Filtrage avec fenêtre glissante de mesures : Application à un robot à bras articulé

HAL Id: hal-01962275

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01962275

Submitted on 20 Dec 2018

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Filtrage avec fenêtre glissante de mesures : Application à un robot à bras articulé

Noussaiba Gasmi, Mohamed Boutayeb, Assem Thabet, Mohamed Aoun

To cite this version:

Noussaiba Gasmi, Mohamed Boutayeb, Assem Thabet, Mohamed Aoun. Filtrage avec fenêtre glissante

de mesures : Application à un robot à bras articulé. Congrès National de la Recherche en IUT,

CNRIUT’2018, Jun 2018, Aix-en-Provence, France. �hal-01962275�

CNRIUT’2018, Aix-en-Provence

Filtrage avec fenêtre glissante de mesures : application à un robot à bras articulé

N. GASMI ¹ M. BOUTAYEB ¹ A. THABET ² M. AOUN ²

noussaiba.gasmi@univ-lorraine.fr mohamed.boutayeb@univ-lorraine.fr

1 IUT Henri Poincaré de Longwy, Université de Lorraine, France Centre de Recherche en Automatique de Nancy, CRAN-CNRS UMR 7039

2 École Nationale d’Ingénieurs de Gabès, Université de Gabès, Tunisie

Laboratoire de Recherche MACS : Modélisation, Analyse et Commande des Systèmes

T h emes ` – Automatique, Robotique

R´ esum ´ e – Cet article traite la conception d’un observateur de type H _∞ pour l’estimation d’´ etat d’un robot

`

a bras articul´ e en pr´ esence de perturbations. Les ´ etapes de la mod´ elisation du robot, partant de son dynamique jusqu’` a l’obtention du mod` ele d’´ etat temps discret, sont pr´ esent´ ees dans la premi` ere partie. Une fois la repr´ esentation d’´ etat ´ etablie, une nouvelle technique de filtrage H ∞ est pr´ esent´ ee.

L’id´ ee principale consiste ` a utiliser une fenˆ etre glissante de mesures ant´ ec´ edentes dans l’observateur de Luenberger afin de garantir une meilleure pr´ ecision de l’estimation. Ceci permettra d’obtenir une contrainte moins restrictive que celles existantes dans la litt´ erature. Ainsi, la contrainte pr´ esent´ ee est r´ esoluble en utilisant des logiciels d’optimisation num´ eriques standards (MATLAB-LMI Toolboxes, etc). L’efficacit´ e de la m´ ethodologie propos´ ee est illustr´ ee par des simulations num´ eriques.

M ots - cl´ es – Filtrage H _∞ , robot ` a bras articul´ e, syst` eme non lin´ eaire.

1 Introduction

Un robot à bras articulé (figure 1) est un robot avec des axes rotatifs qui a des fonctions similaires à un bras hu- main. Il est programmable pour e ff ectuer une variété de tâches avec une grande précision. Les bras manipulateurs sont en général mobiles et peuvent être conçus pour divers applications industrielles (soudage, assemblage, etc). Pour bien maîtriser ce robot, l’utilisateur nécessite d’en avoir une bonne information. En e ff et, la mise en œuvre d’une commande a besoin de capteurs permettant de fournir à chaque instant une valeur approximative de l’état. Deux types de capteurs sont généralement utilisés : les capteurs physiques, qui sont coûteux ou di ffi ciles à réaliser pour des raisons techniques, et les capteurs logiciels, appelés observateurs, qui donnent l’avantage d’avoir les informa- tions nécessaires avec le moindre coût. Ces observateurs permettent d’estimer les informations non directement me- surées au moyen de celles disponibles. Généralement, pour estimer l’état d’un système à un instant k, ce sont les me- sures à l’instant k − 1 qui sont utilisées [1]. L’idée dans ce travail est d’utiliser un nombre N d’anciennes mesures afin d’avoir une bonne connaissance de la dynamique d’évolu- tion de l’état ainsi qu’une meilleure précision (minimisa- tion de l’erreur d’estimation).

F igure 1 – Robot à bras articulé

2 Modèle du robot à bras articulé

On considère le modèle du robot à bras articulé étudié dans [2] :

F igure 2 – Robot à bras articulé

La dynamique du robot est décrite par les équations sui- vantes :



 

 

 

 

 

 

 

 

θ ˙ _m = ω _m

ω ˙ _m = _J ^τ

_m

(θ _l −θ _m ) − ^b

J

m

ω _m + ^K _J

_m^τ

u θ ˙ _l = ω _l

ω ˙ _l = − ^τ

J

_l

(θ _l − θ _m ) − ^Mgh

J

_l

sin(θ _l )

(1)

où θ _m , ω _m , θ _l et ω _l sont respectivement les positions et vitesses du moteur et de la liaison. J _m et J _l sont l’inertie du moteur et de la liaison, h et M sont la longueur et la masse de la liaison, b représente le frottement visqueux, K _τ correspond au gain d’amplificateur. Les mesures sont la position et la vitesse du moteur. Nous supposons que la première équation de (1) et la mesure de la vitesse du moteur sont a ff ectées par le même bruit v(t). En définis- sant x(t) =

θ _m ω _m θ _l ω _l

, le comportement du ro- bot peut être décrit par les équations d’états suivantes :

( x(t) ˙ = A c x(t) + B c u(t) + D c f (x(t)) + E c v(t) y(t) = C _c x(t) + F _c v(t) (2)

avec A _c =



 

 

 

 

 

 

 

0 1 0 0

− ^τ

J

m

− ^b

J

m

τ J

m

0

0 0 0 1

τ

J

_l

0 − ^τ

J

_l

0



 

 

 

 

 

 

  , B _c =



 

 

 

 

 

 

  0

K

τ

J

m

0 0



 

 

 

 

 

 

  ,

D _c =



 

 

 

 

 

 

 0 0 0 1



 

 

 

 

 

 

 , E _c =



 

 

 

 

 

 

 1 0 0 0



 

 

 

 

 

 



, C _c = 1 0 0 0

0 1 0 0

! ,

F _c = 1 0

!

et f (x(t)) = − ^Mgh

J

_l

sin(θ _l ) est une fonction non linéaire Lipschitzienne.

x(t) ∈ R ⁿ , u(t) ∈ R ^s , y(t) ∈ R ^p et v(t) ∈ R ^r désignent, res- pectivement, les vecteurs d’état, d’entrée, de sortie et de perturbation.

La discrétisation d’Euler du système dynamique (2) donne ( x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + D f (x(k)) + Ev(k)

y(k) = C x(k) + Fv(k) (3)

où A = I ₄ + T A _c , B = T B _c , D = T D _c , E = T E _c , C = C _c , F = F _c et T représente la période d’échantillonnage.

3 Synthèse du filtre avec fenêtre glissante

Cette partie s’intéresse à la synthèse du filtre avec fe- nêtre glissante pour l’estimation des états du système, no- tamment les position et les vitesses du moteur et de la liai- son.

L’observateur proposé est donné par l’équation suivante : ˆ

x(k + 1) = A x(k) ˆ + Bu(k) + D f ( ˆ x(k)) + L



 

 

 

 

 

 

 

 

y(k) −C x(k) ˆ y(k −1) −C x(k ˆ − 1)

.. .

y(k − N + 1) − C x(k ˆ − N + 1)



 

 

 

 

 

 

 

  (4)

où ˆ x(k) et N représentent, respectivement, l’estimation de l’état et le nombre de mesures. L =

L ₁ L ₂ · · · L _N est le gain de l’observateur qui devrait être déterminé telle que

ˆ

x _k converge vers sa valeur réelle x.

En notant ξ(k) le nouveau vecteur d’état, le système (3) peut être réécrit sous la forme suivante :

ξ(k + 1) = Aξ(k) + K Bu(k) + KD f (x(k)) + E$(k) (5) avec ξ(k) =

x(k) x(k −1) · · · x(k − N + 1) T

,

$(k) =

v(k) v(k −1) · · · v(k −N + 1) T

, K =

I n 0 · · · 0 T

,

A =



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0 · · · · · · 0 I 0 · · · · · · 0 0 ... ... .. . .. . ... ... ... ...

0 · · · 0 I 0



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  , E =



 

 

 

 

 

 

 

 

E 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . ... ... ...

0 · · · 0 0



 

 

 

 

 

 

 

  .

Ensuite, l’observateur H _∞ donné par (7) est reformulé comme suit :

ξ(k ˆ + 1) = A ξ(k) ˆ + K Bu(k) + KD f ( ˆ x(k)) + KLCε(k) + KLF $(k)

(6) avec ε(k) = ξ(k) − ξ(k), ˆ L =

L ₁ L ₂ · · · L _N , N f ois

C = block − diag z }| { C,..., C

! , N f ois F = block − diag z }| {

F,..., F

! .

Ainsi, en utilisant le lemme 1 de [3], un recours au critère H ∞ afin d’atténuer l’e ff et des perturbations avec un choix appropriée d’une fonction de Lyapunov permet de détermi- ner le gain L .

4 Résultats de simulation

Considérons le système d’équations (1). Les valeurs physiques suivantes sont utilisées : J _m = 3.7 × 10 ⁻³ kgm ² , J _l = 9.3 ×10 ⁻³ kgm ² , K _τ = 8×10 ⁻² NmV ⁻¹ , h = 1.5 ×10 ⁻² m, M = 0.21kg, b = 4.6 ×10 ⁻² m, τ = 0.1814 et T = 10 ⁻² s.

Notez que v(k) est une perturbation sinusoïdale.

On considère le cas du filtre H _∞ avec une fenêtre de deux mesures (N = 2). Les matrices de gains obtenues sont les suivantes :

L ₁ =



 

 

 

 

 

 

0.9901 0.0099

−0.9904 1.9683

−0.9639 1.9980 1.8869 −0.9303



 

 

 

 

 

  , L ₂ =



 

 

 

 

 

 

−0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0012 −0.0012

−0.0005 0.0005



 

 

 

 

 

 

Les résultats de simulation sont donnés par les figures 3 et 4.

D’après les figures 3 et 4, les gains L 1 et L 2 , donnés par le filtre avec fenêtre glissante, assurent la convergence des états estimés vers les états réels et de l’erreur d’estimation vers zéro.

F igure 3 – Évolution des états (ligne bleue) et de leurs esti- més (ligne rouge) dans un contexte bruyant avec v = 0 pour t < 1 et t > 2

F igure 4 – Les erreurs d’estimation dans un contexte bruyant avec v = 0 pour t < 1 et t > 2

5 Conclusion

Un observateur permettant l’estimation d’état d’un ro- bot à bras articulé en présence de perturbations a été déve- loppé. L’avantage dans ce travail est que malgré la présence de certains perturbateurs externes, l’utilisateur peut avoir, à chaque instants, des informations précises sur les di ff érents mouvements (états) du robot. Les résultats obtenus ont été validés par des simulations numériques.

Références

[1] B. Grandvallet, A. Zemouche, M. Boutayeb, and S. Changey. Real-time attitude-independent three- axis magnetometer calibration for spinning projec- tiles : A sliding window approach. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 22(1) :255–264, Jan 2014.

[2] M. Spong. Modeling and control of elastic joint robots.

Trans. ASME, J. Dyn. Syst., Meas. Control, 109 :310–

319, 1987.

[3] A. Zemouche, M. Zerrougui, B. Boulkroune, F. Be-

douhene, H. Souley-Ali, and M. Zasadzinski. H _∞

observer-based stabilization for lipschitz nonlinear

systems. In Proc. European Control Conference

(ECC), pages 2017–2022, June 2016.