Analyse M1 ENSM Ch. Menini

Analyse M1 ENSM Ch. Menini

Examen - jeudi 2 mai 2013

Dur´ ee 4h - Documents non autoris´ es. Calculatrice autoris´ ee.

Exercice

On note C([0, 1]) l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] et ` a valeurs r´ eelles. On note kf k _∞ = sup _[0,1] |f|, on rappelle que k · k ∞ est une norme sur C([0, 1]). On d´ efinit sur C([0, 1]) les applications T et T n (n ∈ N ^∗ ) par

T (f ) = Z 1

0

f (t) dt, T n (f ) = 1 n

n

X

k=1

f ( k n ).

1-a. Soit f une fonction continue sur [0, 1] arbitraire donn´ ee, justifier que

∀ε > 0 ∃η > 0 : ∀(x, y) ∈ [0, 1] ² |x − y| < η ⇒ |f (x) − f(y)| < . 1-b. D´ emontrer que la suite (T _n (f )) _n converge vers T (f ).

2. Justifier rapidement que pour tout entier non nul n, les applications T n et T sont lin´ eaires sur C([0, 1]).

Rappel : si L est une forme lin´ eaire continue sur C([0, 1]), on note kLk := sup

kfk

=1

(|L(f)|).

3-a. Montrer que pour tout entier non nul n, T _n est continue et kT _n k = 1.

3-b. Montrer que T est continue et kT k = 1.

4-a. Pour n entier naturel non nul, on note f n la fonction d´ efinie sur [0, 1] par f n (t) = cos(2πnt). Calculer T _n (f _n ) et T (f _n ).

4-b. Que peut-on en d´ eduire pour kT _n − T k ? Probl` eme 1 - Suite de Fibonacci

Pr´ eliminaire

1-a. R´ esoudre l’´ equation x ² − x − 1 = 0.

On notera φ la solution positive et ψ la solution n´ egative de cette ´ equation.

1-b. Justifier que φ = 1 + 1

φ , ψ = 1 + 1

ψ et que φ = − 1 ψ .

Ce probl` eme est autour de la suite de Fibonacci (F n ) d´ efinie par F 0 = 1 et F 1 = 1

∀n ∈ N F _n+2 = F _n+1 + F _n

2-a. Sans d´ eterminer son expression g´ en´ erale montrer que la suite (F _n ) est croissante.

2-b. Toujours sans d´ eterminer son expression g´ en´ erale, montrer que lim n→+∞ F n = +∞.

Partie I - Expression de F n en fonction de n

1-a. Sans les calculer justifier qu’il existe deux r´ eels uniques a et b tels que F 0 = aφ ⁰ + bψ ⁰ = a + b

F 1 = aφ ¹ + bψ ¹ = aφ + bψ

1-b. Montrer que a = φ

√ 5 et b = − ψ

√ 5 .

2. En d´ eduire que pour tout n ∈ N, F n = 1

√

5 (φ ⁿ⁺¹ − ψ ⁿ⁺¹ ).

On va demander de traiter les parties suivantes sans les r´ esultats de la partie I, lorsque ceux-ci seront n´ ecessaires alors ce sera indiqu´ e explicitement.

Partie II - Une suite convergeant vers φ

On suppose que seuls les r´ esultats de la partie pr´ eliminaire sont connus.

Soit (u _n ) la suite d´ efinie par u _n = F _n+1 F n

pour tout entier n.

1

1. Montrer que pour tout entier n, u n+1 = 1 + 1 u n

. 2. Soit f : [1, 2] → R d´ efinie par f (x) = 1 + 1

x . 2-a. Justifier que f ([1, 2]) ⊂ [ ³ ₂ , 2].

2-b. D´ eterminer k = sup{|f ⁰ (x)| | x ∈ [ ³ ₂ , 2]}.

3. Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , u n ∈ [ ³ ₂ , 2].

4. Montrer que pour tout entier n, |u _n − φ| ≤ k ⁿ .

5. En d´ eduire que la suite (u n ) converge et d´ eterminer sa limite.

6. Retrouver le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente en utilisant l’expression de F n trouv´ ee dans la partie I.

Partie III - φ comme somme d’une s´ erie

A nouveau on ne suppose pas connus les r´ esultats de la partie I.

On consid` ere la s´ erie de terme g´ en´ eral (−1) ^k F k F k+1

et on note S _n = P n k=0

(−1) ^k F k F k+1

la somme partielle de cette s´ erie.

1. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral (−1) ^k

F _k F _k+1 converge.

2-a. Montrer que pour tout entier k on a F _k+2 ² − F k+1 F k+3 = F k F k+2 − F _k+1 ² . 2-b. En d´ eduire que pour tout entier k on a F _k+1 ² − F _k F _k+2 = (−1) ^k+1 . 2-c. Conclure que pour tout entier k on a (−1) ^k

F k F k+1

= u k+1 − u k , o` u u k est le terme g´ en´ eral de la suite d´ efinie dans la partie II.

3. En utilisant les r´ esultats de la partie II, montrer que l’on retrouve que la s´ erie de terme g´ en´ eral (−1) ^k F k F k+1

converge et que de plus

φ = 1 +

+∞

X

k=0

(−1) ^k F k F k+1

.

Partie IV - S´ erie g´ en´ eratrice On consid` ere la s´ erie enti` ere

+∞

P

n=0

F n x ⁿ .

1. Calculer le rayon de convergence de cette s´ erie.

2-a. Pour x r´ eel, |x| < 1

φ on pose f(x) =

+∞

P

n=0

F n x ⁿ . Montrer que f (x) = 1 + x + x ² f(x) + x (f (x) − 1).

2-b. En d´ eduire que pour x r´ eel, |x| < 1 φ on a

f (x) = − 1 x ² + x − 1 .

3. Expliquer comment ` a partir de cette ´ egalit´ e on peut retrouver l’expression de F n en fonction de n.

Partie V - S´ erie g´ en´ eratrice exponentielle On consid` ere la s´ erie enti` ere

+∞

P

n=0

F _n n! x ⁿ .

1. Calculer le rayon de convergence de cette s´ erie.

2-a. Pour tout r´ eel x, on pose g(x) =

+∞

P

n=0

F _n

n! x ⁿ . Montrer que g est l’unique solution de l’´ equation diff´ erentielle

y ⁰⁰ − y ⁰ − y = 0 y(0) = 1, y ⁰ (0) = 1

2-b. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle pr´ ec´ edente et en d´ eduire que pour tout r´ eel x on a

g(x) = 1

φ − ψ (φe ^φx − ψe ^ψx ).

3. Expliquer ` a nouveau comment ` a partir de cette ´ egalit´ e on peut retrouver l’expression de F n en fonction de n.

2

Probl` eme 2 - Transform´ ee de Laplace Lorsque cela a un sens, on note L(f )(r) = R +∞

0 f(t)e ^−rt dt.

On note F l’ensemble des fonctions f, continues sur R + et telles que

∃r ∈ R : Z +∞

0

|f (t)|e ^−rt dt converge.

1. Montrer que si R +∞

0 |f(t)|e ^−r

^t dt converge alors

∀r ≥ r 0

Z +∞

0

|f (t)|e ^−rt dt converge.

On note I _f l’ensemble des r´ eels r tels que R +∞

0 |f (t)|e ^−rt dt converge. Ce qui pr´ ec` ede nous permet de dire que pour f dans F, I f est un intervalle du type ]α, +∞[ ou [α, +∞[ (avec α r´ eel ou α = −∞).

2-a. Soit f d´ efinie sur R + par f (t) = e ^at . Pour T r´ eel strictement positif et r r´ eel, calculer R T

0 f(t)e ^−rt dt.

2-b. En d´ eduire que I _f =]a, +∞[ et que de plus pour tout r de ]a, +∞[, L(f )(r) = _r−a ¹ .

3. Soit a un r´ eel, h un ´ el´ ement de F et g d´ efinie sur R + par g(t) = h(t)e ^at . Justifier bri` evement que g est dans F, I g = a + I h = {r + a | r ∈ I h } et que pour tout r de I g , L(g)(r) = L(h)(r − a).

4. Soit f n d´ efinie sur R + par f n (t) = t ⁿ avec n ∈ N , montrer que I _f

=]0, +∞[.

5 Donner un exemple de fonction f continue sur R + et telle que I _f = [0, +∞[. Le justifier.

6. Donner une fonction f continue et strictement positive sur R + telle que I f = R. Le justifier.

7. Soit f ∈ F et r ∈ I _f , on suppose de plus que f est C ¹ sur R + et que lim

t→+∞ f (t)e ^−rt = 0. Montrer qu’alors L(f ⁰ )(r) = −f (0) + rL(f )(r).

On pourra pour cela commencer par exprimer R T

0 f ⁰ (t)e ^−rt dt ` a l’aide d’une int´ egration par parties.

8-a. Soit f _n d´ efinie sur R + par f _n (t) = t ⁿ avec n ∈ N . Montrer que pour tout r de ]0, +∞[ et tout entier naturel n

(n + 1)L(f _n )(r) = rL(f _n+1 )(r).

8-b. En d´ eduire que pour tout r de ]0, +∞[ et tout entier naturel n, L(f _n )(r) = _r

^n! . On rappelle le r´ esultat suivant

Th´ eor` eme 0.1 (Continuit´ e d’une int´ egrale ` a param` etre) Soit h une fonction ` a valeurs r´ eelles ou complexes d´ efinie sur A × [0, +∞[ o` u A est une partie de R , on suppose que

1. pour tout t de [0, +∞[, l’application x 7→ h(x, t) est continue sur A, 2. pour tout x de A, l’application t 7→ h(x, t) est continue sur [0, +∞[,

3. il existe ϕ continue sur [0, +∞[, positive et int´ egrable sur [0, +∞[ telle que pour tout x de A, pour tout t de [0, +∞[, |h(x, t)| ≤ ϕ(t).

Alors pour tout x de A, h(x, ·) est int´ egrable sur [0, +∞[ et l’application

x 7→

Z +∞

0

h(x, t) dt

est continue sur A.

9-a. Soient f un ´ el´ ement de F et r 0 ∈ I f , d´ emontrer que L(f ) est continue sur [r 0 , +∞[.

9-b. En d´ eduire que L(f ) est continue sur I _f .

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