Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques L.C.K

(1)

Exercice N° 1:(3pts)

La courbe représentée sur l’annexe ci-jointe ( Fig 1 ) est celle d’une fonction dérivable et décroissante sur . admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1. La tangente à la courbe au point passe par le point .

Par lectures graphiques :

1) a) Déterminer :

et

b) Déterminer , et .

c) Vérifier que

est dérivable en et déterminer

.

2) a) Soit g la restriction de sur , montrer que g est une bijection de sur un intervalle J que l’on précisera.

b) Tracer la courbe représentative

dans le même repère . Exercice n°2 :(5,5pts)

Soit la fonction définie sur par : 1 +

1) a) Montrer que f est dérivable sur et que .

b) Montrer que l’équation admet dans une solution unique et que . c) Montrer que pour tout ; .

2) Soit La suite U définie sur IN par : et pour tout n de IN,

. a) Montrer que pour tout n de IN, 1 2

b) Montrer que pour tout n de IN, on a :

. c) En déduire que pour tout n de IN , on a : d) Calculer la limite de la suite

Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques

L.C.K – L.S.K

Date : 27 / 12 /2016

Durée : 2 Heures

Séction : 4

^ème

Sciences expérimentales Prof s: B.A et B.T

(2)

Exercice N °3 :(5,5pts)

On considère les deux suites et définies par :

; ; et pour tout entier naturel . 1) Soit la suite définie par : pour tout .

a) Montrer que est une suite géométrique de raison . b) Exprimer en fonction de

2) a) Montrer que pour tout , et

. b) En déduire les variations de et .

c) Démontrer que et sont deux suites adjacentes. Que peut-on déduire ? 3) On considère à présent la suite , pour tout .

a) Montrer que la suite est constante.

b) En déduire la limite des suites et . Exercice n°4 :(6pts)

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct . 1)a) Calculer

b) Résoudre dans l’équation : .

2) Soit l’équation :

avec

a) Montrer que z est une solution de si et seulement si

est une solution de . b) Résoudre dans l’équation .

3) On considère les points A , B et C d’affixes respectives

;

et

. a) Donner la forme exponentielle de et .

b) Montrer que : .

c) Construire dans repère les points A , B et C pour . ( Fig 2 ) 4) a) Montrer que est un trapèze pour tout .

Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques L.C.K

Exercice N° 1:(3pts)

La courbe représentée sur l’annexe ci-jointe ( Fig 1 ) est celle d’une fonction dérivable et décroissante sur . admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1. La tangente à la courbe au point passe par le point .

Par lectures graphiques :

1) a) Déterminer :

et

b) Déterminer , et .

c) Vérifier que

est dérivable en et déterminer

.

2) a) Soit g la restriction de sur , montrer que g est une bijection de sur un intervalle J que l’on précisera.

b) Tracer la courbe représentative

dans le même repère . Exercice n°2 :(5,5pts)

Soit la fonction définie sur par : 1 +

1) a) Montrer que f est dérivable sur et que .

b) Montrer que l’équation admet dans une solution unique et que . c) Montrer que pour tout ; .

2) Soit La suite U définie sur IN par : et pour tout n de IN,

. a) Montrer que pour tout n de IN, 1 2

b) Montrer que pour tout n de IN, on a :

. c) En déduire que pour tout n de IN , on a : d) Calculer la limite de la suite

Devoir de Synthèse N°1 Mathématiques

L.C.K – L.S.K

Date : 27 / 12 /2016

Durée : 2 Heures

Séction : 4

Sciences expérimentales Prof s: B.A et B.T

Exercice N °3 :(5,5pts)

On considère les deux suites et définies par :

; ; et pour tout entier naturel . 1) Soit la suite définie par : pour tout .

a) Montrer que est une suite géométrique de raison . b) Exprimer en fonction de

2) a) Montrer que pour tout , et

. b) En déduire les variations de et .

c) Démontrer que et sont deux suites adjacentes. Que peut-on déduire ? 3) On considère à présent la suite , pour tout .

a) Montrer que la suite est constante.

b) En déduire la limite des suites et . Exercice n°4 :(6pts)

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct . 1)a) Calculer

b) Résoudre dans l’équation : .

2) Soit l’équation :

avec

a) Montrer que z est une solution de si et seulement si

est une solution de . b) Résoudre dans l’équation .

3) On considère les points A , B et C d’affixes respectives

;

et

. a) Donner la forme exponentielle de et .

b) Montrer que : .

c) Construire dans repère les points A , B et C pour . ( Fig 2 ) 4) a) Montrer que est un trapèze pour tout .

b) Vérifier que l’aire de trapèze est constante pour tout .

Bon travail

Feuille à rendre

Nom et prénom : ………..

Figure 1 : (Exercice n°1)

Figure 2 : (Exercice n°4)