïí ì
ïþ ïý
E
üu u
f f )
(
Rang d’une application linéaire
f
est une application linéaire deE
versF
. Lerang de
f
, notérg( f )
est par définition la dimension de son image :)) dim(Im(
)
( f f
rg =
Définition
Vocabulaire
f
est une application linéaireE f F
Ø Si
E
=F
,f
est dite endomorphisme deE
Ø
Sif
est bijective,f
est dite isomorphisme deE
versF
Ø
Sif
est bijective etE
=F
,f
est diteautomorphisme de
