Théorèmes de h-cobordisme et s-cobordisme semi-algébriques

HAL Id: tel-00481951

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00481951

Submitted on 7 May 2010

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Théorèmes de h-cobordisme et s-cobordisme semi-algébriques

Kartoue Mady Demdah

To cite this version:

Kartoue Mady Demdah. Théorèmes de h-cobordisme et s-cobordisme semi-algébriques. Mathéma-

tiques [math]. Université Rennes 1, 2009. Français. �tel-00481951�

N˚ d’Ordre : 3920

TH` ESE

Pr´ esent´ ee

devant l’Universit´ e de Rennes 1 pour obtenir

le grade de Docteur de l’Universit´ e de Rennes 1 Mention Math´ ematiques et Applications

en cotutelle avec l’Universit´ e de Pise par

Demdah Kartoue Mady

Institut de Recherche Math´ ematique de Rennes Ecole Doctorale MATISSE

UFR de Math´ ematiques

TITRE DE LA TH` ESE :

Th´ eor` emes de h-cobordisme et s-cobordisme semi-alg´ ebriques

Soutenue le 23 Juillet 2009 devant la commission d’Examen Composition du jury :

M. RICARDO BENEDETTI Professeur Examinateur M. FABRIZIO BROGLIA Professeur Codirecteur

M. JOSE F. FERNANDO Professeur Examinateur

Mme MARIE-FRANCOISE ROY-

COSTE

Professeur Examinateur

M. MICHEL COSTE Professeur Directeur

Remerciements

Ce travail n’aurait ´ et´ e possible sans les encouragements, les critiques tran- chantes, l’aide comp´ etente et la remarquable patience de mes encadrants : Prof.

Fabrizio Broglia and Prof. Michel Coste. Je ne les remercierai jamais assez.

Je tiens ` a remercier profondement le Prof. Masahiro Shiota qui m’a donn´ e de son temps, son aide, des id´ ees tr` es utiles pour cette th` ese.

J’esprime mes profonds remerciements au Prof. Francesca Aquistapace pour ses suggestions et son aide qui a am´ elior´ e la lisibilit´ e de cette th` ese.

Je remercie le staff du Dipartimento di Matematica di Pisa pour leur sympathie et soutient durant mes ann´ ees de th` ese.

J’exprime ma gratitude a tout le staff de la Tour de maths - D´ epartement des Math´ ematiques de l’Universit´ e de Rennes 1 pour leur gentillesse et support pen- dant mon s´ ejour ` a Rennes.

C’est un r´ eel plaisir pour moi de remercier mes amis : Andreea, Al-hassem, Ana, Luca, Marco, Flavien, Pascale, Fionntan, Diakit´ e, Isaia, Francesca, Jasmin, Otto, Seidou, Sebastien pour les moments agr´ eables pass´ es ensemble et pour leur sou- tien amical.

A toutes les personnes qui, de proche ou de loin, ont contribu´ e ` a la r´ ealisation de ce travail, je suis tr` es reconnaissant.

Je veux enfin remercier mes parents : Koumatei Bont´ e et Dabey Kartoue Mady.

Ils sont tout pour moi, et ` a eux je d´ edie cette th` ese.

Abstract

The h-cobordism theorem is a noted theorem in differential and PL topology.

It has been proved by Stephen Smale and is used in the proof of the generalized Poincar´ e conjecture in dimension greater than four. A generalization of the h- cobordism theorem for possibly non simply connected manifolds is the so called s-cobordism theorem.

In this thesis, we prove semialgebraic and Nash versions of these theorems. That is, starting with semialgebraic or Nash cobordism data, we get a semialgebraic homeomorphism (respectively a Nash diffeomorphism).

The main tools used are semialgebraic triangulation and Nash approximation.

One aspect of the algebraic nature of semialgebraic or Nash objects is that one can measure their complexities. We show h and s-cobordism theorems with a uniform bound on the complexity of the semialgebraic homeomorphism (or Nash diffeomorphism) contained in terms of the complexity of the cobordism data.

Finally we deduce the validity of the semialgebraic and Nash versions of the

cobordism theorems over any real closed field.

R´ esum´ e

Le th´ eor` eme de h-cobordisme est bien connu en topologie diff´ erentielle et PL.

Il a ´ et´ e d´ emontr´ e par Stephen Smale et avec comme cons´ equence la preuve de la conjecture de Poincar´ e en dimension sup´ erieure ` a 4. Une g´ en´ eralisation pour les h-cobordismes possiblement non simplement connexe est appel´ ee th´ eor` eme de s-cobordisme.

Dans cette th` ese, nous d´ emontrons les versions semi-alg´ ebrique et Nash de ces th´ eor` emes. C’est ` a dire, avec des donn´ ees semi-alg´ ebriques ou Nash, nous obte- nons un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique (respectivement un diff´ eomorphisme Nash).

Les principaux outils intervenant sont la triangulation semi-alg´ ebrique et les ap- proximations Nash. Un aspect de la nature alg´ ebrique des objets semi-alg´ ebriques et Nash est qu’on peut mesurer leurs complexit´ es. Nous montrons les th´ eor` emes de h et s-cobordisme avec borne uniforme sur la complexit´ e de l’hom´ eomorphismes semi-alg´ ebrique (diff´ eomorphisme Nash) voulu, en fonction de complexit´ e des donn´ ees du cobordisme.

Pour finir, nous d´ eduisons la validit´ e de ces th´ eor` emes version semi-alg´ ebrique et

Nash sur tout corps r´ eel clos.

Abstract

Il teorema di h-cobordismo ` e un teorema noto in topologia differenziale e topo- logia PL. Fu dimostrato da Stephen Smale ed impiegato nella dimostrazione della congettura di Poincar´ e in dimensione maggiore di quattro. La generalizzazione del teorema di h-cobordismo per cobordismi possibilmente non semplicemente connessi ` e detta teorema di s-cobordismo.

In questa tesi dimostriamo le versioni semialgebriche e Nash di questi teoremi.

Pi` u precisamente, con i dati semialgebrici (rispettivamente Nash), otteniamo un omeomorfismo semialgebrico (rispettivamente un diffeomorfismo Nash).

I principali strumenti impiegati sono la triangolazione semialgebrica e l’approssi- mazione Nash. ´ E ben noto che si pu` o misurare la complessit` a degli oggetti se- mialgebrici o Nash. L’omeomorfismo semialgebrico ed il diffeomorfismo Nash che costruiamo nella nostra dimostrazione dei teoremi di h ed s-cobordismo hanno limite uniforme sulla loro complessit` a rispetto alla complessit` a dei cobordismi.

Infine, deduciamo la validit` a di questi teoremi nelle versioni semialegbrica e Nash

su qualunque campo reale chiuso.

Table des mati` eres

Introduction . . . . 1 1 Th´ eor` emes de h et s-cobordisme semi-alg´ ebriques et Nash 5 1.1 Vari´ et´ es de Nash et semi-alg´ ebriques . . . . 6 1.2 Quelques rappels de g´ eom´ etrie PL . . . . 7 1.3 Homotopie . . . . 14 1.4 Th´ eor` emes de h et s-cobordisme

diff´ erentiable et PL . . . . 18 1.5 Th´ eor` emes de h-cobordisme

semi-alg´ ebrique et Nash . . . . 19 1.6 Th´ eor` emes de s-cobordisme

semi-alg´ ebrique et Nash . . . . 25 2 Validit´ e des th´ eor` emes de h et s-cobordisme semi-alg´ ebriques et

Nash sur un corps r´ eel clos quelconque 31 2.1 Principe de Transfert de Tarski-Seidenberg . . . . 32 2.2 Extension de quelques propri´ et´ es

topologiques . . . . 33 2.3 Validit´ e du th´ eor` eme de h-cobordisme semi-alg´ ebrique sur un corps

r´ eel clos quelconque . . . . 46 2.4 Validit´ e du th´ eor` eme de h-cobordisme Nash sur un corps r´ eel clos

quelconque . . . . 56 2.5 Validit´ e des th´ eor` emes de s-cobordisme

semi-alg´ ebrique et Nash sur un corps r´ eel clos quelconque . . . . . 61

Bibliographie 65

Introduction

Soit un triplet de vari´ et´ es diff´ erentiables compactes (M, M ₀ , M ₁ ) tel que le bord de M est la r´ eunion disjointe de M ₀ et M ₁ . On dit que (M, M ₀ , M ₁ ) est un cobordisme. Si de plus M ₀ et M ₁ sont des r´ etractes par d´ eformation de M , on dit que le triplet (M, M ₀ , M ₁ ) est un h-cobordisme. Le th´ eor` eme de h-cobordisme s’´ enonce comme suit :

Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme diff´ erentiable simplement connexe.

Si dimM = 6 alors M est diff´ eomorphe ` a M <sub>0</sub> × I, o` u I = [0, 1].

Ce th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e par Smale en 1961 (cf Smale, S. : “Generalized Poincar´ e’s Conjecture in Dimensions Greater than Four.” Ann. Math. 74, 391- 406, 1961). Ce fut la cl´ e pour d´ ebloquer la conjecture de Poincar´ e en dimension sup´ erieure o` u ´ egale ` a 5, conjecture qui a r´ esist´ e jusqu’a r´ ecemment o` u G. Perelman a d´ emontr´ e le dernier cas de la conjecture en dimension 3 dans les ann´ ees 2002- 2003 (cf. [Pe]).

Dans cet ´ enonc´ e les vari´ et´ es sont diff´ erentiables et compactes, mais il est clair qu’il a du sens aussi pour d’autres cat´ egories de vari´ et´ es, par exemple topologiques ou PL. En fait le mˆ eme th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e dans les cat´ egories des vari´ et´ es PL et des vari´ et´ es topologiques, et a les mˆ emes cons´ equences que dans le cas diff´ erentiable. Il est vrai que la d´ emonstration du th´ eor` eme de h-cobordisme est bas´ e sur ce qu’on appelle en anglais ”Whitney trick”. Cette astuce ne fonctionne qu’en dimension sup´ erieure ou ´ egale ` a 5 pour le cas diff´ erentiable et le cas PL.

Par contre dans la categorie topologique, cette astuce marche aussi en dimension 4 comme le montre le travail de M. Freedman sur la conjecture de Poincar´ e.

Pour d´ emontrer le th´ eor` eme de h-cobordisme diff´ erentiable, Smale a utilis´ e la m´ ethode de d´ ecomposition en anses. On trouve plus tard une d´ emonstration uti- lisant la th´ eorie de Morse (cf. [M]). Dans la deuxi` eme m´ ethode, on construit une fonction de Morse c’est ` a dire une fonction lisse f : M −→ [0, 1] avec f ⁻¹ (0) = M ₀ et f ⁻¹ (1) = M 1 telle que f ait un nombre fini de points critiques non d´ eg´ en´ er´ es.

En proc´ edant ` a l’´ elimination des points critiques, il est possible de construire une fonction de Morse sur M sans point critique. Ainsi, le flot du gradient de cette fonction donne le diffeomorphisme voulu.

Une g´ en´ eralisation de ce r´ esultat, pour les vari´ et´ es non n´ ecessairement sim-

plement connexes avec la condition suppl´ ementaire que les vari´ et´ es soient simple-

ment homotopes (voir section 1.3) entre elles, est le th´ eor` eme de s-cobordisme.

De mani` ere pr´ ecise :

Soit (M, M 0 , M 1 ) un h-cobordisme diff´ erentiable connexe de dimension

≥ 6. Alors, M et M ₀ × I sont diff´ eomorphes si et seulement si M est simplement homotope ` a M ₀ et M ₁ .

Ce th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e pour les deux cat´ egories : diff´ erentiable et PL. Pour la cat´ egorie diff´ erentiable, la d´ emonstration est dˆ u ` a Mazur-Barden-Stallings (cf.[K]). On trouve pour la cat´ egorie PL, une demonstration dans [RS]. Les d´ emonstrations, dans les deux cas, ont ´ et´ e faites par la m´ ethode de d´ ecomposition en anses et le calcul de la torsion de Whitehead.

Alors, les questions que cette th` ese se pose sont les suivantes :

1. Est ce que la version semi-alg´ ebrique du th´ eor` eme de h-cobordisme est vrai ? Plus exactement, quand les donn´ ees sont semi-alg´ ebriques, peut on obtenir un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique ?

2. Si la reponse est positive, est ce qu’on peut donner le mˆ eme th´ eor` eme sur un corps r´ eel clos quelconque ?

3. Mˆ emes questions en ce qui concerne le th´ eor` eme de s-cobordisme.

Or, pour ´ etendre ces r´ esultats, ` a priori deux chemins se pr´ esentent ` a nous de mani` ere naturelle :

– la m´ ethode de d´ ecomposition en anses comme ce fut fait dans le cas PL dans [RS].

– La m´ ethode d’int´ egration de champs de vecteurs en utilisant la th´ eorie de Morse comme ce fut utilis´ e dans [M].

Pour ce qui est de la premi` ere m´ ethode il faudrait r´ e´ ecrire toute cette th´ eorie version semi-alg´ ebrique. Ce qui revient ` a ´ ecrire l’´ equivalent du livre [RS] ver- sion semi-alg´ ebrique. L’int´ egration des champ de vecteurs admet un substitut semi-alg´ ebrique d´ evelopp´ e par Coste et Shiota pour d´ emontrer la version semi- alg´ ebrique du premier Lemme d’isotopie de Thom (cf. [CS1]).

Dans cette th` ese nous ne faisons usage d’aucune des deux m´ ethodes. Nous uti- lisons le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique pour transferer le r´ esultat du cas PL au cas semi-alg´ erique. Nous avons fait ce travail au premier chapitre, apr` es avoir revis´ e les d´ efinitions et les outils soit PL que semi-alg´ ebriques necessaires.

Nous avons aussi d´ eduit ces mˆ emes th´ eor` emes dans le cas des vari´ et´ es de Nash. Il se trouve qu’il y a une diff´ erence importante entre les variet´ es semi- algebriques de classe C <sup>0</sup> et les variet´ es Nash (c’est ` a dire ` a la fois analytiques et semi-alg´ ebriques) et en effet les arguments sont un peu diff´ erents. Ici, on a utilis´ e le th´ eor` eme d’approximation de Nash pour d´ eduire du cas diff´ erentiable les th´ eor` emes pr´ ecit´ es.

Une fois d´ emontr´ es ces th´ eor` emes pour IR, le passage ` a un corps r´ eel clos quelconque se fait par un proc´ ed´ e typique de ce sujet. Il s’agit de traduire les

´ enonc´ es de ces th´ eor` emes, par exemple “M est une vari´ et´ e simplement connexe”,

en des ´ enonc´ es du premier ordre de la th´ eorie des corps r´ eels clos. A ce point le

principe de Tarski-Seidenberg nous assure que les r´ esultats qui nous int´ eressent

sont vrais comme ils sont vrais pour IR. Le transfert que nous venons de d´ ecrire

se fait dans le second chapitre.

Chapitre 1

Th´ eor` emes de h et s-cobordisme semi-alg´ ebriques et Nash

Introduction

Soit M une vari´ et´ e lisse compacte ayant pour bord deux composantes M ₀ et M 1 qui sont toutes deux des r´ etractes par d´ eformation de M . On dit que le triplet (M, M ₀ , M ₁ ) est un h-cobordisme . Le th´ eor` eme de h-cobordisme dit que si M , M <sub>0</sub> et M <sub>1</sub> sont simplement connexes et dimM ≥ 6, alors M est diff´ eomorphe ` a M ₀ ×I o` u I = [0, 1]. Ce th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e par Stephen Smale en 1961 (cf.[Sm]).

Il a de nombreuse applications dont l’une bien connue est la g´ en´ eralisation de la conjecture de Poincar´ e en dimension sup´ erieur ou ´ egale ` a 5 (cf.[M]). Quelques ann´ ees plus tard, il a ´ et´ e d´ emontr´ e dans le cas PL. La preuve d´ etaill´ ee se trouve dans [RS].

Nous dirons qu’un triplet (M, M ₀ , M ₁ ) est un h-cobordisme semi-alg´ ebrique si les vari´ et´ es M, M 0 et M 1 sont des vari´ et´ es semi-ag´ ebriques telles que ∂M = M ₀ ∪ M ₁ , M ₀ ∩ M ₁ = ∅ et M ₀ et M ₁ sont des r´ etractes par d´ efomation semi- alg´ ebriques de M. Le th´ eor` eme de h-cobordisme semi-alg´ ebrique dit que si M , M <sub>0</sub> et M 1 sont simplement connexes et dimM ≥ 6, alors M est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a M ₀ × I o` u I = [0, 1]. Pour d´ emontrer ce th´ eor` eme nous utili- sons le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique. Nous d´ emontrons de mˆ eme ce th´ eor` eme dans le cas des vari´ et´ es de Nash en utilisant le th´ eor` eme d’approxima- tion des applications diff´ erentiables sur les vari´ et´ es de Nash par des applications de Nash.

Une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme de h-cobordisme pour le cas non simplement connexe, sous l’hypoth` ese plus forte que les r´ etractions de M sur M ₀ et M ₁ soient des s-homotopies (voir section 1.3), est app´ el´ ee th´ eor` eme de s-cobordisme. Nous d´ emontrons aussi ce dernier dans le cadre semi-alg´ ebrique et Nash.

Nous rappelons, dans la premi` ere section, les d´ efinitions sur les semi-alg´ e-

briques et les vari´ et´ es de Nash. Dans la deuxi` eme section, nous rappelons quelques

´ el´ ements de la g´ eom´ etrie PL. Nous rappelons dans la troisi` eme section quelques notions ´ el´ ementaires sur l’homotopie. Nous rassemblons dans la section quatre les ´ enonc´ es de th´ eor` emes de h et de s-cobordisme diff´ erentiels et PL. Dans la cin- qui` eme section, nous d´ emontrons les th´ eor` emes de h-cobordisme semi-alg´ ebrique et Nash. Et enfin dans la derni` ere section nous d´ emontrons les th´ eor` emes de s-cobordisme semi-alg´ ebrique et Nash.

1.1 Vari´ et´ es de Nash et semi-alg´ ebriques

Dans cette section, nous rappelons la d´ efinition de vari´ et´ e de Nash que nous utiliserons dans cette th` ese. Avant tout rappelons la d´ efinition de fonction de Nash.

Definition 1.1.1. Soit S un sous-ensemble de IR ⁿ .

– L’ensemble S est dit semi-alg´ ebrique s’il admet une repr´ esentation de la forme :

S =

k

[

i=1

{x ∈ IR ⁿ |f _i (x) = 0, g _i

> 0, ..., g _i

> 0}

o` u f _i , g _i

∈ IR[X ₁ ...X _n ]

– Une application de classe C ^r entre deux ensembles semi-alg´ ebriques ou- verts est appel´ ee une application de Nash de classe C ^r si son graphe est un ensemble semi-alg´ ebrique.

A partir de cette d´ efinition, on peut donner la d´ efinition de vari´ et´ e de Nash calqu´ ee sur la d´ efinition classique de vari´ et´ e diff´ erentiable. Plus pr´ ecisement : Definition 1.1.2. – Un espace topologique M sera appel´ e une vari´ et´ e de

Nash de classe C ^r de dimension m s’il existe un recouvrement fini {U _i } de M , des hom´ eomorphismes φ _i : U _i −→ IR ^m tels que

• φ _i (U _i ∩ U _j ) est un ouvert semi-alg´ ebrique de IR ^m pour tout i et tout j,

• l’application φ j ◦ φ ⁻¹ _i : φ i (U i ∩ U j ) → φ j (U i ∩ U j ) est une appli- cation de Nash de classe C ^r pour tout i et j .

– Une fonction f : M → IR, o` u M est une vari´ et´ e C ^r -Nash, est une fonction de Nash de classe C ^r si pour tout x ∈ M il existe une carte (U _i , φ _i ) telle que f ◦ φ ⁻¹ _i soit de C ^r -Nash.

– Une vari´ et´ e C ^r -Nash M sera dite affine s’il existe un plongement C ^r -Nash de M dans IR ⁿ , c’est ` a dire une application C ^r -Nash f : M → IR ⁿ qui soit :

• pour r = 0, un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique de M sur son image,

• pour r ≥ 1, de rang maximal et un hom´ eomorphisme semi-

alg´ ebrique de M sur son image.

Remark 1.1.3. – Une vari´ et´ e de Nash affine de classe C ^r est une sous-vari´ et´ e de classe C ^r de IR ⁿ qui est un ensemble semi-alg´ ebrique. Par contre toute sous-vari´ et´ e de classe C ^r de IR ⁿ qui est un sous-ensemble semi-alg´ ebrique n’est, en g´ en´ eral, une sous-vari´ et´ e C ^r Nash de IR ⁿ que pour r > 0 (cf.[S, Proposition I.3.9, p.28]). En effet pour r = 0, il existe des sous-vari´ et´ es C ⁰ de IR ⁿ qui sont semi-alg´ ebriques dans IR ⁿ mais n’admettent aucun atlas de Nash cf.[S, Remark V.2.4, p.183].

– Pour r < ∞ toute vari´ et´ e C ^r Nash admet un plongement dans IR ⁿ (cf. [S, Theorem III.1.1, p.142]), cependant pour r = ∞ il existe des vari´ et´ es C ^∞ Nash qui ne sont pas affines (cf.[S,§ IV.1, p.155]).

Dans cette th` ese nous entendons par :

- vari´ et´ e semi-alg´ ebrique toute vari´ et´ e C ⁰ Nash affine, - application semi-alg´ ebrique toute application C ⁰ Nash.

- vari´ et´ e de Nash (tout court) toute vari´ et´ e C ^ω Nash affine, - application de Nash (tout court) toute application C ^ω Nash.

1.2 Quelques rappels de g´ eom´ etrie PL

Definition 1.2.1. Soient A et B deux sous-ensembles de IR ⁿ .

– Le joint de A et B, not´ e par A ? B, est d´ efini par le sous-ensemble A ? B = {λa + µb | a ∈ A, b ∈ B; λ, µ ≥ 0 et λ + µ = 1}

B A

AB

Figure 1.1 – joint Si A = {a} on ´ ecrit a ` a la place de {a} : a ? B .

– L’ensemble a ? B est appel´ e cˆ one de sommet a et de base B si chaque point x ∈ a ? B, et x 6= a, s’´ ecrit de mani` ere unique par x = λa + µb avec b ∈ B, λ, µ ≥ 0 et λ + µ = 1.

Sur la premi` ere figure a ₁ ? B ₁ n’est pas un cˆ one selon notre d´ efinition par

contre la seconde figure a ₂ ? B ₂ l’est.

a1

B1

a2

B2

Figure 1.2 – cˆ one

– Un sous-ensemble P de IR ⁿ est appel´ e poly` edre, si tout point a de P admet un voisinage conique N = a ? L dans P , o` u L est compact. Le cˆ one N est appel´ e une ´ etoile de a dans P , et L est appel´ e un entrelacs de a dans P . – Une application f : P −→ Q entre poly` edres est dite PL (piecewise-linear)

si chaque point a de P admet un voisinage conique N = a ? L dans P tel que f (λa + µx) = λf(a) + µf (x) o` u x ∈ L et λ, µ ≥ 0 et λ + µ = 1.

Lemma 1.2.2. Soient P et Q deux poly` edres. Une application f : P −→ Q est PL si et seulement si son graphe Γ <sub>f</sub> = {(x, f(x)) ∈ IR <sup>n+m</sup> : x ∈ P } est un poly` edre.

D´ emonstration. ⇒) Supposons que f soit une application PL. Soit (x, f (x)) ∈ Γ _f avec x ∈ P. Il existe un voisinage conique N = x ? L de x dans P tel que : f(λx + µy) = λf (x) + µf (y), y ∈ L, λ ≥ 0, µ ≥ 0, λ + µ = 1 et L compact.

Nous avons Γ _f

compact dans Γ _f . Le point (x, f(x)) admet un voisinage conique N ⁰ = (x, f (x)) ? L ⁰ ou L ⁰ = Γ f

.

⇐) Supposons que Γ _f est un poly` edre. Soit x ∈ P , soit N = (x, f(x)) ? L un voisinage conique de (x, f(x)) ∈ Γ <sub>f</sub> avec L compact. Alors l’ensemble {z ∈ P | (z, f (z)) ∈ N } est un voisinage conique de x de base L <sup>0</sup> = π(L) o` u π : Γ f −→ P d´ efinie par π(x, f(x)) = x. En fait

(z, f (z)) = λ(x, f(x)) + µ(y, f(y)), (y, f(y)) ∈ L, λ, µ ≥ 0 et λ + µ = 1, donc z ∈ N ⁰ = x ? L ⁰ .

Remark 1.2.3. L’hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique donn´ e par une projection centrale n’est pas en g´ en´ eral une application PL. Par exemple dans la situation en figure ci-dessous on a que cette projection centrale admet pour graphe un morceau d’une hyperbole.

D´ emonstration. Mettons tout ceci dans un rep` ere dont l’axe des abscisses coin-

cide avec la droite (A ⁰ B ⁰ ). Les points A, B, A ⁰ , B ⁰ et P ont pour coordonn´ ees

respectives : (a _x , a _y ), (b _x , b _y ), (a ⁰ _x , a ⁰ _y ), (b ⁰ _x , b ⁰ _y ) et (p _x , p _y ). Posons A _t = (1−t)A+tB

un ´ el´ ement du segment [AB] o` u t ∈ [0, 1]. Posons π(A _t ) = A ⁰ _s l’image de A _t par

A’ B’

A

B P

A A’

B B’

Γ

Figure 1.3 – projection centrale

la projection centrale π issue du point P du segment [AB] sur le segment [A ⁰ B ⁰ ] o` u A ⁰ _s = (1 − s)A ⁰ + sB ⁰ et s ∈ [0.1]. Alors A ⁰ _s est sur la demi-droite [P, A t ), c’est

`

a dire A ⁰ _s = rP + (1 − r)A _t avec r ≤ 1. La projection consid´ er´ ee peut ˆ etre d´ efinie par : t 7→ s avec s et t v´ erifiant les trois relations pr´ ec´ edentes. Apr` es quelques calculs ´ el´ ementaires on trouve que :

s = at + b ct + d + e o` u

a = p _y (b _x − a _x ) − p _x (b _y − a _y ), b = p _y a _x − p _x a _y , c = (b ⁰ _x − a ⁰ _x )(a _y − b _y ), d = (b ⁰ _x − a ⁰ _x )(p _y − a _y ),

e = a ⁰ _x a _x − b ⁰ _x .

Ce qui d´ emontre bien qu’une projection centrale n’est pas en g´ en´ eral PL.

On note par H ^m le demi-espace

H ^m = {(x ₁ , ..., x _m ) ∈ IR ^m : x _m ≥ 0}.

Definition 1.2.4. – Un poly` edre M est une vari´ et´ e PL sans bord de dimen- sion m si chaque x ∈ M admet dans M un voisinage PL-hom´ eomorphe ` a un ensemble ouvert dans IR ^m .

– Un poly` edre M est une vari´ et´ e PL ` a bord de dimension m si chaque point de M admet un voisinage PL-hom´ eomorphe ` a un sous-ensemble ouvert de H ^m . Le bord de la vari´ et´ e M , on note ∂M , est l’ensemble des points de M tels qu’il existe un voisinage ouvert PL U de x dans M et un homeomorphisme PL φ de U vers un ouvert de H ^m avec φ(x) ∈ φ(U ) ∩ ∂ H ^m . On montre que

∂M est une sous-vari´ et´ e PL de M.

– Si ∂M = ∅ et M est compacte, la vari´ et´ e M est dite ferm´ ee.

– Si M est une vari´ et´ e PL quelconque, on d´ efinit l’int´ erieur de M , qu’on note IntM , par IntM = M − ∂M .

Dans ce qui suit nous rappelons la notion de complexe simplicial.

Definition 1.2.5. Soient a ₀ , ..., a _d des points de IR ⁿ affinement ind´ ependants c’est ` a dire qu’ils ne sont pas tous contenus dans un sous espace affine de dimen- sion d − 1.

– Le simplexe de sommets a ₀ , ..., a _d est l’ensemble d´ efini par : [a ₀ , ..., a _d ] = {x ∈ IR ⁿ : ∃λ ₀ , ..., λ _d ∈ [0, 1]

d

X

i=0

λ _i = 1 et x =

d

X

i=0

λ _i a _i }.

– Le simplexe ouvert correspondant est : ]a 0 , ..., a d [= {x ∈ IR ⁿ : ∃λ 0 , ..., λ d ∈]0, 1[

d

X

i=0

λ i = 1 et x =

d

X

i=0

λ i a i }.

– Une face d’un simplexe σ = [a ₀ , ..., a _d ] est un simplexe τ = [b ₀ , ..., b _e ] tel que :

{b ₀ , ..., b _e } ⊂ {a ₀ , ..., a _d }.

Nous notons par τ < σ le fait que τ est une face de σ.

Definition 1.2.6. Un complexe simplicial K est un ensemble de simplexes v´ erifiant les conditions suivantes :

1. Si σ ∈ K et τ < σ, alors τ ∈ K ;

2. Si τ , σ ∈ K, alors, τ ∩ σ < τ et τ ∩ σ < σ.

L’ensemble |K| = S

σ∈K σ est appel´ e r´ ealisation g´ eom´ etrique du complexe sim- plicial K.

Un complexe simplicial est dit fini s’il admet un nombre fini de simplexes.

Theorem 1.2.7. Tout poly` edre compact est la r´ ealisation g´ eom´ etrique d’un com- plexe simplicial fini.

D´ emonstration. Voir [RS, Theorem 2.11, p.16].

Definition 1.2.8. Soit P un poly` edre et K un complexe simplicial. Si P = |K|, K est dit une triangulation de P .

Definition 1.2.9. Soient K et L deux complexes simpliciaux. Le complexe sim- plicial L est une subdivision simpliciale du complexe simplicial K , si |L| = |K| et chaque simplexe de L est contenu dans un simplexe de K. On note L / K.

Supposons le complexe simplicial K fini. Soit σ un simplexe de K. Notons par ˆ

σ son barycentre. La subdivision barycentrique de K, que nous notons K ⁰ , est le complexe simplicial fini dont les simplexes sont tous les [ ˆ σ 0 , σ ˆ 1 , ..., σ ˆ d ] tels que σ i

est un simplexe de K, pour i = 0, ..., d, et σ _i est une face propre de σ _i+1 , pour

i = 0, ..., d − 1.

Definition 1.2.10. Soient K et L deux complexes simpliciaux. Une application f : |K| −→ |L| est dite simpliciale si pour tout simplexe σ dans K, f (σ) ∈ L et f |σ est lin´ eaire.

Definition 1.2.11. Soit π : |K| → |L| une projection centrale qui envoie sim- plexe sur simplexe. L’application π, en restriction aux sommets, est une appli- cation simpliciale. L’application simpliciale π ⁰ : |K| → |L|, d´ efinie en ´ etendant lin´ eairement π restreinte aux sommets sur chaque simplexe, est appel´ ee projection pseudo-centrale associ´ ee ` a π.

Theorem 1.2.12. Soient K et L deux complexes simpliciaux. Soit f : |K| −→ |L|

une application PL. Alors, il existe des subdivisons simpliciales K ⁰ / K, L ⁰ / L telles que f : |K ⁰ | −→ |L ⁰ | est simpliciale.

D´ emonstration. Voir [RS, Theorem 2.14, p.17].

Definition 1.2.13. L’´ etoile d’un sommet a relative ` a un complexe simplicial K est l’ensemble de tous les simplexes dans K qui admettent a comme un sommet.

On la note st(a, K). Nous pouvons l’´ ecrire comme suit : st(a, K ) = {τ ∈ K|a < τ }

Remarquons que l’´ etoile d’un sommet relativement ` a un complexe simplicial donn´ e n’est pas n´ ecessairement un complexe simplicial.

L’entrelacs d’un sommet a relatif ` a un complexe simplicial K est l’ensemble de tous les simplexes τ dans K tels que leurs joints a ? τ avec τ des simplexes de K qui n’admettent pas a comme sommet. On note lk(a, K). On peut l’´ ecrire aussi comme suit :

lk(a, K) = {τ ∈ K|a ? τ ∈ K, a / ∈ τ}.

Remark 1.2.14. La r´ ealisation g´ eom´ etrique N = |st(a, K)| (respectivement L = |lk(a, K)|) est une ´ etoile de a (respectivement un entrelacs de a) dans le poly` edre |K | selon la d´ efinition d’´ etoile (respectivement d’entrelacs) donn´ ee tout au d´ ebut de cette section pour d´ efinir un poly` edre.

R´ eciproquement, la d´ efinition d’une ´ etoile (respectivement d’un entrelacs), comme donn´ ee dans la d´ efinition de poly` edre, concorde avec la d´ efinition ci-dessus. En effet, soit P un poly` edre compact et a un point de P . Soit une ´ etoile N = a ? L de a dans P . Triangulons P − (N − L) avec L un sous complexe et ´ etendons ` a N en prenant le cˆ one de L ` a partir de a. Cela nous donne un complexe simplicial K ⁰ avec |K ⁰ | = P . Par cons´ equent N = |st(a, K ⁰ )| et L = |lk(a, K ⁰ )|.

Lemma 1.2.15. Soit K un complexe simplicial, K ⁰ C K et a un sommet dans

K. Alors, lk(a, K) est PL hom´ eomorphe ` a lk(a, K ⁰ ).

D´ emonstration. Soient σ _i , i = 1, ..., r les simplexes de lk(a, K ⁰ ). Posons : σ ⁺ _i = {(1 − t)a + tb | b ∈ σ i , t ≥ 0}.

Alors M = {σ ⁺ _i ∩ τ |τ ∈ lk(a, K )} est une subdivision simpliciale de lk(a, K).

La projection centrale, notons π, issue du point a de |lk(a, K ⁰ )| sur |M |, est un hom´ eomorphisme qui envoie simplexe sur simplexe. Par consequent, elle est un isomorphisme simplicial par restriction aux sommets. Il vient que l’application pseudo-centrale π ⁰ : |lk(a, K ⁰ )| −→ |M | associ´ ee a π est un isomorphisme simpli- cial. En particulier π ⁰ est un hom´ eomorphisme PL. D’o` u le r´ esultat.

Definition 1.2.16. Tout poly` edre PL-hom´ eomorphe ` a I ⁿ sera appel´ e n-boule PL. Tout poly` edre PL-hom´ eomorphe ` a ∂I ⁿ⁺¹ sera appel´ e n-sph` ere PL.

Theorem 1.2.17. Soit P un poly` edre. Le poly` edre P est une vari´ et´ e PL sans bord de dimension m si et seulement si pour tout x ∈ P un entrelacs de x dans P est une (m − 1)-sph` ere PL.

D´ emonstration. Evident.

Pour clore cette section, nous rappelons bri` evement le concept de voisinage r´ egulier. Nous avons tir´ e cette d´ efinition de [RS, ch.3, p.32] o` u elle est d´ ecrite de mani` ere detaill´ ee.

Definition 1.2.18. Supposons L ⊂ K deux complexes simpliciaux.

– Le complexe simplicial L est dit plein dans K si tout simplexe dans K, qui a tous ses sommets dans L est dans L.

– Le voisinage simplicial de L dans K est d´ efini par

N (L, K) = {σ|σ ∈ K, σ < τ, τ ∩ |L| 6= ∅}.

– Le complementaire simplicial de L dans K est d´ efini par C(L, K) = {σ|σ ∈ K, σ ∩ |L| = ∅}

– Une subdivision K ⁰ C K obtenue en subdivisant K en d´ ehors de L∪ C(L, K) est appel´ e une d´ eriv´ ee de K pr` es de L. Alors K <sup>0</sup> est obtenu ` a partir de K en subdivisant les simplexes qui rencontrent |L| mais qui ne sont pas dans L.

Supposons que L est plein dans K et K ⁰ est une d´ eriv´ ee de K pr` es de L.

On appelle N (L, K ⁰ ) un voisinage d´ eriv´ e de L dans K.

– Supposons maintenant que X ⊂ Y sont deux poly` edres avec X compact,

K une triangulation d’un voisinage de X dans Y avec |L| = X o` u L est

plein dans K , et que K ⁰ est une d´ eriv´ ee de K pr` es de L. Le poly` edre issu

de la r´ ealisation g´ eom´ etrique N = |N (L, K ⁰ )| est appel´ e voisinage r´ egulier

de X dans Y.

X

N

Y

Figure 1.4 – Voisinage r´ egulier

Dans le but de rappeler la d´ efinition d’´ equivalence d’homotopie simple, nous rappelons en premier lieu les d´ efinitions de collapse et expansion.

Definition 1.2.19. Soient P et Q deux polyh` edres tels que Q ⊂ P . Soit B ⁿ une n-boule PL. Si P = Q ∪ B ⁿ et Q ∩ B ⁿ = B ⁿ⁻¹ avec B ⁿ⁻¹ ⊂ ∂B ⁿ , on dit que Q est obtenu de P par un collapse ´ el´ ementaire . On le note par P ⇓ Q. On dit aussi qu’il y a une expansion ´ el´ ementaire de Q en P .

On dit que P collapse sur Q et on ´ ecrit P & Q s’il existe une suite de collapses

´ el´ ementaires P = P ₀ ⇓ P ₁ ⇓ ... ⇓ P _m = Q. On dira dans ce cas aussi qu’il y a une expansion de Q en P et on note Q % P

P

Q

Bn

Figure 1.5 – Collapse-expansion ´ el´ ementaire

Definition 1.2.20. Soient Q ⊂ P deux poly` edres. Le poly` edre P est dit simple- ment homotope au poly` edre Q s’il existe une suite de collapses et expansions

P = P ₀ & P ₁ % P ₂ & ... & P _n = Q rel Q,

o` u rel Q veut dire que durant les op´ erations de collapses et expansions Q reste

inchang´ e. Nous dirons : P est s-homotope ` a Q.

Nous rappelons le th´ eor` eme qui dit qu’un voisinage r´ egulier d’un poly` edre P compact collapse sur P .

Theorem 1.2.21. Soit M une vari´ et´ e PL et X ⊂ M un poly` edre compact. Soit N un voisinage de X dans M . Si N est un voisinage r´ egulier de X, alors on a N & X.

D´ emonstration. Se d´ eduit de [H, Lemma 2.10, p.55] et [H,Theorem 2.11,p.56].

1.3 Homotopie

Rappelons dans cette section quelques notions d’homotopie que nous utilise- rons dans cette th` ese.

Definition 1.3.1. Soient X et Y deux espaces topologiques. Soient f et g deux applications continues de X vers Y . Les applications f et g sont dites homotopes et on note f ' g, s’il existe une application continue H : X × I −→ Y telle que H ₀ = f et H ₁ = g o` u H ₀ (x) = H(x, 0) et H ₁ (x) = H(x, 1) pour tout x ∈ X.

L’application H est appel´ ee homotopie entre les applications f et g.

La relation ”' ” est une relation d’´ equivalence.

Definition 1.3.2. Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application f : X −→ Y est dite ´ equivalence d’homotopie s’il existe une application continue g : Y −→ X telle que f ◦ g ' id _Y et g ◦ f ' id _X .

Soient X et Y deux espaces topologiques tels que X ⊂ Y. L’ensemble X est un r´ etracte par d´ eformation de Y s’il existe une homotopie continue H : Y ×I −→ Y telle que :

– H _t | _X = id _X ∀t ∈ I, – H ₀ = id _Y , H ₁ : Y −→ X.

Il est clair que l’inclusion X , → Y , dans ce cas, est une ´ equivalence d’homotopie.

Definition 1.3.3. Soient f et g deux applications de X −→ Y , o` u X et Y sont des espaces topologiques. Soit Z ⊂ X. La notation f ' g (rel Z ) signifie qu’il existe une homotopie H : X × I −→ Y , avec H ₀ = f et H ₁ = g, v´ erifiant les conditions suivantes :

– f |

= g |

,

– H(x, t) = f(x) = g(x) pour tout x ∈ Z

Dans le but de d´ emontrer le Lemme d’approximation de fonctions continues par des fonctions PL, nous rappelons le Lemme qui suit.

Lemma 1.3.4. Soient P 1 , P 2 et P 3 des sous poly` edres du poly` edre P . Soit f : P →

I ⁿ une application continue telle que f | _P

est PL. Supposons P ₁ ∩ P ₂ = ∅. Soit

ε > 0 , il existe une application f ⁰ : P → I ⁿ v´ erifiant les propri´ et´ es suivantes :

1. f ⁰ | _P

est PL 2. f ⁰ | _P

∪P

= f| _P

∪P

3. ||f ⁰ (x) − f(x)|| < ε pour tout x ∈ P 4. f ⁰ ' f rel P ₂ ∪ P ₃ .

D´ emonstration. Soient K ₁ , K ₂ , K ₃ ⊂ K les complexes simpliciaux qui triangula- risent les poly` edres P <sub>1</sub> , P <sub>2</sub> , P <sub>3</sub> ⊂ P tels que K <sub>1</sub> soit plein dans K et que f (σ) soit contenu strictement dans une boule de rayon ε/2 pour tout σ ∈ K. D´ efinissons f <sup>0</sup> : P → I <sup>n</sup> en posant f <sup>0</sup> (v) = f (v ) pour tout sommet v de K. Alors pour un simplexe σ de K <sub>1</sub> , f <sub>|σ</sub> <sup>0</sup> est d´ efinie en ´ etendant lin´ eairement la definition de f <sup>0</sup> sur les sommets de σ. Si σ ∩ |K <sub>1</sub> | = ∅, posons f <sub>|σ</sub> <sup>0</sup> = f <sub>|σ</sub> . Finalement si σ ∈ K − K <sub>1</sub> , mais avec σ ∩ |K 1 | 6= ∅, on peut poser σ = σ 1 ? σ 2 avec σ 1 ∈ K 1 et σ 2 ∩ |K 1 | = ∅ (puisque K <sub>1</sub> est plein dans K). Alors , d´ efinissons f <sub>|σ</sub> <sup>0</sup> en ´ etendant lin´ eairement f <sup>0</sup> d´ ej` a d´ efinie sur σ ₁ et σ ₂ . Il est claire que f _|P ⁰

2

∪P

= f |P

∪P

et f _|P ⁰

1

est PL.

Et on a aussi ||f ⁰ (x) − f(x)|| < ε car pour tout σ ∈ K, f ⁰ (σ) ⊂ B (ε/2) avec B(ε/2) une boule ouverte. Enfin l’application H : P × I → I ⁿ , d´ efinie par H(x, t) = tf (x) + (1 − t)f ⁰ (x), est une homotopie qui donne f ⁰ ' f rel P 2 ∪ P 3 . D’o` u le r´ esultat.

Lemma 1.3.5. Soit f : P −→ Q une application continue d’un poly` edre compact P vers une PL-vari´ et´ e Q de dimension q. Soit P <sub>0</sub> ⊆ P un sous poly` edre compact de P sur lequel f est une application PL. Soit ε > 0 suffisament petit. Alors il existe une application f ⁰ : P −→ Q telle que :

1. f ⁰ ' f rel P ₀ ,

2. kf (x) − f ⁰ (x)k < ε pour tout x ∈ P , 3. f ⁰ est PL.

D´ emonstration. Le poly` edre Q est une vari´ et´ e PL. Soit L une triangulation de Q. Remarquons que Q = ∪ v∈L

|st(v, L)|, o` u L ⁰ designe l’ensemble des sommets de L. Alors on peut trianguler le couple (P 0 , P ) par des complexes simpliciaux (K ₀ , K ) avec K ₀ ⊆ K tels que pour tout simplexe σ ∈ K, f (σ) soit contenu dans l’´ etoile d’un sommet de L. Comme P , P ₀ sont compacts, il vient que cl(P − P ₀ ) est compact. On a donc K et K 0 des complexes simpliciaux finis. Soit

A = {σ _i : i = 1, ..., r}

l’ensemble des simplexes de K \ K ₀ ordonn´ e de mani` ere que les simplexes suivent leurs faces. Par exemple, commencer par les sommets, ensuite les 1-simplexes, etc.. Posons

K _i = K ₀ ∪

i

[

j=1

σ _j .

D´ efinissons par r´ ecurrence les applications suivantes : f _i : P → Q

1. f _i | |K

| est PL 2. f i ' f rel P 0

3. si σ ∈ K, f _i (σ) ⊂ Int _Q |st(v, L)| avec v un sommet de L, 4. ||f _i (x) − f i−1 (x)|| < ^ε _r , pour i ≥ 1.

On a f ₀ = f qui v´ erifie l’hypoth` ese de r´ ecurrence. Supposons f i−1 d´ efinie. Alors on a f _i−1 (σ _i ) ⊂ Int _Q |st(v, L)| avec v un sommet de L.

Soit K ⁰ une subdivision de K tel que N = |N (σ _i , K ⁰ )| est un voisinage r´ egulier de σ _i avec N ⊂ f _i−1 ⁻¹ (Int _Q |st(v, L)|).

Posons R = N , R ₁ = σ _i , R ₂ = Fr _|P (N ) o` u Fr <sub>|P</sub> repr´ esente la fronti` ere relativement

`

a P et R ₃ = N ∩ |K i−1 |. Soit h : |st(v, L)| → I ^q un hom´ eomorphisme PL.

L’application h ◦ (f i−1|R ) : N → I ^q est PL sur R ₃ et R ₁ ∩ R ₂ = ∅. Alors, par le Lemme pr´ ec´ edent, soit ε _i , il existe une application g : R → I ^q telle que g _|R

est PL, g |R

∪R

= h ◦ (f i−1|R

∪R

) et ||g(x) − h ◦ f i−1 (x)|| < ε _i .

D´ efinissons f _i : P → Q par : f i (x) =

h ⁻¹ ◦ g(x) si x ∈ R

f i−1 (x), si x ∈ cl(P − R).

Comme R compact avec ε _i suffisament petit on peut s’assurer que

||f _i (x) − f i−1 (x)|| < ^ε _r et pour σ ∈ K f _i (σ) ⊂ Int _Q |st(v, L)| avec v un sommet de L. Il vient que l’application f i est bien d´ efinie et v´ erifie les point 1), 3) et 4) de l’hypoth` ese de r´ ecurrence. En plus par le point 4) du Lemme pr´ ec´ edent, on a une homotopie H qui definit : f <sub>i|R</sub> ' f i−1|R rel R <sub>2</sub> ∪ R <sub>3</sub> . En ´ etendant l’homotopie H d´ efinie pr´ ec` edemment par H(x, t) = f i−1 (x) pour tout x ∈ cl(P − R) et pour tout t ∈ I, on a f _i ' f i−1 rel P ₀ .

Posons f ⁰ = f _r , on voit que f ⁰ est PL. En plus on a

||f ⁰ (x) − f(x)|| ≤ ||f ⁰ (x) − f r−1 (x)|| + ... + ||f ₁ (x) − f (x)||.

Il vient que ||f ⁰ (x) − f(x)|| < ε. On a aussi que :

f ⁰ ' f r−1 rel P ₀ , ..., f ₁ ' f rel P ₀ .

Il vient ais´ ement que f ⁰ ' f rel P ₀ . Ce qui ach` eve la d´ emonstration.

Le lemme pr´ ec´ edent est d´ emontr´ e sous des hypoth` eses plus g´ en´ erales dans [H]

page 98.

Definition 1.3.6. Soit P un poly` edre. Nous disons que P est PL-simplement connexe si pour x ∈ P , tout lacet PL dans P bas´ e en x est homotope au lacet constant ` a base le point x avec une homotopie PL.

Lemma 1.3.7. Soit M une PL- vari´ et´ e. Alors, M est simplement connexe si et

seulement s’il est PL-simplement connexe.

D´ emonstration. ⇒) Supposons M un poly` edre simplement connexe. Consid´ e- rons γ : I −→ M un lacet PL dans M avec point de base x ∈ M et I = [0, 1].

Puisque γ est continu, par hypoth` ese on a γ topologiquement homotope au lacet constant ` a base x. Ce qui revient ` a dire qu’il existe une homotopie continue H : I × [0, 1] −→ M telle que

– H ₀ = γ, H ₁ = x et – H| 0×[0,1]∪1×[0,1] = x.

Posons P ₀ = ∂P avec P = I × [0, 1], il est clair que H| _P

est une application PL.

Par le lemme d’approximation 1.3.5, il existe une application PL, notons H ⁰ , telle que H ⁰ | _P

= H| _P

. Par cons´ equent γ est PL homotope au lacet constant ` a base x.

⇐) R´ eciproquement, supposons que M est PL-simplement connexe. Consid´ erons γ ₀ un lacet continu dans M bas´ e en x. Par le lemme d’approximation 1.3.5 il existe un lacet PL γ ₁ tel que γ ₀ ' γ ₁ rel x. Puisque M est PL-simplement connexe, le lacet γ ₁ est PL homotope au lacet constant bas´ e en x. Il s’ensuit que γ ₀ est topologiquement homotope au lacet constant ` a base x. Ce qui prouve le lemme.

Dans le lemme suivant, nous montrons qu’une r´ etraction par d´ eformation continue d’un poly` edre sur un autre peut ˆ etre approch´ ee par une r´ etraction par d´ eformation PL.

Lemma 1.3.8. Soient P et Q deux vari´ et´ es PL tels que Q soit compacte et contenue dans P . Si Q est un r´ etracte par d´ eformation continue de P , alors Q est un r´ etracte par d´ eformation PL de P .

D´ emonstration. Etant donn´ e que P est une vari´ et´ e PL, alors P × [0, 1] est une vari´ et´ e PL. Soit une homotopie H : P × [0, 1] −→ P telle que

– H _t | _Q = id _Q ∀t ∈ I – H 0 = id P , H 1 : P −→ Q

Il est clair que P ₀ = P × {0} S

Q × [0, 1] est un sous poly` edre de P × I.

On v´ erifie facilement que H| _P

est une application PL. Il vient, par le lemme d’approximation 1.3.5, qu’il existe une PL homotopie H ⁰ : P × [0, 1] −→ P avec H ⁰ ' H rel P ₀ . Puisque H ⁰ est tr` es proche de H, on peut supposer qu’il existe un voisinage regulier R de Q contenant H ₁ ⁰ (P ). Remarquons qu’un collapse

´ el´ ementaire (et alors un collapse) donne un r´ etracte par d´ eformation PL. Alors, comme cons´ equence du th´ eor` eme 1.2.21, Q est un r´ etracte par d´ eformation PL de R. Ce qui veut dire qu’ il existe une PL homotopie H ⁰⁰ : R × [0, 1] → P telle que :

– H _t ⁰⁰ | _Q = id _Q ∀t ∈ I

– H ₀ ⁰⁰ = id _R , H ₁ ⁰⁰ : R −→ Q est surjective.

Posons :

F (x, t) =

H ⁰ (x, 2t) si t ∈ [0, ¹ ₂ ]

H ⁰⁰ (H ₁ ⁰ (x), 2t − 1), si t ∈ [ ¹ ₂ , 1].

Il est clair que F est une PL homotopie. Cela montre bien que Q est un r´ etracte par d´ eformation PL de P .

1.4 Th´ eor` emes de h et s-cobordisme diff´ erentiable et PL

Nous rappelons dans cette section les th´ eor` emes de h et s-cobordisme diff´ e- rentiables et PL. Nous commen¸cons par la d´ efinition d’un h-cobordisme.

Definition 1.4.1. Soient M , M ₀ , M ₁ des vari´ et´ es (diff´ erentiable, PL) compactes telles que :

– ∂M = M ₀ S M ₁ – M ₀ ∩ M ₁ = ∅.

Alors, le triplet (M, M ₀ , M ₁ ) est appel´ e cobordisme (diff´ erentiable, PL).

Le cobordisme (M, M ₀ , M ₁ ), diff´ erentiable ou PL, est dit un h-cobordisme, diff´ erentiable ou PL, si les inclusions M ₀ , → M et M ₁ , → M sont des ´ equivalences d’homotopie diff´ erentiable ou PL.

Une d´ emonstration du th´ eor` eme de h-cobordisme dans le cas diff´ erentiable se trouve dans [M].

Theorem 1.4.2. ( Th´ eor` eme de h-cobordisme diff´ erentiable)

Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme diff´ erentiable simplement connexe.

Si dimM = 6 alors M est diff´ eomorphe ` a M <sub>0</sub> × I, o` u I = [0, 1].

Le mˆ eme th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e dans le cas PL, voir [RS]. Nous donnons l’´ enonc´ e.

Theorem 1.4.3. (Th´ eor` eme de h-cobordisme PL)

Soit (M, M 0 , M 1 ) un h-cobordisme PL, simplement connexe.

Si dimM = 6 alors M est PL hom´ eomorphe ` a M <sub>0</sub> × I, o` u I = [0, 1].

Si M est une vari´ et´ e diff´ erentiable compacte, il est bien connu qu’elle admet une structure PL unique ` a isomorphisme PL pr` es. Alors, M est s-homotope ` a M <sub>0</sub> si leur triangulations |K| et |K <sub>0</sub> | sont s-homotopes. Ceci est bien d´ efini car la s- homotopie de deux poly` edres ne d´ epend pas d’une triangulation (cf [RS, Lemma 5, 105]). Une g´ en´ eralisation du th´ eor` eme de h-cobordisme est appel´ ee th´ eor` eme de s-cobordisme. Au lieu d’imposer que les vari´ et´ es soient simplement connexes, on impose seulement l’´ equivalence d’homotopie simple entre elles.

Theorem 1.4.4. (Th´ eor` eme de s-cobordisme diff´ erentiable)

Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme diff´ erentiable connexe de dimension ≥ 6. Alors,

M et M 0 × I sont diff´ eomorphes si et seulement si M est s-homotope ` a M 0 et

M ₁ .

D´ emonstration. Voir [K].

Voici la version PL du th´ eor` eme s-cobordisme.

Theorem 1.4.5. (Th´ eor` eme de s-cobordisme PL)

Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme PL connexe de dimension dimM ≥ 6. Alors M et M ₀ × I sont PL-hom´ eomorphes si et seulement si M est s-homotope ` a M ₀ et M 1 .

D´ emonstration. Voir [RS, Theorem 6.19, p.89].

1.5 Th´ eor` emes de h-cobordisme semi-alg´ ebrique et Nash

Dans cette section nous d´ emontrerons les th´ eor` emes de h-cobordisme semi- alg´ ebrique et Nash. Nous commen¸cons d’abord par pr´ eciser les ´ el´ ements utiles pour la d´ emonstration de ces th´ eor` emes.

Un ensemble semi-alg´ ebrique compact a une structure PL grace au th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique. Une d´ emonstration valide sur tout corps r´ eel clos se trouve dans [BCR, p. 217].

Theorem 1.5.1. Soit S ⊂ IR ⁿ un ensemble semi-alg´ ebrique compact, et S ₁ , ..., S _p , des sous-ensembles semi-alg´ ebriques de S. Alors il existe un complexe simplicial fini K dans IR ⁿ et un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique h : |K| −→ S, tels que chaque S _k est l’image par h d’une union de simplexes ouverts de K.

Une telle structure est unique par un r´ esultat de Shiota et Yokoi (cf. [SY]) que nous pouvons ´ enoncer dans ce cas comme suit :

Theorem 1.5.2. Deux poly` edres compacts sont semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphes si et seulement s’ils sont PL hom´ eomorphes.

Rappelons le corollaire suivant qui nous permet de ramener, ` a r´ etraction par d´ eformation semi-alg´ ebrique pr` es, tout ensemble semi-alg´ ebrique ` a un ensemble semi-alg´ ebrique born´ e.

Corollary 1.5.3. Soit S un ensemble semi-alg´ ebrique de IR ⁿ . Il existe r ∈ IR, r > 0, tel que S ∩ B (0, r) est un r´ etracte par d´ eformation s´ emi-alg´ ebrique de S o` u B(0, r) est une boule ferm´ ee, i.e il existe une application semi-alg´ ebrique (C ⁰ ) h : [0, 1] × S → S telle que pour tout x ∈ S, h(0, x) = 0, h(1, x) ∈ S ∩ B(0, r) et pour tout t ∈ [0, 1] et tout x ∈ S ∩ B(0, r), h(t, x) = x.

D´ emonstration. Voir [BCR, Corollary 9.3.7, p.225] o` u il est d´ emontr´ e pour tout

corps r´ eel clos.

Nous montrons d’abord l’analogue du lemme 1.3.7 dans le cas semi-alg´ ebrique.

C’est ` a dire pour un ensemble semi-alg´ ebrique X dans IR <sup>n</sup> , dire qu’il est sim- plement connexe est ´ equivalent ` a dire qu’il est semi-alg´ ebriquement simplement connexe. Pour la simple connexit´ e semi-alg´ ebrique, on consid` ere les lacets semi- alg´ ebriques et les homotopies semi-alg´ ebriques.

Lemma 1.5.4. Soit X un ensemble semi-alg´ ebrique ferm´ e. L’ensemble X est simplement connexe si et seulement s’il est semi-alg´ ebriquement simplement connexe.

Nous reviendrons sur ce type de propri´ et´ es au chapitre 2 section 2.

D´ emonstration. ⇒) Supposons X topologiquement simplement connexe. Soit γ un lacet semi-alg´ ebrique dans X bas´ e au point x. Puisque γ est compact, il existe une boule ferm´ ee B telle que X ∩ B ⊃ γ. Par le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique, il existe un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique h : |K | −→ B ∩ X avec |K| un poly` edre. Nous avons alors un lacet semi-alg´ ebrique h ⁻¹ ◦ γ.

Par le lemme d’approximation, il existe un lacet PL dans |K|, disons γ ⁰ , tel que h ⁻¹ ◦ γ ' γ ⁰ (rel h ⁻¹ (x)). En prenant B de rayon suffisament grand, B ∩ X est simplement connexe car il est un r´ etracte par d´ eformation semi-alg´ ebrique de X (Corollaire 1.5.3). Le poly` edre K est simplement connexe comme image r´ eciproque de B ∩ X(qui est simplement connexe) par l’hom´ eomorphisme semi- alg´ ebrique h. Le lemme 1.3.7 implique que |K| est PL simplement connexe. Alors γ ⁰ est PL homotope au lacet constant bas´ e au point h ⁻¹ (x). Par cons´ equent, on v´ erifie facilement que γ est semi-alg´ ebriquement homotope au lacet constant bas´ e au point x.

⇐) R´ eciproquement, supposons X semi-alg´ ebriquement simplement connexe.

Soit γ un lacet continu dans X avec point de base x. Soit une boule B contenant γ.

Par le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique, il existe un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique h : |K| −→ B ∩ X avec K un poly` edre. En prenant la boule B suffisamment grande, on a que B ∩ X est un r´ etracte par d´ eformation semi- algebrique de X (Corollaire 1.5.3). Alors le poly` edre K est semi-alg´ ebriquement simplement connexe comme image r´ eciproque de

B ∩ X (qui est semi-alg´ ebriquement simplement connexe) par l’hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique h. Alors le lacet h ⁻¹ ◦ γ est un lacet continu bas´ e en h ⁻¹ (x) dans le poly` edre |K|. Par le Lemme 1.3.5, il existe un lacet PL γ <sup>0</sup> tel que h <sup>−1</sup> ◦ γ ' γ <sup>0</sup> (rel h <sup>−1</sup> (x)). Par hypoth` ese γ ⁰ est semi-alg´ ebriquement homotope au lacet constant c _h

_(x) . Il s’ensuit que h ⁻¹ ◦γ est continument homotope au lacet constant c _h

_(x) . En appliquant h ` a cette homotopie on trouve que γ est continument homotope au lacet constant c x . D’o` u le r´ esultat.

Le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique nous assure que toute vari´ et´ e semi-alg´ ebrique compacte est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a un poly` edre.

Par la proposition suivante nous montrons qu’un tel poly` edre est de surcroˆıt une

vari´ et´ e PL.

Proposition 1.5.5. Toute vari´ et´ e semi-alg´ ebrique est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a une vari´ et´ e PL.

D´ emonstration. Soit M une vari´ et´ e semi-alg´ ebrique compacte de dimension m.

Par le th´ eor` eme de triangulation semi-alg´ ebrique, il existe un poly` edre |K| et un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique h tels que :

h : |K| −→ M

o` u K un complexe simplicial fini. Il reste donc ` a montrer que le polyh` edre |K|

est une vari´ et´ e PL. Prenons x ∈ |K|, il existe un et un seul y ∈ M tel que h(x) = y. Par la d´ efinition d’une vari´ et´ e semi-alg´ ebrique, il existe un voisinage V de y dans M semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a un ensemble semi-alg´ ebrique ouvert U dans IR <sup>m</sup> c’est ` a dire qu’il existe une carte semi-alg´ ebrique (V, φ) telle que φ : V −→ U est un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique. Alors, il existe un voisinage ouvert h ⁻¹ (V ) de x dans |K| semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a un sous-ensemble ouvert semi-alg´ ebrique U de IR <sup>m</sup> . Il existe un > 0 tel que la boule ferm´ ee B(φ(y), ) ⊂ U. Il en d´ ecoule que l’ensemble h <sup>−1</sup> ◦ φ <sup>−1</sup> (B(φ(y), )) est un voisinage ferm´ e born´ e de x dans |K |. Posons W = h <sup>−1</sup> ◦ φ <sup>−1</sup> (B(φ(y), ). En sup- posant que la triangulation h est compatible avec φ <sup>−1</sup> (B(φ(y), ), on a que W est poly` edre. Il vient que W et B(φ(y), ) sont semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphes.

Par l’unicit´ e de la triangulation semi-alg´ ebrique (Th´ eor` eme 1.5.2), ils sont PL hom´ eomophes. Alors Int(W ) et Int(B(φ(y), )) sont PL hom´ eomorphes. Cela montre que |K| est une vari´ et´ e PL.

On peut d´ efinir d’une mani` ere naturelle la notion du h-cobordisme semi- alg´ ebrique.

Definition 1.5.6. Soient (M, M ₀ , M ₁ ) des vari´ et´ es semi-alg´ ebriques compactes telles que :

– ∂M = M ₀ S M ₁ – M ₀ ∩ M ₁ = ∅.

Alors, le triplet (M, M ₀ , M ₁ ) est appel´ e cobordisme semi-alg´ ebrique.

Un cobordisme semi-alg´ ebrique (M, M ₀ , M ₁ ) est dit un h-cobordisme semi- alg´ ebrique si les inclusions M ₀ , → M et M ₁ , → M sont des ´ equivalences d’ho- motopie semi-alg´ ebrique, c’est ` a dire, les r´ etractions par d´ eformations sont ici semi-alg´ ebriques.

Nous pouvons donc d´ emontrer le th´ eor` eme de h-cobordisme version semi- alg´ ebrique, le premier r´ esultat important de cette th` ese.

Theorem 1.5.7. Soit (M, M 0 , M 1 ) un h-cobordisme semi-alg´ ebrique simplement

connexe. Si dimM = 6 alors M est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a M ₀ × I,

o` u I = [0, 1].

D´ emonstration. Par la proposition 1.5.5, il existe un hom´ eomorphisme semi- alg´ ebrique

λ : |K| −→ M

tel que |K| soit une vari´ et´ e PL, o` u K est complexe simplicial fini. Nous pou- vons supposer que cette triangulation soit compatible avec les sous-vari´ et´ es M <sub>0</sub> et M <sub>1</sub> . On en d´ eduit des sous complexes simpliciaux K <sub>0</sub> , K <sub>1</sub> ⊂ K qui triangu- larisent les poly` edres λ ⁻¹ (M 0 ) et λ ⁻¹ (M 1 ). Il s’ensuit que λ ⁻¹ (M 0 ) = |K 0 | et λ ⁻¹ (M ₁ ) = |K ₁ | sont des sous-vari´ et´ es PL de |K | . Les vari´ et´ es PL |K|, |K ₀ | et

|K ₁ | sont bien sˆ ur compactes. Mais nous avons |K ₀ | et |K ₁ | qui sont des r´ etractes par d´ eformation semi-alg´ ebriques de |K|. Par le lemme 1.3.8, ils sont aussi des r´ etractes par d´ eformation PL. Il s’ensuit que (|K|, |K ₀ |, |K|) est un h-cobordisme PL simplement connexe. Le probl` eme de connexit´ e simple en passant par ces trois cat´ egories est r´ esolu par les lemme 1.3.7 et lemme 1.5.4 d´ emontr´ es ci-dessus. Alors par le th´ eor` eme de h-cobordisme PL

|K| ^{P L} ∼ = |K ₀ | × I,

o` u <sup>P L</sup> ∼ = d´ esigne l’hom´ eomorphisme PL. Puisqu’une vari´ et´ e PL compacte est une vari´ et´ e semi-alg´ ebrique et un hom´ eomorphisme PL entre des vari´ et´ es PL com- pactes est un hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique, il vient ais´ ement que M est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a M ₀ × I . Ce qu’il fallait d´ emontrer.

Cas relatif

Soient M 0 et M 1 deux vari´ et´ es PL compactes ` a bord et de dimension m − 1. Soit M une vari´ et´ e PL compacte de dimension m. Le triplet (M, M <sub>0</sub> , M <sub>1</sub> ) est appel´ e cobordisme ` a bord si M ₀ ∪ M ₁ ⊂ ∂M . Alors V = cl(∂M − M ₀ − M ₁ ) est un cobordisme entre ∂M 0 et ∂M 1 . On dit que M est un h-cobordisme si M 0 , → M , M ₁ , → M , ∂M ₀ , → V , ∂M ₁ , → V sont toutes des ´ equivalences d’homotopies. Voir figure ci-dessous.

Theorem 1.5.8. Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme ` a bord et simplement connexe.

Supposons que V ∼ = ∂M ₀ × I et m ≥ 6. Alors

(M, V ) ^{P L} ∼ = (M 0 , ∂M 0 ) × I.

D´ emonstration. Voir [RS, Theorem 6.18, p.88].

De la mˆ eme mani` ere, nous d´ efinissons un h-cobordisme semi-alg´ ebrique ` a bord.

En gardant les mˆ emes notations, nous d´ eduisons la version semi-alg´ ebrique de ce th´ eor` eme. Dans ce th´ eor` eme ^s.a ∼ = d´ esigne l’hom´ eomorphisme semi-alg´ ebrique.

Theorem 1.5.9. Soit (M, M ₀ , M ₁ ) un h-cobordisme semi-alg´ ebrique ` a bord. Sup- posons V ^s.a ∼ = ∂M ₀ × I et m ≥ 6. Alors

(M, V ) ^s.a ∼ = (M ₀ , ∂M ₀ ) × I.

V M0

M1 M

Figure 1.6 – Cobordisme ` a bord

D´ emonstration. Soit (|K|, |K ₀ |, |K ₁ |) une triangulation semi-alg´ ebrique du h-cobordisme semi-alg´ ebrique avec bord et simplement connexe (M, M 0 , M 1 ).

Notons par |K ⁰ | la triangulation de V issue de celle de M . Il en d´ ecoule que

|K ⁰ | = cl(|K| − |K ₀ | − |K ₁ |) est un PL cobordisme entre ∂|K ₀ | and ∂|K ₁ |.

Puisque M est un h-cobordisme semi-alg´ ebrique avec bord, les inclusions |K 0 | , →

|K|, |K ₁ | , → |K|, ∂|K ₀ | , → |K ⁰ |, ∂ |K ₁ | , → |K ⁰ | sont toutes des ´ equivalences d’homotopies semi-alg´ ebriques. Par le lemme 1.3.8, ces inclusions sont toutes des ´ equivalences d’homotopies PL. Par hypoth` ese V est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a ∂M ₀ × I. Il vient que, par l’unicit´ e de la triangulation semi- alg´ ebrique (Th´ eor` eme 1.5.2), |K <sup>0</sup> | et ∂|K <sub>0</sub> | × I sont PL hom´ eomorphes. Puisque dimM ≥ 6, par le Th´ eor` eme de h-cobordisme relative PL, nous avons

(|K|, |K ⁰ |) ^{P L} ∼ = (|K ₀ |, ∂|K ₀ |) × I.

Cela implique que, semi-alg´ ebriquement nous avons (M, V ) ^s.a ∼ = (M ₀ , ∂M ₀ ) × I.

Ce qui ach` eve la preuve.

Nous montrons, suite au th´ eor` eme de h-cobordisme semi-alg´ ebrique, une ver- sion semi-alg´ ebrique de la conjecture de Poincar´ e pour les dimensions diff´ erentes de 4. Pour cela ´ enon¸cons d’abord la conjecture version PL.

Theorem 1.5.10. (Conjecture de Poincar´ e version PL)

Soit M ^m une vari´ et´ e PL compacte sans bord du type d’homotopie d’une m-sph` ere

et m 6= 4, alors M ^m est PL hom´ eomorphe ` a une m-sph` ere. Pour m = 4, M ^m est

topologiquement hom´ eomorphe ` a une m-sph` ere.

Remark 1.5.11. Pour les dimensions m ≥ 5 la preuve est dˆ u au th´ eor` eme de h-cobordisme PL. En dimension strictement inferieure ` a 4, c’est ` a dire 2 et 3, le premier est d´ ej` a connu d´ epuis Poincar´ e, le second est demontr´ e tout derni` erement (2002-2003) par G. Perelman dans le cas diff´ erentiable voir [Pe].

Puisque la cat´ egorie des vari´ et´ es diff´ erentiables, la cat´ egorie des vari´ et´ es topo- logiques et la cat´ egorie de vari´ et´ es PL sont ´ equivalentes en dimension inf´ erieure ou ´ egale ` a 3 (voir [Mo]), alors on a la conjecture pour le cas PL en dimension inf´ erieure ou ´ egale ` a 3.

Pour m = 4, la validit´ e des th´ eor` emes de h-cobordisme diff´ erentiable et PL n’est pas encore d´ emontr´ e. Par contre, M. Freedman a d´ emontr´ e ce th´ eor` eme version topologique pour m=4 et ensuite la conjecture du Poincar´ e pour cette dimension cf.[SC,p.80-81]. La tentation serait de faire le mˆ eme raisonement qu’` a la premi` ere partie de la remarque pour d´ eduire la version PL ou diff´ erentielle. Mais cela ne marche pas ` a cause des comportements sp´ ecifiques aux vari´ et´ es de dimension 4.

Par exemple, il existe des vari´ et´ es topologiques compactes de dimension 4 avec une infinit´ e d´ enombrable de structures diff´ erentiables cf.[SC, corollary, p.316].

En plus l’unicit´ e de structure diff´ erentiable pour S ⁴ reste un probl` eme ouvert.

La conjecture de Poincar´ e version PL en dimension 4 reste un probl` eme ouvert comme celle diff´ erentiable.

Nous obtenons par suite la version semi-alg´ ebrique.

Theorem 1.5.12. Soit M ^m une vari´ et´ e semi-alg´ ebrique compacte sans bord du type d’homotopie d’une m-sph` ere et m 6= 4, alors M <sup>m</sup> est semi-alg´ ebriquement hom´ eomorphe ` a une m-sph` ere. Pour m = 4, M ^m est topologiquement hom´ eomorphe

`

a une m-sph` ere.

D´ emonstration. On applique le th´ eor` eme pr´ ec´ edent et le th´ eor` eme de triangula- tion semi-alg´ ebrique pour conclure.

Nous allons, dans ce qui suit, d´ emontrer le th´ eor` eme de h-cobordisme version Nash. Pour ce faire, nous donnons la d´ efinition d’un h-cobordisme Nash suivie d’un th´ eor` eme d’approximation de diff´ eomorphisme Nash et la preuve devient presque ´ evidente.

Definition 1.5.13. Soient M , M ₀ , M ₁ des vari´ et´ es de Nash compactes telles que :

– ∂M = M ₀ S M ₁ – M ₀ ∩ M ₁ = ∅.

Alors, le triplet (M, M 0 , M 1 ) est appel´ e cobordisme Nash.

Un cobordisme Nash (M, M ₀ , M ₁ ) est dit un h-cobordisme Nash si les inclu- sions M ₀ , → M et M ₁ , → M sont des ´ equivalences d’homotopies semi-alg´ ebrique.

Theorem 1.5.14. Soient L ₁ , L ₂ des vari´ et´ es de Nash compactes possiblement

`

a bord, et soient M ₁ , M ₂ leurs interieurs. Alors les conditions suivantes sont