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Lois `a densit ´e
C H A P I T R E
Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l’oppos´e du carr´e de l’abscisse (x7→e−x2). Elle a une forme caract´eristique de courbe en cloche. L’exemple le plus connu est la densit´e de probabilit´e de la loi normale.
Soit une exp´erience al´eatoire et son univers associ´e Ω (ensemble des issues) 1 1 Variable al´eatoire continue
Une variable al´eatoire est une fonction d´efinie sur Ω et `a valeur dansR. On la note X. Elle est dite continue si elle peut prendre comme valeur tous les r´eels d’un intervalleIde R.
D´efinition 1
Exemples.
• Si on lance deux d´es ´equilibr´es dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6, on peut d´efinir une variable al´eatoire qui `a chaque lancer associe par exemple la somme nombres obtenus. Comme cette variable ne prend que des valeurs finies enti`eres comprises entre 2 et 12, il ne s’agit pas d’une variable al´eatoire continue, elle est dite discr`ete.
• Si on consid`ere la variable al´eatoireX qui, `a chaque ampoule basse consommation d’un certain mod`ele, associe sa dur´ee de vie en heure, cette dur´ee n’est pas forc´ement un nombre entier d’heure et en th´eorie on ne connait pas sa dur´ee de vie maximale. Cette variable al´eatoire est donccontinueet l’intervalleI est [0; +∞[.
1 2 Fonction de densit´e et loi de probabilit´e
Une fois une variable al´eatoire d´efinie on s’int´eresse `a sa loi de probabilit´e. Dans le cas d’une variable al´eatoire discr`ete, la loi de probabilit´e associ´ee est g´en´eralement donn´ee sous la forme d’un tableau. Ou encore `a l’aide d’une formule, c’est le cas par exemple pour les variables al´eatoires qui suivent la loi binomiale.
Exemples.
• Si on reprend l’exemple de la variable al´eatoire discr`ete X qui associe au lancer de deux d´es la somme des deux nombres obtenus.
La loi de probabilit´e deX est donn´ee par le tableau ci-dessous :
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X =k) 1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
• Si on consid`ere la variable al´eatoireY qui suit la loi binomialeB(8; 0,2), on a alors pour tout entierkcompris entre 0 et 8,P(Y =k) =
8 k
×0.2k×0.8n−k.
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k
3 Chapitre 9. Lois `a densit´e
Dans le cas d’une variable al´eatoire continue, on utilise une fonction d´efinie surI un intervalle deR. appel´ee densit´e.
Une fonctionf d´efinie surI est appel´ee fonction densit´e, ou densit´e, si :
• f est positive, pour tout r´eel xdeI,f(x)>0 ;
• f est continue surI sauf ´eventuellement en un nombre fini de points.
• L’aire du domaineD, d´elimit´ee sous la courbeCf dans un rep`ere orthogonal et l’axe des abscisses est ´egale `a 1.
• On ´etend cette d´efinition au cas o`u l’intervalleI est l’ensemble des r´eelsR D´efinition 2
Remarques.
• Dans le cas d’une variable al´eatoire discr`ete, la somme des probabilit´e des ´ev`enements {k}est ´egale `a 1, ce qui correspond dans le cas des variables al´eatoires continues
`
a l’aire du domaine Dest ´egale `a 1.
• SiI= [a;b] l’aire du domaineD est ´egale `a 1 ce traduit par Z b
a
f(t)dt= 1.
loi de probabilit´e
SoitX une variable al´eatoire continue `a valeur dans un intervalleI de densit´ef.
La probabilit´e de l’´ev`enement {X ∈ J}, o`u J est un intervalle de R, est not´ee P(X ∈J) est l’aire du domaine{M(x;y);x∈J et 06y6f(x)}.
D´efinition 3
Aire du domaine
Loi uniforme
2
loi de probabilit´e
Soitaetb deux r´eels distincts telsa <
b.
Dire qu’une variable al´eatoire continue Xsuit uneloi uniformesur l’intervalle [a;b] signifie que sa fonction de densit´e est d´efinie surRpar :
f(x) =
1
b−a six∈[a;b]
0 sinon
On noteX suit la loiU([a;b]) D´efinition 4
Exemple.SoitX une variable al´eatoire suivant la loi uniformeU([−1; 3]).
Calculer la probabilit´eP(−0.5< X <1.5) 3
r´epartitionF d´efinie pour tout r´eelx parF(x) =P(X6x) est :
F(x) =
0 si x < a x−a
b−a six∈[a;b]
1 si x > b Propri´et´e 1
Loi normale centr´ ee r´ eduite
3
Dire qu’une variable al´eatoire continueX suit une loi normale centr´ee r´eduite signifie que sa fonction de densit´e est d´efinie surRpar :
f(x) = 1
√2πe−x
2 2
On noteX suit la loiN (0; 1) D´efinition 5
Cette courbe est connue sous le nom de gaussienneou du fait de sa forme ca- ract´eristique decourbe en cloche.
Moivre-Laplace admis
Soitnun entier naturel non nul et pun r´eel tel que 0< p <1. On consid`ere Xn
la variable al´eatoire suivant la loi binomialeB(n;p) et siZn la variable al´eatoire d´efinie par :
Zn= Xn−np pnp(1−p) alors tous r´eelsaet btels quea < b on a :
P(a>X >b) tend vers Z b
a
√1 2πe−x
2
2 dxlorsquentend vers +∞.
Th´eor`eme 1
Ce th´eor`eme justifie que sous certaines condi- tions sur les param`etresn etp, la probabilit´e d’un ´ev`enement al´eatoire asoci´e `a une loi bino- miale peut-ˆetre approch´e par une probabilit´e d’un ´ev`enement al´eatoire asoci´e `a une loi nor- male centr´ee r´eduite. On dit qu’il s’agit d’une approximation d’une loi binomiale par une loi normale.
5 Chapitre 9. Lois `a densit´e
SoitX une varaible al´eatoire suivantN(0,1).
Pour tout r´eelαinclus dans l’intervalle ]0; 1[, il existe un unique r´eel uα tel que P(−uα6X6uα) = 1−α
Propri´et´e 2
D´emonstration.SoitF la fonction d´efinie sur [0; +∞[ parF(x) = Z x
0
√1 2πe−t
2 2dt Cette fonction est d´erivable (cf th 1 chap 08) et sa d´eriv´ee estF0(x) = 1
√ 2πe−x
2 2 . F est donc strictement croissante, deplusF(0) = 0 et lim
x→+∞F(x) = 1
2 (sym´etrie de la courbe en cloche representative de la fonction densit´e et aire totale =1).
D’apr`es le Th´eor`eme valeurs interm´ediares (de la bijection),F prend toutes ses valeurs dans l’intervalle [0;1
2[
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