Justierque: 1 cosx+ cha= 1 sha e a e ix+ea − e −a e ix+e−a 2

Exerie 1

Résoudrel'équation diérentielle(E) : (2x+ 1)y^′′+ (4x−2)y^′−8y= 0 ^{sahantqu'elleadmetunesolutionde}

laformex7−→^eax.

Exerie 2

Résoudrelesystèmediérentielréel(H) :X^′=AX^oùA=





0 2 2

−1 2 2

−1 1 3





Exerie 3

L'objetifdel'exerieestladéterminationdudéveloppementensériedeFourierde:

f :R−→R, x7−→ 1

cosx+ cha(a >0)^.

1. Justierque:

1

cosx+ cha= 1 sha

e

a

e

ix+^ea − ^e

−a

e ix+^e−a

2. En utilisantlesdéveloppementsensérieentière,ériref ^{ommesommed'unesérie}trigonométrique.

3. Lasérieobtenueest-ellelasériedeFourierdef^?

Élémentsderéponse:

Ex1:

(E)^{vérielesonditionsduthéorèmede}Cauhy-Lipshitzlinéairesurhaun desintervalles I1 =

−∞;−1 2

etI2=

−1 2; +∞

.

En remplaçantdans (E)^,ontrouvequex7−→^{e−2x estsolutionsurhaun desdeux}intervalles I1 ^et I2^.Cette

solutionnes'annulepassurRdononappliquelehangementdefontioninonnue:y=z^e−2x.

Ona:y^{est solutionde}(E)^surI1⇔z^{estsolutionsurlemêmeintervallede}(E^′) : (2x+ 1)z^′′−(4x+ 6)z^′ = 0

Onaboutità:z^′=C(2x+ 1)^{2e2x puis}z=A(4x²+ 1)^e2x+B^.On"repasse"eny ^{et l'onobtient:}

Lessolutionsde(E)^{sontdelaforme}x7−→A1(4x²+ 1) +B1^e−2x

surI1 ^etx7−→A2(4x²+ 1) +B2^e−2x

surI2^.

Onpeutreherherunesolutionf ^{éventuellesur}R;laontinuitédef^en−1

2 ^imposeque2A1+^eB1= 2A2+^eB2^.

Si l'on suppose que ette ondition est réalisée, on onstate que la fontion f ^{est de lasse} C^{2 sur} R ave :

f

−1 2

= 2A1+^eB1^, f^′

−1 2

=−4A1−2^eB1 ^puisf^′′

−1 2

= 8A1+ 4^eB1^.

Remarque : L'ensembledes solutionssur Rest unespae vetorielde dimension3.Une base est parexemple

(u, v, w)^ave:u:x7−→4x²+ 1^,v:x7−→^e−2xet w(x) =

( 0 six <0

e(4x²+ 1)−2^e−2xsix>−1 2

Ex2:

Onalulelepolynmearatéristiqueetl'ontrouve:χA(X) =−(X−1)(X−2)²

OnformelamatrieA−2I=





−2 2 2

−1 0 2

−1 1 1



^{,elleestderang2don}ker(A−2I) = 16= 2^,donlamatrieA

n'estpasdiagonalisablemaiselleest trigonalisable.

Ontrouveker(A−2I) = vect{(2,1,1)}^etker(A−I) = vect{(2,0,1)}^.

On pose v1 = (2,0,1) ^et v2 = (2,1,1)^{. On herhe une base} (v1, v2, v3) ^de R³ dans laquelle la matrie de l'endomorphismeu^{assoié à}A^est T=





1 0 0 0 2 1 0 0 2



^.

v3 ^doitvérieru(v3) =v2+ 2v3⇔(u−2id)(v3) =v2^{.Onrésoutdonlesystème}(A−2I)X =v2 ^etonhoisit

l'une dessolutionsvériantlesonditionspréédentes.

(A−2I)X =v2⇔







−2x+ 2y+ 2z= 2

−x+ 2z= 1

−x+y+z= 1

v3= (−1,0,0)^onvient.

Lamatriedepassagede(e1, e2, e3)^à(v1, v2, v3)^estP =





2 2 −1 0 1 0 1 1 0



^.OnaT =P⁻¹AP^.

LehangementdefontioninonnuedéniparX=P Y ^{aboutitausystème} Y^′ =T Y ⇔







y^′1=y1

y^′₂= 2y2+y3

y^′₃= 2y3

On en déduit







y1=a^et

y2=b^e2t+ct^e2t y3=c^e2t

(En eet onherhe une solutionpartiulière de y2^′ −2y2 = c^{e2t sous la}

formey=c(kt+l)^e2t).

AveX =P Y^{, ontrouvelessolutions:}







x1= 2a^et+ (2b−c+ 2ct)^e2t x2= (b+ct)^e2t

y3=a^et+ (b+ct)^e2t

Ex3:

1. C'est dualul.Ona

1

cosx+ cha = 1 sha

e

a

e

ix+^ea − ^e

−a

e

ix+^e−a

.

2. ∀x∈R, ^e

a

e

ix+^ea = 1 1 +^eix.^e−a =

+∞

X

n=0

(−1)^neinx.^e−na (|^eix−a|=^e−a<1)

Avelemême proédé, onprouveque : e

−a

e

ix+^e−a = ^e

−a.^e−ix 1 +^e−ix.^e−a =

+∞

X

n=1

(−1)^n−1e−inx.^e−na (|^e−ix−a|=

e

−a <1)

Grâeàlapremièrequestion,onendéduitque:

1

cosx+ cha= 1 sha

"+∞

X

n=1

2(−1)^ne−na

sha cos(nx)

#

3. Poursavoirs'ils'agitdelasériedeFourier,onalulelesoeients:f ^estpairedon∀n∈N, bn(f) = 0

et an(f) = 2 π

Z ^π

0

f(x) cos(nx)dx

⇔ak(f) = 2 πsha

Z ^π

0

1 + 2

+∞

X

n=1

(−1)^ne−nacos(nx)

!

coskxdx

Comme la série de terme général fn : x7−→ (−1)^ne−nacos(nx) cos(px) ^onvergenormalement, onpeut intégrertermeàtermeetonobtient:

ak(f) = 2 πsha

Z ^π

0

cos(kx)dx+ 4 πsha

+∞

X

n=1

(−1)^ne−na Z ^π

0

cos(nx) cos(kx)dx

Lesdeuxintégralessontnullessaufpourn=k^,donak(f) = 2

πsha(−1)^ke−ka,∀k∈N

Lasérieobtenueau2.estbienlasériedeFourierdef^.