Justierque: 1 cosx+ cha= 1 sha e a e ix+ea − e −a e ix+e−a 2

Exerie 1

DévelopperensériedeFourierlafontionsuivante puisdéterminerlavaleurdelasommeindiquée.

∗f :R7−→Rtelleque:∀x∈R, f(x) = sup(0,sin(x))^{. Endéduire:}

+∞

X

n=1

1 4n²−1

Exerie 2

L'objetifdel'exerieestladéterminationdudéveloppementensériedeFourierde:

f :R−→R, x7−→ 1

cosx+ cha(a >0)^.

1. Justierque:

1

cosx+ cha= 1 sha

e

a

e

ix+^ea − ^e

−a

e ix+^e−a

2. En utilisantlesdéveloppementsensérieentière,ériref ^{ommesommed'unesérie}trigonométrique.

3. Lasérieobtenueest-ellelasériedeFourier?

Exerie 3

1. Citer lethéorèmedeonvergenedominéepourlessériesàtermesdesignesquelonques.

2. Montrerque:

Z ^+∞

0

e

−xcos(√ x)dx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!

(2n)!

Élémentsderéponse:

Ex1:

Lafontionest2π-périodique,ontinuesurRetdelasseC^{1 parmoreauxsur}R.LasériedeFourieronverge normalementversf ^surR.

∀x∈R,sup(0,sin(x)) = 1

π+sin(x) 2 − 2

π

+∞

X

n=1

1

4n²−1cos(2nx)

Grâeàf(0) = 0^,ona: 1 π −2

π

+∞

X

n=1

1

4n²−1 = 0⇔

+∞

X

n=1

1

4n²−1 = 1 2

Ex2:

1. C'est dualul.Ona

1

cosx+ cha = 1 sha

e

a

e ix

+^ea − ^e

−a

e ix

+^e−a

.

2. ∀x∈R, ^e

a

e

ix+^ea = 1 1 +^eix.^e−a =

+∞

X

n=0

(−1)^neinx.^e−na (|^eix−a|=^e−a<1)

Avelemême proédé, onprouveque : e

−a

e

ix+^e−a = ^e

−a.^e−ix 1 +^e−ix.^e−a =

+∞

X

n=1

(−1)^n−1e−inx.^e−na (|^e−ix−a|=

e

−a <1)

Grâeàlapremièrequestion,onendéduitque:

1

cosx+ cha= 1 sha

"+∞

X

n=1

2(−1)^ne−na

sha cos(nx)

#

3. Poursavoirs'ils'agitdelasériedeFourier,onalulelesoeients:f ^estpairedon∀n∈N, bn(f) = 0

et aⁿ(f) = 2 π

Z ^π

0

f(x) cos(nx)dx

⇔a^k(f) = 2 πsha

Z ^π

0

1 + 2

+∞

X

n=1

(−1)^ne−nacos(nx)

!

coskxdx

Comme la série de terme général fⁿ : x7−→ (−1)^ne−nacos(nx) cos(px) ^onvergenormalement, onpeut intégrertermeàtermeetonobtient:

a^k(f) = 2 πsha

Z ^π

0

cos(kx)dx+ 4 πsha

+∞

X

n=1

(−1)^ne−na Z ^π

0

cos(nx) cos(kx)dx

Lesdeuxintégralessontnullessaufpourn=k^,dona^k(f) = 2

πsha(−1)^ke−ka,∀k∈N

Lasérieobtenueau2.estbienlasériedeFourier.

Ex3: Lafontion f : x7−→ ^e−xcos(√x)^{est ontinue sur} I = [0; +∞[^{. De plus} |f(x)| 6^e−x, x7−→ ^{e−x est}

intégrablesurI= [0; +∞[^,donf ^{estintégrablesur}l'intervalleI^.

En utilisantledéveloppementensérieentièredecos^{àl'origine,ona:}

∀x∈I, f(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx^ne−x (2n)!

Onposefn(x) = (−1)ⁿx^ne−x

(2n)! ^.Comme lim

x→+∞x².x^ne−x= 0^,haquefn ^{est intégrablesur}I^.

IldemeurelealuldeJⁿ= Z ^+∞

0

x^ne−xdx^{.Parparties,il vient:}Jⁿ =nJn−1^{et don}Jⁿ=n!^.

Lasériedetermegénéral

Z ^+∞

0

|fn(x)|dx^{estonvergente ar} Z ^+∞

0

|fn(x)|dx6 1 n^2.

Lethéorèmes'appliqueetdon:

Z +∞

0

e

−xcos(√ x)dx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!

(2n)!