Dynamique de populations stuctur´ees en ˆage Mod`ele de McKendrick-Von Foerster

Ecole Polytechnique´ MAP 431 - Mini-Projet (2011)

Dynamique de populations stuctur´ees en ˆ age Mod`ele de McKendrick-Von Foerster

Sujet propos´e par Xavier Dupuis xavier.dupuis@cmap.polytechnique.fr

On s’int´eresse dans ce mini-projet `a l’´evolution d’une population o`u les in- dividus sont diff´erenci´es par une variable : leur ˆage. La mod´elisation conduit

`

a une EDP structur´ee en ˆage. Cette ´equation apparaˆıt en ´epid´emiologie, en d´emographie, ou encore dans des mod`eles du cycle de division cellulaire.

1 EDP et ´ equation int´ egrale

Le mod`ele porte sur la densit´e de population. Pr´ecis´ement, on noteρ(a, t) la densit´e d’individus d’ˆagea`a l’instantt.a^∗ est l’ˆage maximal :

(a, t)∈[0, a^∗]×R+ . Lemod`ele de McKendrick-Von Foerster est donn´e par :

∂ρ

∂a(a, t) +∂ρ

∂t(a, t) +µ(a)ρ(a, t) = 0 (1)

ρ(0, t) = Z a^∗

0

β(a)ρ(a, t)da (2)

ρ(a,0) = φ(a) (3)

(1) est une ´equation de transport lin´eaire, (2) est la condition de renouvellement (`a la naissance), et (3) est la condition initiale (au temps z´ero).

Les fonctionsµ, β, φsont donn´ees. Les hypoth`eses sont les suivantes : – µ≥0,µ∈C⁰([0, a^∗)),Ra^∗

0 µ(α)dα= +∞, – β≥0,β ∈C¹([0, a^∗]),

– φ≥0,φ∈C¹([0, a^∗]).

Question 1. 1. Interpr´eter biologiquement les fonctions µ et β, ainsi que P, d´efinie `a chaque instant par :

P(t) :=

Z a^∗

0

ρ(a, t)da .

1

2. En utilisant la m´ethode des caract´eristiques, montrer qu’une solution C¹ ρde (1)-(3) satisfait :

ρ(a, t) = ρ(0, t−a)e^{−R0aµ(α)dα} poura≥t , ρ(a, t) = φ(a−t)e^{−Ra−ta µ(α)dα} pourt < a . On note pour la suite

B(t) := ρ(0, t),

π(a) := e^{−R0aµ(α)dα} (π(a^∗) = 0).

Question 2. 1. ´Etablir l’´equation int´egrale de renouvellement v´erifi´ee par B :

B(t) =ψ(t) + Z t

0

β(a)π(a)B(t−a)da , (4) o`u ψest une fonction (ne d´ependant ni deρni deB) `a d´eterminer.

2. Montrer que r´eciproquement, on peut construire une solution du mod`ele de McKendrick-Von Foerster (1)-(3)`a partir d’une solutionC¹de l’´equation de renouvellement (4).

Les questions d’existence de cette derni`ere ´equation peuvent se traiter par th´er`eme de point fixe ou par transformation de Laplace. On ne s’y int´eressera pas dans le cas g´en´eral.

2 Forme sp´ eciale de solutions

On cherche dans cette partie des solutions sous la forme particuli`ere (stable age distribution) :ρ(a, t) =A(a)T(t), avecRa^∗

0 A(a)da= 1.

Question 3. 1. Que repr´esenteT(t)?A(a)?

2. Supposons qu’il existe une telle solution,C¹et strictement positive. ´Etablir alors deux ´equations diff´erentielles ordinaires non coupl´ees sur T et A, puis les r´esoudre.

La condition de renouvellement (2) s’´ecrit dans ce cas : Z a^∗

0

β(a)π(a)e^−p0ada= 1, (5)

o`up0est naturellement apparu dans les deux ´equations diff´erentielles pr´ec´edentes.

(5) est l’´equation de Lotka-Sharpe pourp0.

Question 4. 1. En ´etudiant l’int´egrale `a param`etrep7→Ra^∗

0 β(a)π(a)e^−pada, montrer que l’´equation de Lotka-Sharpe (5) admet une unique solution p₀∈R.

2. Prouver la proposition suivante (exprimerφetρ) :

Proposition. A` µ et β fix´ees, il existe une unique solution ρ du mod`ele de McKendrick-Von Foerster (pour une certaine condition initiale φ) de la forme

’stable age distibution’,C¹ et strictement positive.

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3 Simulations num´ eriques

On fixe un temps finalT et on consid`ere notre probl`eme (1)-(3) sur le rec- tangle 0≤a≤a^∗, 0≤t≤T. On discr´etise l’ˆage et le temps avec le mˆeme pas constanth:

h= a^∗ M = T

N, M, N∈N,

et on note ρⁿ_j notre approximation de ρ(a_j, t_n) := ρ(jh, nh). On utilise pour l’´equation de transport (1) le sch´ema suivant :

ρⁿ_j −ρⁿ⁻¹_j−1

h +µjρⁿ_j = 0 j, n≥1, (6) et pour la condition de renouvellement (2) la somme de Riemann suivante :

ρⁿ₀ =

M−1

X

j=0

βjρⁿ_jh n≥1 . (7)

On compl`ete le sch´ema par une discr´etisation de la condition initiale (3) :

ρ⁰_j =φj j ≥1 . (8)

Question 5. 1. Montrer que le sch´ema (6)est pr´ecis `a l’ordre1 (consid´erer ρle long des caract´eristiques).

2. Donner la condition sur himpos´ee par (7).

On veillera `a ce que cette condition soit bien satisfaite pour les impl´ementations

`

a venir. Pour les simulations, on choisit : – a^∗= 1 etT = 3

– µ(a) = _1−a¹

– β(a) =β >0 une constante que l’on fera varier – φ(a) =

(1−2a)³(1−a) a∈[0,¹₂] (2a−1)³(1−a) a∈[¹₂,1]

Question 6. (β = 2)

1. ´Ecrire un code en Scilab impl´ementant le sch´ema (6)-(8).

2. Montrer que la solution de l’´equation de Lotka-Sharpe (5) estp₀= 0.

3. Tracer sur des mˆemes graphes la solution ’stable age distribution’ (pour p₀ = 0) et la solution du sch´ema, en fonction de l’ˆage pour diff´erents temps fix´es, puis en fonction du temps pour diff´erents ˆages fix´es.

Question 7. (β = 6)

1. Adapter le code pr´ec´edent.

2. Montrer que r´esoudre l’´equation de Lotka-Sharpe (5) revient `a r´esoudre : 6(e^−p−1 +p) =p² pourp >0. (9) 3. ´Ecrire un code en Scilab bas´e sur l’algorithme de Newton pour trouver une

solution de (9) `a0.01pr`es.

4. Tracer sur des mˆemes graphes la solution ’stable age distribution’ (pourp0

obtenu par Newton) et la solution du sch´ema, en fonction de l’ˆage pour diff´erents temps fix´es, puis en fonction du temps pour diff´erents ˆages fix´es.

Question 8. (β = 1)Reprendre la question pr´ec´edente pourβ = 1.

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