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Submitted on 20 Dec 2018
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Commande basée observateur d’un robot à bras articulé
Noussaiba Gasmi, Mohamed Boutayeb, Assem Thabet, Mohamed Aoun
To cite this version:
Noussaiba Gasmi, Mohamed Boutayeb, Assem Thabet, Mohamed Aoun. Commande basée observa-
teur d’un robot à bras articulé. Congrès National de la Recherche en IUT, CNRIUT’2018, Jun 2018,
Aix-en-Provence, France. �hal-01962354�
CNRIUT’2018, Aix-en-Provence
Commande basée observateur d’un robot à bras articulé
N. GASMI
1M. BOUTAYEB
1A. THABET
2M. AOUN
2noussaiba.gasmi@univ-lorraine.fr mohamed.boutayeb@univ-lorraine.fr
1
IUT Henri Poincaré de Longwy, Université de Lorraine, France Centre de Recherche en Automatique de Nancy, CRAN-CNRS UMR 7039
2
École Nationale d’Ingénieurs de Gabès, Université de Gabès, Tunisie
Laboratoire de Recherche MACS : Modélisation, Analyse et Commande des Systèmes
Themes` – Automatique, Robotique
R´esum´e– L’objectif de ce papier est de synth´etiser une commandeH∞ bas´ee observateur pour stabiliser un ro- bot `a bras articul´e. Dans un premier temps, les ´etapes de mod´elisation du robot sont pr´esent´ees. Un mod`ele non lin´eaire temps discret est alors obtenu. Afin d’estimer les grandeurs non accessibles d´e- crivant le comportement du proc´ed´e, un observateur de Luenberger est utilis´e. Ce type d’observateur est con¸cu de telle sorte que la diff´erence entre les valeurs des ´etats r´eels et celles des ´etats esti- m´es converge asymptotiquement vers z´ero. L’estimation d’´etat est ensuite utilis´ee pour ´elaborer une loi de commande H∞ garantissant une att´enuation des perturbations qui affectent le robot. Des conditions suffisantes, ´ecrites sous forme d’in´egalit´e lin´eaire matricielle (LMI), sont ´etablies pour assurer la stabilisation du syst`eme. Enfin, une simulation num´erique est pr´esent´e pour d´emontrer l’applicabilit´e de l’approche propos´ee.
Mots-cl´es– Commande, observateur, robot `a bras articul´e.
1 Introduction
Un robot à bras articulé (figure 1) est un robot qui a des fonctions similaires à un bras humain. Les liens de ce mani- pulateur sont reliés par des axes permettant un mouvement de rotation. Il peut être utilisé pour effectuer une variété de tâches avec une grande précision. Les bras manipulateurs sont en général mobiles et peuvent être conçus pour divers applications industrielles (soudage, assemblage, etc).
Figure1 – Robot à bras articulé
Pour réussir à commander ce robot, il est nécessaire d’avoir des informations complètes décrivant la totalité de son comportement. Or, la mesure de toutes les grandeurs susceptibles de décrire le comportement du procédé est une tâche très difficile pour des raisons de coût, de mise en œuvre technique, etc. Ainsi, pour arriver à contrôler le robot à bras articulé, le concepteur peut procéder de deux manières différentes : Soit établir une loi de commande par retour de sortie statique qui se base seulement sur les infor- mations disponibles. Soit concevoir une loi de commande basée observateur pour pouvoir estimer l’état du robot à chaque itérationk. Dans ce papier, c’est le deuxième type de commande qui est abordé.
2 Modèle du robot à bras articulé
On considère le modèle du robot à bras articulé étudié dans [1] , et modélisé dans la figure (2) :
Figure2 – Robot à bras articulé
La dynamique du robot est décrite par les équations sui- vantes :
θ˙m = ωm
ω˙m = Jτm(θl−θm)− b
Jmωm+KJmτu θ˙l = ωl
ω˙l = −τ
Jl(θl−θm)−Mgh
Jl sin(θl)
(1)
où θm, ωm, θl et ωl sont respectivement les positions et vitesses du moteur et de la liaison. Jm et Jl sont l’inertie
du moteur et de la liaison, h et M sont la longueur et la masse de la liaison, b représente le frottement visqueux, Kτ correspond au gain d’amplificateur. Les mesures sont la position et la vitesse du moteur. Nous supposons que la première équation de (1) et la première mesure du vecteur de sortie sont affectées par le même bruitv(t). En définis- sant x(t)=
θm ωm θl ωl
, le comportement du ro- bot peut être décrit par les équations d’états suivante :
( x(t)˙ =Acx(t)+Bcu(t)+Dcfc(x(t))+Ecv(t) y(t)=Ccx(t)+Fcv(t) (2)
avecAc=
0 1 0 0
−τ
Jm −b
Jm
τ Jm 0
0 0 0 1
τ
Jl 0 −τ
Jl 0
,Bc=
0
Kτ
Jm
0 0
,
Dc=
0 0 0 1
,Ec=
1 0 0 0
,Cc= 1 0 0 0
0 1 0 0
! ,
Fc= 1 0
!
et fc(x(t))=−Mgh
Jl sin(θl).
x(t)∈Rn,u(t)∈Rs,y(t)∈Rp etv(t)∈Rr désignent, res- pectivement, les vecteurs d’état, d’entrée, de sortie et de perturbation.
La discrétisation d’Euler du système dynamique (2) donne ( x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+D f(x(k))+Ev(k)
y(k)=C x(k)+Fv(k) (3)
oùA=I4+T Ac,B=T Bc,D=Dc,E=T Ec,C=Cc,F=Fc, f(x(k))=T fc(x(t)) etTreprésente la période d’échantillon- nage.
La fonction f(x(k)) satisfait la condition suivante : kf(x1)−f(x2)k ≤αkx1−x2k (4) pour toutx1,x2∈Rn.
3 Synthèse de la loi de commande basée observateur
Pour le système (3), Considérons l’observateur de Luen- berger décrit comme suit :
ˆ
x(k+1)=Ax(k)ˆ +Bu(k)+D f( ˆx(k))+L y(k)−Cx(k)ˆ (5) couplé avec une commande par retour d’état décrite par l’équation suivante :
u(k)=Kx(k)ˆ (6)
où ˆx(k),L etK représentent, respectivement, l’estimation de l’état, le gain de l’observateur et le gain du commande.
En appliquant le critèreH∞ (kx(k)k¯ l2n 2
≤µkv(k)klr
2, pour
¯
x(k)= x(k) e(k)
!
et ¯x(0)=0) et en utilisant une fonction de
Lyapunov appropriée (V(k)=x¯T(k)Px(k) avec¯ P=PT = Pc 0
0 P0
!
>0) [2] ainsi que la condition (3), on trouve le résultat décrit par le théorème suivant.
Théorème. Pour un niveau d’atténuation de perturbation λ >0, le problème de la commande basée sur un filtreH∞
avec fenêtre glissante de mesures correspondant au sys- tème (3), l’observateur (5) et la commande (6), est stable au sens de Lyapunov s’il existeµ1>0,µ2>0, des matrices Pc=PTc >0, Po=PTo >0U, Rcet Rode dimensions ap- propriées telles que la LMI suivante soit faisable :
minλen respectant PcB=BU
I I−U
(?) I
>0
(1,1) 0 (1,3) 0 0 (1,6) 0
(?) (2,2) (2,3) (2,4) 0 (2,6) (2,7)
(?) (?) (3,3) 0 (3,5) 0 0
(?) (?) (?) (4,4) (4,5) 0 0
(?) (?) (?) (?) −λ2I (5,6) (5,7)
(?) (?) (?) (?) (?) −Pc 0
(?) (?) (?) (?) (?) (?) −Po
<0
(7)
avec
(1,1)= −Pc+(1+µ1α2)I (1,3)= (PcA+BRc)TD (1,6)= (PcA+BRc)T (2,2)= −Po+(1+µ2α2)I (2,3)= −(BRc)TD (2,4)= (PoA−RoC)TD (2,6)= −(BRc)T (2,7)= (PoA−RoC)T (3,3)= DTPcD−µ1I (3,5)= DTPcE (4,4)= DTPoD−µ2I (4,5)= DT(PoE−RoF) (5,6)= ETPc
(5,7)= (PoE−RoF)T
Ainsi, le gain de l’observateur est donné par L=P−o1Roet le gain du contrôleur est donné par K=U−1Rc.
4 Résultats de simulation
Dans cette section, nous considérons un exemple numé- rique du robot à bras articulé. Les valeurs physiques utili- sées sont les suivantes :
Jm = 3.7×10−3kgm2, Jl = 9.3×10−3kgm2, Kτ =8× 10−2NmV−1,h=1.5×10−2m,M=0.21kg,b=4.6×10−2m, τ=0.1814 etT=10−2s.
Notez quev(k) est une perturbation sinusoïdale.
Après la résolution du LMI (7), les matrices de gains obte- nues sont les suivantes :
L=
0.9994 0.0060
−0.9733 1.1865
−0.6611 0.8012
−0.0909 0.1194
,
K=
−13.4579 −3.2462 4.4214 −2.9677 . Les résultats de simulation sont présentés par la figure 3.
Figure3 – Les trajectoires de l’état réel (ligne bleue) et de l’estimation de l’état (ligne rouge)
D’après la figure 3, les gains K et L calculés à partir de (7) assurent la stabilisation des états du robot considéré ainsi que la convergence des états estimés vers les états réels.
5 Conclusion
Dans ce papier, une approche de commandeH∞ basée observateur a été présentée pour contrôler la vitesse d’un robot à bras articulé. Le critèreH∞a été utilisé pour garan- tir une atténuation de perturbations affectant le fonctionne- ment du bras manipulateur. Des conditions suffisantes pour assurer la stabilisation du système ont été établies et écrites sous forme de LMI.
Références
[1] M. Spong. Modeling and control of elastic joint robots.
Trans. ASME, J. Dyn. Syst., Meas. Control, 109 :310–
319, 1987.
[2] G. B. H. Frej, M. Boutayeb, A. Thabet, M. Aoun, and M. Zasadzinski. Decentralized observer-based control for interconnected nonlinear discrete-time systems. In 25th Mediterranean Conference on Control and Auto- mation, pages 1154–1158, 2017.
