Séance du Vendredi 17 Avril 2020
ALGEBRE
Prof : M. Redouaby
Voir Vidéo correspondante
Rappel
Notions de base
de la séance précédente
Vocabulaire
f
est une application linéaireE f F
Ø Si
E
=F
,f
est dite endomorphisme deE
Ø
Sif
est bijective,f
est dite isomorphisme deE
versF
Ø
Sif
est bijective etE
=F
,f
est diteautomorphisme de
E
0E
0
Fx
x
x x x
x x x x
x
xx
x x x x x
x x
Ker(
f
)Noyau d’une application linéaire
E F
Noyau d’une application linéaire
Définition
Théorème
Ker
(f
) est un sous-espace vectoriel deE
ïî ïí ì
ïþ ïý ü
) F
( f u E f u
Ker
0E
x
x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x
Image d’une application linéaire
0F Im(
f
)x
x x
x x x x x
x
Image d’une application linéaire
Définition
Théorème
Im
(f
) est un sous-espace vectoriel deF
ïî ïí ì
ïþ ïý
E
üu u
f f )
(
Théorème du rang
f
est une application linéaireE f F
E
dim Im
dim ker
dim ( ( f )) + ( ( f )) =
rang de f : rg ( f )
Exemple
IR 2
) ,
( x y
u = f (u )
avec :
Ø Déterminer le noyau de l’endomorphisme
f
et son image
)
( ,
)
( u x y x y
f = + -
IR 2
þý ü îí
ì
Î =
= ( x , y ) IR 2 / f ( x , y ) ( 0 , 0 ) Kerf
) 0 , 0 ( )
,
( x y =
f Û ( x + y , x - y ) = ( 0 , 0 )
ïî ïí ì
= - = Û +
0 0 y
x
y x
ïî ïí ì
= =
Û 0 0 y
x
Système Linéaire
Homogène à résoudre
þý ü îí
=
ì( 0 , 0 ) Kerf
1) Noyau de f :
2) Image de f :
Théorème du rang
) dim(
) dim(Im
)
dim( Kerf + f = IR 2
0 2
2 )
dim(Im f =
Ainsi : I’image de f est un sous-
espace vectoriel de IR 2 de même
dimension que IR 2
Conclusion:
þ
et
ýü îí
=
ì( 0 , 0 )
Kerf Im f = 2
Im ( f ) = IR 2
Théorème
f
est une application linéaireE f F
f
est injectiveïî ïí ì
ïþ ïý
=
üÛ Ker ( f ) E
Preuve : Voir polycopié du cours
Rappel
f
est surjectiveÛ Im( f ) = F
D’après la définition de la surjection,
Théorème
f
est une application linéaireE f F
f
est bijectivef
est injective et surjectiveïî ïí ì
þý
=
üKer ( f ) 0 E
Û Û
et Im ( f ) = F
Exemple
IR n IR m
u 0
m =( 0 ,..., 0 )
IR
« application nulle »
Ø Il est facile de vérifier que cette application est linéaire et on a :
n et
IR Ker ( f ) =
ïï î ïïí ì
ïþ ïý
