On note R= (O;~i;~j;~k) un repère orthonormal I Barycentre dans l’espace
Définition 1 : Pour tout ientier compris entre 1 etn,Ai est un point de l’espace etαi un nombre réel.
On considère {(A1, α1),(A2, α2), ...,(An, αn)} un système de points pondérés dont les coefficients vérifient : α1+α2+...+αn6= 0
Il existe un unique point Gtel que :
α1−−→GA1+α2−−→GA2+...+αn−−→GAn=−→0
G est appelé barycentre du système de points pondérés{(A1, α1),(A2, α2), ...,(An, αn)}.
Conséquence :
Pour tout pointM de l’espace,α1−−−→M A1+α2−−−→M A2+...+αn−−−→M An= (α1+α2+...+αn)−−→M G
En particulier lorsque M =O, on obtient les coordonnées du barycentre dans le repère R.
Remarque 1 : Lorsque tous les coefficients αi sont égaux à un même réel non nul, on dit que Gest l’isobarycentre des pointsA1,A2, ... ,An.
L’isobarycentre deA etB est le milieu du segment [AB].
L’isobarycentre deA,B etC est le centre de gravité du triangleABC.
Caractérisation barycentrique des droites et des plans :
Théorème 1 :A etB sont deux points distincts de l’espace.
• La droite (AB) est l’ensemble de tous les barycentres deA etB.
• Le segment [AB] est l’ensemble de tous les barycentres de A et B affectés de coefficients de même signe.
Théorème 2 :A,B etC sont trois points non alignés de l’espace.
• Le plan (ABC) est l’ensemble de tous les barycentres des pointsA,B etC.
• L’intérieur du triangle ABC (côtés compris), est l’ensemble de tous les barycentres deA,B et C affectés de coefficients de même signe.
Associativité du barycentre :
La procédure suivante de modifie pas le barycentre d’un système de points pondérés :
• Regrouper certains d’entre eux dont la somme des coefficients est non nulle ;
• les remplacer par leur barycentreaffecté de la somme des coefficients ;
• Conserver les autres points inchangés.
Gbarycentre de {(A1, α1),(A2, α2),(A3, α3)}
α1+α2 6= 0et G1 barycentre de {(A1, α1),(A2, α2)} )
⇔Gbarycentre de {(G1, α1+α2),(A3, α3)}
II Produit scalaire dans l’espace
Définition 2 : On considère le repère orthonormal(O;~i;~j;~k) de l’espace.
Soient ~u
x y z
et~v
x′ y′ z′
deux vecteurs.
On appelle produit scalaire de~u et de~v le réel noté ~u.~v et défini par :
~
u.~v=xx′+yy′+zz′
Exemple 1 : Avec~u
1 2 3
et~v
2 3 6
Remarque 2 :
• Pour tout vecteur ~u, on a : ~u.~u=x2+y2+z2=||~u||2
• Si l’un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. Pour des vecteurs non nuls, on a la propriété suivante :
~
u . ~v = 0⇔~uet~vsont orthogonaux Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ?~u
−1 4
−2
et~v
2 1 1
Théorème 3 : Autres expressions du produit scalaire
∗ ~u . ~v=||~u|| × ||~v|| ×cos(~u, ~v)
∗ Lorsque~u6= 0 : ~u . ~v =~u . ~v′ où v~′ est le projeté orthogonal de~v sur la direction de~u.
Propriété 1 :
Soient~uet~vetw~ trois vecteurs de l’espace. Soitλun réel. On a les propriétés suivantes :
• ~u . ~v=~v . ~u
• (~u+~v). ~w= ~u . ~w+~v . ~wet (λ~u). ~v=λ ~u . ~v
• ~u .(~v+w) =~~ u . ~v+~u . ~w et~u .(λ~v) =λ ~u . ~v
III Droites et plans dans l’espace
(a) Cractérisation de l’orthogonalité de deux droites
Propriété 2 Deux droites de vecteurs directeurs~uet~vsont orthogonales⇔ ~u . ~v=0
(b) Cractérisation de l’orthogonalité d’une droite et d’un plan
P
~ u
bM b
N D
b
Propriété 3 :
D etP sont orthogonaux ⇔Pour tous pointsM etN de P et~uvecteur direc- teur deD, ~u .−−→M N = 0
P
~ u
v~′
~v b D
Propriété 4 :
Det P sont orthogonaux ⇔ Il existe un couple de vecteurs directeurs de P,
~
v etv~′, non colinéaires et ~u vecteur di- recteur deD, tels que ~u . ~v=~u . ~v′ = 0
EXERCICE 1 :
B C
F G
E H
A D
Démontrer que la grande diagonale (AG) est or- thogonale au plan (CF H).
(c) Équation cartésienne d’un plan
Définition 3 Un vecteur normal ~n à un plan P est un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à P
SoitA un point d’un planP. On a donc, pour tout pointM de P,−−→AM . ~n= 0. Réciproquement, si un point M vérifie−−→AM . ~n= 0, alors M est dans le planP.
0~j
~k
~i
b
−d c
b
A(xA, yA, zA) Plan P
Vecteur normal −→n
−
→n
a b c
Théorème 4 :
Dans le repère R= (O;~i;~j;~k), tout plan P admet une équation de la forme :
ax+by +cz+ d = 0 (avec a,b etc
non tous nuls) Le vecteur~n
a b c
est normal à ce plan.
EXERCICE 2 :
Donner une équation du planP passant parA(−2,1,3) et orthogonal à (BC) avec B(1,−2,2) et C(4,1,−1).
Théorème 5 :
∗ Deux plans P et Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Ce qui veut dire que deux vecteurs normaux non colinéaires (coordonnées non proportion- nelles) implique que les plans se coupent suivant une droite.
∗ Deux plans P et Q sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul).
EXERCICE 3 : Important → "technique" pour obtenir un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires.
On donne les équations cartésiennes de deux plans : P :x−4y+ 7 = 0 Q :x+ 2y−z+ 1 = 0
1. Montrer que ces deux plans sont sécants. on note dleur droite d’intersection.
2. Déterminer un vecteur directeur de la droite d.
(d) Équations paramétriques d’une droite
0~j
~k
~i
b
A(x0, y0, z0) Droite d Vecteur directeur−→u
−
→u
α β γ
Théorème 6 :
Le droite d passant par A(x0, y0, z0) et admettant le vecteur −→n comme vecteur directeur a pour système d’équations para- métriques :
x = x0 +tα
y = y0 +tβ t∈ R z = z0 +tγ
Une valeur du paramètre t donne un point de coordonnées (x, y, z) et réciproquement.
EXERCICE 4 :
Donner une représentation paramétrique ded droite de l’exercice 3.
(e) Intersections
De deux plans
i. Point de vue géométrique : Soient P etQ deux plans.
P etQ strictement parallèles P etQse coupent suivant une droite D. P et Qconfondus
ii. Point de vue algébrique: Dans un reprère orthonormal, on considère les équations cartésiennes des plansP etQ.
P :ax+by+cz+d= 0 et Q :a′x+b′y+c′z+d′ = 0
Étudier l’intersection des plans P etQ revient à résoudre le système : ( ax+by+cz+d= 0
a′x+b′y+c′z+d′ = 0
EXERCICE 5 : Important → "technique" pour déterminer une représentation paramétrique d’une droite définie par deux plans non parallèles.
Donner une représentation paramétrique de la droite définie par :
D’une droite et d’un plan
i. Point de vue géométrique : Soient P un plan etDune droite.
D est strictement parallèle à P P etD se coupent enA D. P contient D
ii. Point de vue algébrique : Dans un reprère orthonormal, P est défini par une équation carté- sienne etDpeut être définie par une représentation paramétrique ou un système d’équations cartésiennes. Pour étudier l’intersection de P et de D, on peut être amené à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues ou un système de trois équations à trois inconnues.
EXERCICE 6 :
Soit P : x+ 2y−z+ 2 = 0. Soit D la droite passant par A(2,1,−4) et de vecteur directeur
~u
2
−2 4
.
Le planP et la droiteDsont-ils sécants ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d’itersection.
(technique à retenir)
De trois plans
i. Point de vue géométrique :
Voir documentannexeen fin de leçon ou ICI :
http://www.michelimbert.fr/IMG/pdf/geodansespaceplans.pdf ii. Point de vue algébrique : Dans un reprère orthonormal,
on considère les plans P1 :a1x+b1y+c1z+d1 = 0 , P2 :a2x+b2y+c2z+d2 = 0 et P3:a3x+b3y+c3z+d3 = 0
Pour étudier l’intersection, on est amené à résooudre :
a1x+b1y+c1z+d1= 0 a2x+b2y+c2z+d2= 0 a3x+b3y+c3z+d3= 0 EXERCICE 7 :
Résoudre, si possible, les deux systèmes suivants :
2x−y+z= 7 2y−z+x= 6 2z−x+y= 11
puis
2x+ 3y−2z= 2 4x−3y+z= 4 2x+ 12y−7z= 2
(f) Distance d’un point à un plan
P
~ n
b H
b A(xA, yA, zA) P :ax+by+cz+d= 0
A(xA, yA, zA)
Le point H est le projeté orthogonal de A sur le plan P donc la distance du pointA au plan est la distanceAH.
On a : AH = |axA+byA+czA+d|
√a2+b2+c2
Le vecteur~n
a b c
est normal au planP. CommeH(xH, yH, zH) est le projeté orthogonal de Asur P, les vecteurs ~net−−→AH sont colinéaires donc il existe un réelt tel que−−→AH =t~n.
Calculons le produit scalaire −−→AH . ~n:
−−→AH . ~n=a(xH−xA) +b(yH−yA) +c(zH−zA) et commeH ∈ P,−−→AH . ~n=−(axA+byA+czA)
Et puisque~net −−→AH sont colinéaires, on a : |−−→AH . ~n|=AH× ||~n||
D’où AH= |axA√+byA+czA+d| a2+b2+c2
