PROBL`EME1 MATH´EMATIQUES CONCOURSG2E SESSION2013

SESSION 2013

CONCOURS G2E

MATH´ EMATIQUES

Dur´ ee : 4 heures

Les calculatrices sont interdites pour cette ´ epreuve.

L’usage de tout ouvrage de r´ ef´ erence et de tout document est strictement interdit.

Si, au cours de l’´ epreuve, le candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il en fait mention dans sa copie et poursuit sa composition. Dans ce cas, il indique clairement la raison des initiatives qu’il est amen´ e ` a prendre.

Les candidats doivent respecter les notations de l’´ enonc´ e et pr´ eciser, dans chaque cas, la num´ erotation de la question pos´ ee.

Une grande attention sera apport´ ee ` a la clart´ e de la r´ edaction et ` a la pr´ esentation des diff´ erents sch´ emas.

Les deux probl` emes sont ind´ ependants.

PROBL` EME 1

On ´ etudie dans ce probl` eme quelques propri´ et´ es d’une variable al´ eatoire suivant une loi obtenue

`

a partir de la fonction Arctan (partie A). On s’int´ eresse ensuite ` a des fonctions obtenues ` a l’aide de matrices de taille 2. Enfin, dans la partie C, on utilise trois fonctions d´ efinies dans la partie B qui donnent des variables al´ eatoires suivant la loi ´ etudi´ ee dans la partie A.

Partie A : Une densit´ e de probabilit´ e

1. Rappeler les limites de la fonction Arctan aux bornes de son ensemble de d´ efinition. Donner sa d´ eriv´ ee et pr´ eciser son sens de variation.

Il n’est pas demand´ e de justifier les r´ esultats ´ enonc´ es (dans cette question uniquement).

2. En ´ etudiant les variations de x 7→ Arctan x + Arctan ¹ _x , d´ emontrer que :

∀x ∈ R ^∗ + , Arctan x + Arctan 1 x = π

2 et :

∀x ∈ R ^∗ − , Arctan x + Arctan 1 x = − π

2 On rappelle que Arctan ^π ₄ = 1.

3. Soient m ∈ R et la fonction f d´ efinie sur R par : f (x) = 1

1 + x ²

a. D´ emontrer que mf est une densit´ e de probabilit´ e si et seulement si m = _π ¹ . b. On note dor´ enavant X une variable al´ eatoire de densit´ e de probabilit´ e _π ¹ f .

Pr´ eciser la fonction de r´ epartition de X et donner l’allure de sa courbe repr´ esentative.

c. D´ eterminer si X admet une esp´ erance, une variance.

d. Calculer la m´ ediane de X, son premier et son troisi` eme quartile.

On rappelle que la m´ ediane de X est le r´ eel x tel que P (X ≤ x) = ¹ ₂ , le premier quartile est le r´ eel x tel que P (X ≤ x) = ¹ ₄ et le troisi` eme quartile est le r´ eel x tel que P (X ≤ x) = ³ ₄ .

Partie B : Des matrices ` a coefficients complexes

On se place dans M ₂ ( C ) et on note M l’ensemble des matrices dont le coefficient en seconde ligne et premi` ere colonne n’est pas nul. Soit A une telle matrice :

A = Ç a b

c d å

avec (a, b, c, d) ∈ C ⁴ et c 6= 0

A toute matrice ` A ∈ M on associe la fonction de variable z ∈ C d´ efinie par :

ϕ A (z) = az + b cz + d

1. a. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition D _ϕ

de la fonction ϕ A . b. D´ emontrer que si bc = ad alors ϕ A est une fonction constante.

c. D´ emontrer que si bc 6= ad alors ϕ A est une bijection de D _ϕ

dans C \ ^a _c et d´ emontrer qu’il existe une matrice A ⁰ ∈ M telle que :

ϕ ⁻¹ _A = ϕ _A

d. ´ Etablir enfin que si bc 6= ad alors A est inversible et : A ⁻¹ = 1

bc − ad A ⁰ 2. Soient A 1 et A 2 deux ´ el´ ements de M tels que A 1 A 2 ∈ M :

A ₁ =

Ç a 1 b 1

c ₁ d ₁ å

A ₂ =

Ç a 2 b 2

c ₂ d ₂ å

avec c ₁ 6= 0 et c ₂ 6= 0

a. Calculer A ₁ A ₂ .

b. D´ eterminer ϕ _A

◦ ϕ _A

. Que peut-on en d´ eduire ?

On ne s’int´ eressera pas, dans cette question, aux ensembles de d´ efinition des fonctions mises en jeu.

3. On suppose dans cette question que A ∈ M et que ses coefficients sont r´ eels et v´ erifient bc 6= ad.

a. D´ emontrer que si (x, y) ∈ C ² est un vecteur propre de A alors y 6= 0.

b. D´ emontrer que (x, y) ∈ C × C ^∗ est un vecteur propre de A si et seulement si ϕ _A ^{Ä x} _y ^ä = ^x _y . c. En d´ eduire que :

(a − d) ² + 4bc 6= 0 ⇒ A diagonalisable.

d. ´ Etudier la r´ eciproque de la propri´ et´ e pr´ ec´ edente.

4. Soient les trois ´ el´ ements de M suivants : B =

Ç −i i 1 0

å C =

Ç 0 1 1 0 å

D =

Ç 1 1

−1 1 å

a. B est-elle inversible ? Quelle est son inverse ? b. Calculer C ² et en d´ eduire le rang de C.

c. D´ eterminer ´ egalement C ⁻¹ et C ⁿ pour tout n ∈ N .

d. D´ eterminer une matrice diagonale ∆ et une matrice inversible P telle que D = P ∆ P ⁻¹ . Calculer P ⁻¹ .

e. D´ eterminer D ^p pour tout p ∈ N.

Partie C : Des variables al´ eatoires

On se place dans le plan complexe muni d’un rep` ere orthonormal direct (O; #» u , #» v ). Soit θ ∈ − ^π ₂ , ^π ₂ et M le point d’affixe z M = e ^iθ . Ω d´ esigne le point d’affixe ¹ ₂ et C est le cercle de centre Ω et de rayon

1

2 priv´ e du point O. La droite (OM ) coupe C en N d’affixe z _N . 1. a. Calculer ON et en d´ eduire que z _N = cos θe ^iθ .

b. D´ emontrer que ϕ _B (z _N ) = tan θ puis calculer (ϕ _C ◦ ϕ _B ) (z _N ) pour tout θ ∈ − ^π ₂ , ^π ₂ \{0} et (ϕ _D ◦ ϕ _B ) (z _N ) pour tout θ ∈ − ^π ₂ , ^π ₂ \ ^π ₄ (les matrices B, C et D ´ etant d´ efinies dans la partie B).

2. On consid` ere dor´ enavant que θ suit une loi uniforme sur − ^π ₂ , ^π ₂ et on note T la variable al´ eatoire repr´ esentant ϕ B (z N ).

a. D´ emontrer que T suit la mˆ eme loi que X (cf. partie A).

b. D´ emontrer qu’il en est de mˆ eme pour la variable al´ eatoire repr´ esentant (ϕ _C ◦ ϕ _B ) (z _N ).

3. Dans cette derni` ere question, on consid` ere S la variable al´ eatoire repr´ esentant (ϕ D ◦ ϕ B ) (z N ).

a. D´ eterminer la fonction de r´ epartition de S. S est-elle une variable al´ eatoire ` a densit´ e ? Si oui, pr´ eciser une densit´ e.

b. Que peut-on dire de S et T ?

4. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que, quels que soient les entiers naturels n et p, la variable al´ eatoire repr´ esentant (ϕ _D

◦ ϕ _C

◦ ϕ _B ) (z _N ) suit la mˆ eme loi que X.

PROBL` EME 2

Ce probl` eme est consacr´ e ` a l’´ etude d’une fonction f , solution d’une ´ equation diff´ erentielle (partie A) dont on d´ etermine les coefficients du d´ eveloppement limit´ e en 0 dans la partie B. La partie C est relative ` a l’´ etude d’une variable al´ eatoire discr` ete dans un cas ´ el´ ementaire, cette ´ etude ´ etant g´ en´ eralis´ ee dans la partie D.

Partie A : Une fonction

1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle (E) suivante ` a r´ esoudre sur l’intervalle ] − ∞, 1[ :

y + (x − 1)y ⁰ = e ^−x (E)

a. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle homog` ene associ´ ee ` a (E).

b. R´ esoudre (E).

2. On consid` ere la fonction f d´ efinie par :

∀x ∈] − ∞, 1[, f (x) = 1 e ^x (1 − x)

a. D´ emontrer que f est l’unique solution de (E) satisfaisant ` a la condition initiale y(0) = 1.

b. ´ Etudier les variations de f et ses limites en −∞ et 1.

3. Donner, en justifiant, le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre de 2 de f (x) au voisinage de 0.

Partie B : Une suite

f d´ esigne toujours la fonction d´ efinie dans la partie A. Pour tout n ∈ N , on note d _n le coefficient de x ⁿ dans le d´ eveloppement limit´ e de f (x) au voisinage de 0 ` a l’ordre n.

1. a. Justifier l’existence de d n pour tout n ∈ N .

b. Exprimer d _n en fonction de f ⁽ⁿ⁾ (0) et pr´ eciser d ₀ , d ₁ et d ₂ . 2. a. En d´ erivant n fois l’´ equation (E), d´ emontrer que :

∀n ∈ N , ∀x ∈] − ∞, 1[, (n + 1)f ⁽ⁿ⁾ (x) + (x − 1)f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = (−1) ⁿ e ^−x On utilisera la formule donnant la d´ eriv´ ee n-i` eme d’un produit.

b. En d´ eduire que :

∀n ∈ N , d n+1 = d n + (−1) ⁿ⁺¹ (n + 1)!

Partie C : Trois chapeaux

Trois personnes sont invit´ ees ` a une soir´ ee, chacune de ces personnes arrivant avec un chapeau. Mais ces chapeaux sont redistribu´ es de fa¸con al´ eatoire ` a la fin de la soir´ ee, de sorte que chaque invit´ e repart avec exactement un chapeau. On consid` ere la variable al´ eatoire X qui ` a chacune de ces redistributions de chapeaux associe le nombre k d’invit´ es ayant retrouv´ e leur propre chapeau.

1. a. Quel est l’univers de cette exp´ erience al´ eatoire ? Quel est le cardinal de cet univers ? b. ´ Ecrire les permutations de {1, 2, 3}.

c. D´ eterminer la loi de probabilit´ e de X.

2. a. Calculer l’esp´ erance de X.

b. Calculer sa variance.

Partie D : n chapeaux

Soit n ∈ N ^∗ . On g´ en´ eralise le probl` eme de la partie C en consid´ erant n personnes invit´ ees ` a une

soir´ ee. Chacune de ces personnes arrive avec un chapeau et ces chapeaux sont redistribu´ es de fa¸ con

al´ eatoire ` a la fin de la soir´ ee, de sorte que chaque invit´ e repart avec exactement un chapeau. On note

X _n la variable al´ eatoire qui d´ esigne le nombre k d’invit´ es ayant retrouv´ e leur propre chapeau. Enfin

on note p n = P(X n = 0).

1. a. Justifier que p ₁ = 0, p ₂ = ¹ ₂ et p ₃ = ¹ ₃ b. D´ eterminer p ₄ .

2. Dor´ enavant, on pose par convention p ₀ = 1.

a. D´ emontrer que :

∀n ∈ N ^∗ , ∀k ∈ J 0, n K , P (X n = k) = p n−k

k!

b. En d´ eduire que :

∀n ∈ N,

n

X

k=0

p n−k

k! = 1

c. En d´ eduire enfin que (p _n ) est caract´ eris´ ee par :



 

 

p ₀ = 1

∀n ∈ N, p n+1 = 1 −

n+1

X

k=1

p _n+1−k k!

3. a. D´ emontrer que l’esp´ erance de X n est ´ egale ` a 1 et interpr´ eter ce r´ esultat.

b. Calculer la variance de X n .

4. On consid` ere ` a nouveau la suite d´ efinie dans la partie B et on rappelle que celle-ci est caract´ eris´ ee par :



 

 

d 0 = 1

∀n ∈ N, d n+1 = d n + (−1) ⁿ⁺¹ (n + 1)!

a. D´ emontrer que :

∀n ∈ N ^∗ ,

n

X

k=0

(−1) ^n−k Ç n

k å

= 0

b. D´ emontrer par r´ ecurrence sur n que :

∀n ∈ N ,

n

X

k=0

d n−k

k! = 1

c. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que :

∀n ∈ N , p _n = d _n

5. a. D´ emontrer par r´ ecurrence que :

∀n ∈ N , p _n =

n

X

k=0

(−1) ^k k!

b. En d´ eduire que (p _n ) converge, donner sa limite et interpr´ eter ce r´ esultat.