Séance du Vendredi 22 Mai 2020ALGEBREProf : M. RedouabyChapitre3-CalculMatriciel-Polynôme de Matrice-

(1)

Séance du Vendredi 22 Mai 2020

ALGEBRE

Prof : M. Redouaby

Chapitre 3 - Calcul Matriciel

- Polynôme de Matrice -

(2)

On peut regrouper les 3 opérations précédentes :

1) La somme des matrices

2) La multiplication d’une matrice par un nombre réel

3) Le Produit des matrices

En parlant de Polynôme de matrices,

mais parlons avant de Puissance de matrice

(3)

Puissance d’une matrice carrée

Ø

S

oit

A

une matrice carrée d’ordre p (p lignes et p colonnes).

Les puissances

de

A

sont définies de la manière suivante :

•

A

² ⁼

A

^x

A

•

A

³ ⁼

A

²^x

A

•

A

⁴ ⁼

A

³^x

A

•

…….

•

A

ⁿ ⁼

A

^n-1 ^x

A

(4)

Exemple

÷÷ ø çç ö

è æ

= -

4 2 3

A 1

Ø , _÷÷

ø çç ö

è

æ -

= -

´

= 22

6 9

A 7

A A ²

Ø , _÷÷

ø çç ö

è æ

-

= -

´

= 106

38 57

A 11

A A ³ ²

Ø etc…

(5)

Polynôme d’une matrice

Soit :

un polynôme de degré m à coefficients réels et A une matrice carrée d’ordre n

Définition

P( ^X ) ⁼ ^a

_m

X

^m

⁺ ^a

_m-1

X

^m-1

⁺ … ⁺ ^a

₁

X ⁺ ^a

₀

(6)

Polynôme d’une matrice

Ø Le polynôme P (A) est défini par :

Définition

P( ^A )

⁼

^a

_m

A

^m ⁺

^a

_m-1

A

^m-1 ^+….+

^a

₁

A

⁺

^a

₀

I

_n

Matrice unité d’ordre n

Remarque :

I

_n ^{est la} matrice unité d’ordre n : même ordre que A

(7)

Exemple

5 3

2 )

( x = x ² - x + P

÷÷ ø çç ö

è æ

= -

4 2 3

A 1

Calculer P( ^A )

(8)

Réponse

P( ^A )

⁼

2A

²

- ^3A ⁺ ⁵ ^I

₂

Matrice unité d’ordre 2

Ø

On commence par calculer A

²

^:

÷÷ ø çç ö

è

æ -

= -

´

= 22

6 9

A 7

A

A ²

(9)

On a alors ^:

Réponse

÷÷ ø çç ö

è

÷÷ æ ø çç ö

è æ

÷÷ - ø çç ö

è

æ -

- - +

1 0 0

1 4

2 3

1 22

6 9

7

3 5

2 A

²

A I

₂

Ainsi ^:

P( ^A ) ⁼ _÷÷

ø çç ö

è

æ -

-

61

18 27

16

P( ^A ) ⁼

(10)

Calculer P ⁽ ^A ⁾

45 39

11 )

( x = x ³ - x ² + x - P

Exercice 1

÷÷

ø ö

çç çç çç çç çç çç çç

è æ

- -

=

2 1

1 2 5

2 1 1

4 A

(11)

Réponse

Ø On commence par calculer

A

² ^:

÷÷

ø ö

è æ

- -

=

^´

1 8

8 16 25

16 8 8

17 A

A

²

(12)

Réponse

Ø Ensuite on calcule

A

³ ^:

÷÷

ø ö

è æ

- - -

=

^´

22 49

49 98 125

98 49 49

76 A

A

³ ²

(13)

Réponse

C

omme :

P( ^A )

⁼

A

³

- ^11A

²

⁺ ^39A - ⁴⁵ ^I

₃

O

n remplace

A

³,

A

²,

A

et

I

₃ par leurs valeurs,

÷÷

ø ö

çç çç çç çç çç çç

è æ

=

1 0

0 0 1

0 0 0

1 I

3

E

t :

(14)

P ⁽ A ⁾ ⁼

E

t on obtient :

÷÷

ø ö

è æ

0 0

0 0 0

0

Matrice Nulle

Remarque :

Dans cet exercice, le polynôme considéré est au fait le polynôme caractéristique de la matrice A, il est naturel d’avoir P^(A)⁼⁰ ^d’après

le Théorème de Cayley - Hamilton (Voir Partie II, Cours Algèbre)

Vérifier les calculs ...!

(15)

Calculer P ⁽ ^M ⁾

2 2

)

( x = x ³ ⁺ x ² - x - P

Exercice 2

÷÷

ø ö

è æ

- -

=

4 5

1 4 5

2 2 2

3 M

(16)

Réponse

Ø On commence par calculer

M

² ^:

÷÷

ø ö

è æ

- -

=

^´

2 3

3 0 1

0 6 6

7 M

M

²

(17)

Réponse

Ø Ensuite on calcule

M

³ ^:

÷÷

ø ö

è æ

- - -

=

^´

2 1

5 4 5

2 14 14

15 M

M

³ ²

(18)

Réponse

C

omme :

P( ^M )

⁼

M

³

⁺ 2M

²

- ^M - ² ^I

₃

O

n remplace

M

³,

M

²,

M

et

I

₃ par leurs valeurs,

÷÷

ø ö

è æ

=

1 0

0 0 1

0 0 0

1 I

3

E

t :

(19)

P ⁽ M ⁾ ⁼

E

t on obtient :

÷÷

ø ö

è æ

0 0

0 0 0

0

Matrice Nulle

Remarque :

Dans cet exercice aussi , le polynôme considéré est le polynôme caractéristique de la matrice M^{, alors}P^(M)⁼⁰ d’après le Théorème

de Cayley - Hamilton (Voir Partie II, Cours Algèbre)

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