Analyse M1 MEEF Ch. Menini

Analyse M1 MEEF Ch. Menini

Devoir surveill´ e - jeudi 14 novembre 2013

Dur´ ee 1h - Documents non autoris´ es. Calculatrice autoris´ ee.

Question de cours

En rappelant les th´ eor` emes utilis´ es, justifier que la fonction tan r´ ealise une bijection de ] − ^π ₂ , ^π ₂ [ sur R et que sa bijection r´ eciproque, not´ ee arctan, est d´ erivable sur R et arctan ⁰ (x) = 1

1 + x ² pour tout r´ eel x.

Exercice 1

Le but de cet exercice est de calculer la valeur de

+∞

P

n=0 1 (n+1)3

. 1. Justifier que cette s´ erie converge.

2. Quel est le rayon de convergence R de la s´ erie enti` ere X

n≥0

x ⁿ⁺¹ (n + 1)3 ⁿ ? 3. On note F (x) = X

n≥0

x ⁿ⁺¹

(n + 1)3 ⁿ pour x ∈] − R, R[, justifier que F est d´ erivable sur ] − R, R[ et donner une expression de F ⁰ .

4. Montrer que pour tout x ∈] − R, R[, F ⁰ (x) = _3−x ³ . 5. Calculer F (0) puis F (x) pour tout x ∈] − R, R[.

6. En d´ eduire la valeur de

+∞

P

n=0 1 (n+1)3

. Exercice 2

1. Soit n un entier relatif, montrer que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee Z +∞

1

ln x x ⁿ dx converge si et seulement si n ≥ 2.

2. A l’aide d’une int´ egration par parties, calculer la valeur de cette int´ egrale pour n ≥ 2.

1