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Submitted on 1 Jan 1964
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Niveaux d’énergie de 21ne
Masachiyo Sato
To cite this version:
Masachiyo Sato. Niveaux d’énergie de 21ne. Journal de Physique, 1964, 25 (11), pp.951-956.
�10.1051/jphys:019640025011095100�. �jpa-00205899�
951.
NIVEAUX D’ÉNERGIE DE 21Ne
Par MASACHIYO SATO,
Centre d’Études Nucléaires de Saclay, Gif-sur-Yvette, Seine-et-Oise (1),
Résumé. 2014 Les niveaux d’énergie faiblement excités de 21Ne ont été analysés par le modèle en couche dans le schéma de couplage jj nucléaire en utilisant les fonctions d’ondes de l’oscillateur harmonique et l’interaction de Gauss avec le caractère d’échange de Rosenfeld. D’abord, les niveaux d’énergie de la configuration pure
(5/2)5
ont été calculés par la méthode de coefficients des parentagesfractionnels. On propose une série de principes pour le choix des configurations, dont il faut tenir
compte pour l’analyse des niveaux faiblement excités des noyaux dans les couches d-s. Les matrices
niveaux faiblement excités.
Abstract. 2014 Lower levels of 21Ne have been analysed in the nuclear jj-coupling shell model, using
harmonic oscillator wave fonctions and central Gaussian interaction with the exchange character of
Rosenfeld. Energy levels of the pure configuration (5/2)5 have been examined at first, by the
method of the coefficients of fractional parentages. A set of principles has been presented with the
purpose of selectiug the configurations which should be taken into account for the analysis of lower
levels of nuclei in d-s shells, and energy matrices for three selected configurations : (5/2)2(1/2)3,
(5/2)
(3/2)(1/2)3
and(1/2)3(3/2)2 have
been constructed and diagonalized. The results give correctlythe anomalous spin 3/2 of the ground state and agree with experimental data for excited levels.
d’énergie ont été construites et diagonalisées pour trois
configurations : (5/2)2 (1/2)3, (5/2) (3/2) (1/2)3
et
(1/2)3 (3/2)2.
Les résultats donnent correctement le spin anomal de l’état fondamental et lesPHYSIQUE 25, 1964,
1. Introduction. - Des etudes th6oriques a
1’aide du mod6le en couche de la structure des noyaux de la couche s-d (de 170 a 19F) ont 6t6
faites avec succ6s par Elliott et Flowers [1] en couplage L-S et aussi par Redlich [2] en cou- plage jj. Ils ont tenu compte de toutes les confi-
gurations possibles d’llt-z SZ (o __ x __ n) dans les
couches d6g6n6r6es (d-s), mais apres 2°Ne, les
6tats provenant de ces configurations deviennent
si nombreux qu’il est pratiquement impossible
de pousser cette m6thode plus loin.
L’autre analyse a ete faite par Rakavy [3] avec
le mod6le de Nilsson [4] pour les noyaux jusqu’a
A = 25, et il a r6ussi a expliquer leurs propri6t6s
fondamentales dans les niveaux faiblement excites.
De plus, Elliott [5] a trouve la relation fondamen- tale entre ces deux modeles en tenant compte du
schema de couplage associ6 avec le groupe uni- taire a trois dimensions SU(3) dans l’espace des configurations m6lang6es (s-d). Ce schema de
couplage SU(3) a ete adopt6 afin de mettre en 6vi-
dence le caract6re rotationnel des 6tats obtenus
sous forme d’un m6lange de configurations. Mais
sa th6orie ne consid6re que 1’ensemble des nucleons de meme esp6ce et il reste encore des probl6mes à
r6soudre pour comprendre la relation entre le modele en couche, contenant le spin isotopique, et
le modele non-sphérique, dans le domaine consid6r6.
Dans le. mod6le en couche, le m6lange de confi- gurations joue un role important pour que les 6tats (1) Adresse actuelle : Laboratoire de Physique Mathema- tique, Faculte de Technologie, Universite Nationale de
Yokohama, Ohokamachi, Minamiku, Yokohama, Japon.
obtenus soient compatibles avec le nouveau sch6-
ma SU(3). Ce m6lange provient de l’interaction residuelle entre les nucleons ext6rieurs au cceur 160.
Si l’on remarque la similitude [6] entre la fonction
d’onde de 19F obtenue par Elliott-Flowers et celle du modele non-sphérique, on peut constater que le
potentiel adopt6 par eux, (potentiel central de Yukawa et m6lange des forces d’echange de Rosen- feld), est capable de tenir le role que nous avons decrit plus haut.
Parmi les deux propri6t6s de l’interaction resi-
duelle, dependance radiale et caract6re d’6ehange,
la première peut etre representee par n’importe quel potentiel a condition que les param6tres
soient convenablement choisis. Done, le role en question pourra etre aussi partiellement attribue
au caract6re d’echange de la force adoptee.
Comme nous le verrons plus loin, l’interaction centrale poss6dant le caract6re d’6change de
Rosenfeld donne une interaction plus forte, pour
une paire de nucleons non-equivalents (2) (jj’), compar6e a l’interaction pour une paire de nucleons equivalents (2) (j2). Donc, dans les couches dege-
nerees (s-d), on pourra supposer que les configu-
rations qui contribuent aux niveaux proches du
niveau fondamental sont celles qui comprennent
des paires de nucleons non-equivalents aussi nom-
breux que possible. Ce fait pourra, au contraire,
etre utilise dans le but de choisir les configurations
dont il faut tenir compte pour l’analyse des ni-
(2) Nous appelons « nucleons equivalents )) des nucleons
occupant le meme orbite, et « nucleons non-équivalents »
des nucleons occupant des orbites diff6rents.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025011095100
952
veaux faiblement excites dans le cadre du modele
en couche.
Si Fon admet cette consideration, les propri6t6s
des 6tats faiblement excites dans les couches (s d) pourront etre expliqu6es par ]a m6thode du m6-
lange des configurations convenablement choisies,
en 6vitant de faire le m6lange de toutes les confi- gurations possibles. On pourra ainsi obtenir appro- ximativement des 6tats rotationnels compatibles
avec Ie schema de couplage SU(3).
Dans cet article, nous 6tudions la possibilite,
en relation avec le caractere d’echange de l’inter- action r6siduelle, de faire un choix restreint de
configurations pour analyser des niveaux faible- ment excites. On calcule, en particulier, les niveaux faiblement excites de 2lNe dont le spin de 1’etat
fondamental est anomal.
Dans le paragraphe 2, on suppose que le noyau 2lNe est decrit par ]a configuration (5/2)5.
Les niveaux d’energie dans la configuration (5/2)5
pure sont calcules pour les 6tats de la sym6trie
orbitale [221] par la m6thode des coefficients de
parentage fractionnel. Nous allons d6montrer dans le meme paragraphe, l’impossihilité d’obtenir
un spin anomal en partant de la configuration
pure.
Dans le paragraphe 3, les valeurs des elements
de matrice de l’interaction a deux corps sont cal- cu]6es et compar6es pour tous les 6tats provenants du couplage ( j j’), apr6s quoi nous d6duisons des
principes de selection des configurations pr6pon-
derantes. Ces principes seront appliqu6s, a titre d’exemple, a 2INe dans le paragraphe 4. Les ma-
trices d’energie seront construites pour les trois
configurations choisies : (5/2)2 (1/2)3, (5/2) (3/2) (1/2)3 et (1/2)3 (3/2)2. Apr6s la diagonalisation de
ces matrices, les valeurs propres de l’ énergie seront compar6es avec les donnees num6riques des exp6-
riences rassemblées par Ajzenberg-Selove et Lau-
ritsen [7].
2. Configuration (5/2)5. - 2lNe montre un exemple de noyaux ayant un spin anomal dans 1’etat fondamental, c’est-a-dire qu’il a un spin 3/2
au lieu de 5/2 pr6vu par le mod6le en couche pur.
2’Ne ayant deux protons et trois neutrons en
dehors de 160, on le traite tout d’abord comme
(5/2)5 dans le couplage ji nucleaire. Les fonctions d’onde anti-symetriques, ayant un moment angu- laire defini, peuvent etre construites en utilisant les coefficients de parentages f ractionnels (cpf) qui
sont donnes dans notre autre article [8]. Les valeurs
pe 1’energie des 6tats j" [X] (J) TJ peuvent 6tre
calculdes facilement par la formule suivante,
Dans le calcul, nous avons adopt6 comme fonc-
tion d’onde a un corps, celle de 1’oscillateur a trois
dimensions, r = R(r) Y’ 6 9), dont ]a partie
r
radiale est donnee par ;
ou Nnl est le facteur de normalisation et Vnl(r) est
le polynome associ6 de Laguerre. Pour l’interaction
residuelle, nous avons adopt6 celle de Gauss avec
le caract6re d’echange de Rosenfeld :
Les niveaux d’6nergie ainsi calcul6s sont pr6-
sent6s dans ]a figure 1 en fonction de X = rolao-
FIG. 1. - Niveaux d’énergie de (5/2)".
(Pour plus de clarte, ]a quantite E(j" J)/Vo),2 est port6e le long de 1’axe des ordonnees.) On peut
remarquer une similitude entre notre figure et
celle des niveaux (5/2)3 contenue dans l’article
953
-d’Edmonds et Flowers [9]. Cependant il n’existe
pas un parall6lisme parfait, parce que nous tenons
compte du spin isotopique, contrairement au cas
atomique. Pour A petit, le niveau (100) 5/2 est le plus bas, ainsi que prevu. Pour X tres grand, par
contre, c’est le niveau de spin maximum 13/2, qui pr6sente 1’energie la plus basse. Le niveau de spin
anomal 3/2 ne se trouve jamais le plus bas, bien
que le niveau (111) 3/2 atteigne le premier niveau
d’excitation pour X > 0,95.
Nous avons ainsi vérifié l’impossibilit6 d’obtenir
le spin anomal pour 1’etat fondamental en partant
de la configuration (5/2)5 pure avec une interaction de Gauss poss6dant le caract6re d’6change de
Rosenfeld. Remarquons que nous avons aussi examine ce probl6me pour le type d’echange,
riant les valeurs de a et b, mais nous avons tou-
jours rencontr6 la m6me difficult6.
3. Caraetdre d’6ehange et 6nergle d’interac-
tion a deux corps. - L’6nergie de la configura-
tion ji i’: est obtenue par la combinaison lin6aire suivante des 6]6ments de matrice de ]’interaction 4 deux corps,
ou a, b et c sont les coefficients provenants du changement de couplage du moment angulaire qui sont decrits par les cpf et par les symboles 2013 6/ ou -= 9j. Chacun des coefficients v6rifie la relation d’orthonormalisation .suivante :
L’influence de l’interaction residuelle ne se ma-
nifeste que par 1’energie d’interaction a deux corps.
L’op6rateur d’echange de Rosenfeld que nous avons
adopt6 dans l’interaction r6siduelle est exprim6
par 0 = 1 /3 (T1 T2) (0,3 +0,70’10’2)’ dont les valeurs pour chaque 6tat de couplage (d-s) sont les
suivants :
En examinant les valeurs ci-dessus, on peut f a-
cilement s’apercevoir que la force de Rosenfeld provoque une forte repulsion dans l’état l1L(im- pair) pour des nucleons equivalents, tandis qu’elle produit une forte attraction dans 1’etat 33L(pair)
pour des nucleons non-equivalents.
Les valeurs de 1’energie d’interaction a deux corps dans le schema de couplage ii, E( j 1 j 2 T J),
sont exprim6es par la combinaison lin6aire des valeurs obtenues dans le couplage LS, E(I-1, 12 TSL),
en utilisant les coefficients de transformation
(LS r jj). Par consequent, le caract6re sp6cifique
de l’operateur de Rosenfeld qu’on vient d’expliquer plus haut, apparait toujours dans 1’energie d’in-
teraction a deux corps E(j, i2 TJ). Sur les figures 2a-b, les valeurs de 1’energie d’interaction
FIG. 2a. - Rnergie d’interaction de deux nuel6ons non-equivalents.
a deux corps sont port6s en fonction de À. On peut
y voir clairement que 1’energie d’interaction de deux nucl6ons non-equivalents est pr6dominante compar6e a celle de nuc)6ons equivalents, sauf
dans des cas tels que : E((5/2)2, J = 5) et E(5/2, 3/2, T = 1, J).
954
FIG. 2b. - lJnergie d’interaction de deux nucleons non-equivalents.
Nous pouvons donc prevoir que : (I) les configu..
rations qui donnent une contribution importante aux
etats faiblement excitis des noyaux dans les couches
s-d, doivent comprendre des couplages de nucléons non-jquicalents aussi nombruex que possible.
Les valeurs de 1’energie de couplage de nucleons
equivalents : (1/2) 2, (3/2) 2 et (5/2) 2 sont repre-
sent6es sur ]a figure 3. Parmi ces trois configu- rations, on peut remarquer que le couplage (1/2)2
donne des valeurs de I’energie sup6rieures aux
autres (mais, encore, avec une exception E((5/2)2,
J = 5)), d’ou : (II) les configurations que nous
devons choisir doivent comprendre des nucléons dans le niveau 2s-1/2 en plus grand nombre que dans les autres niveaux d, en observant toujours le premier principe (I).
On doit tenir compte enfin de 1’eflet de la perte d’energie resultant de 1’excitation du nucl6on du niveau ld-5/2 au niveau 2s-1/2 ou bien 1d-3 j2. Les valeurs de 1’energie d’une particule
en dehors du coeur 160 sont donn6s par le spectre
de basse energie de 170. Les resultats experi-
mentaux nous montrent que. 2s-1/2 et ld-3/2
FIG. 3. - Energie d’interaction de deux nucleons equivalents.
sont situ6s plus haut que 1d-5/2, respectivement
de 0,871 MeV et 5,08 MeV. Quant au niveau 2s-1/2, la perte d’energie n’est jamais sup6rieure
a 1’augmentation d’énergie due a l’interaction à deux corps, contrairement a ce qui se passe pour
le niveau ld-3/2. Ce resultat depend de la valeur
de Vo. Nous pouvons donc pr6voir que : (III) les configurations pripondirantes mettront en jeu des
nuclions dans le niveau 1d-3 J2 aussi peu notiibreux que possible.
Nous sommes arrives ainsi a trois principes pour le choix des configurations prépondérantes
dans I’analyse des niveaux faiblement excites des noyaux de la couche s-d. Dans le paragraphe suivant, nous allons essayer d’appliquer ces prin- cipes au noyau 21Ne.
4. Niveaux d’energie faiblement excités de 2’Ne.
- En suivant ces principes, nous avons choisi trois configurations, (5/2)2 (1/2)3, (5 /2) (3/2) (1/2)3
et (3/2)2 (1/2)3, en vue d’analyser des niveaux fai-
blement excites de 2INe. Parmi les 6tats provenant
de ces configurations, nous avons exclu ceux
dans lesquels les particules 1d-5 /2 et 1d-3/2
avaient ete couplees dans 1’etat ayant fi = 1,
parce que les elements de matrice de l’interaction a deux corps sont negatif s dans ce cas comme on
955 le voit dans la figure 2b. Par consequent, les ma-
trices d’6nergie ont respectivement 5 dimensions
pour les etats J = 1/2 et 7/2, 6 dimensions pour les et ats J = 3/2 et 5/2, 3 dimensions pour les 6tats J = 9/2 et une ’dimension pour J = 11/2.
FIG. 4a. - E(J) - E(312) V 0 = 80 MeV.
FIG. 4b. - E(J) - E(3/2) Vo = 100 MeV.
En ce qui concerne Vo, nous avons consult6 le travail de Redlich [2] qui a utilise ]’interaction de Gauss pour l’analyse de 19F. 11 a estim6 Vo à 70,8 MeV par ]a m6thode variationnelle, mais il a
obtenu le meilleur resultat en augmentant arbi- trairement Vo a cV 4 avec c = 1,46. Donc, nous
avons adopt6 arbitrairement deux valeurs de Vo,
80 MeV et 100 MeV contenues dans l’intervalle des valeurs de Redlich.
Les matrices d’6nergie ont 6t6 construites et
diagonalisees pour les huit ensembles de valeurs des param6tres, pour chaque J. Les resultats sont donn6s sur la figure 4a (Vo == 80 MeV) et figure 4b (V,o = 100 MeV). Les courbes dans ces figures ont
ete trae6es en suivant les polyn6mes aig6briques
de degr6 3 dont les quatre coefficients avaient 6t6 determines en ajustant chacune de ces courbes
pour qu’elle passe par les quatre points calcul6s (correspondant,- aux valeurs de X : 0,6, 0,8, 1,0 et 1,2). Dans ces figures, la diff6rence
E(J) - E(3/2I) est port6e en ordonn6es et les
valeurs de À en abscisses. Entre les valeurs de Ã, 0,62 et Oi9l dans la figure 4a, le niveau 3/2t est
si1ué plus bas que les autres, c’est-à-dire qu’il
forme 1’6tat fondamental, d6montrant ainsi que Ie
spin de l’etat fondamental de 2-’Ne est anomal.
On peut remarquer la mame tendance dans la
figure 4b. En comparant ces deux figures 4a et 4b, on ne remarque pas de grande difT6rence. Par
consequent, la variation de Vo de 80 MeV a 100 MeV
n’exerce aucune influence sensible sur l’ordre rela- tif des niveaux d’energie. En examinant les deux -figures plus en detail, on peut trouver le meilleur
accord possible entre les niveaux calculés et ceux
FIG. 5. - Schema des niveaux.
956
obtenus exp£rimentalement aux environs de la
valeur de a = 0,90 dans la figure 4a, a condition
que le spin des troisième et einqui6me niveaux
d’excitation soit 7/2 (voir la figure 5).
Nos calculs montrent que les amplitudes des
fonctions d’onde sont tres sensibles aux variations du param6tre a. En consequence, on ne peut pas
interpoler entre les points calculés’ pour obtenir
une autre quantite telle que le moment magn6- tique. II faut calculer le plus grand nombre pos- sible de points dans l’intervalle des valeurs de À ou 1’6tat de spin 3/2 forme 1’6tat fondamental. Le calcul est actuellement 6tendu selon cette m6thode,
aux autres noyaux voisins du 2iNe. Des résuItats
plus détaiUés seront présentés ulterieurement.
5. Conclusion et discussion. - En se basant
sur le caractere d’echange de Rosenfeld que nous
avons adopt6 pour l’interaction residuelle entre les nucleons en dehors du cceur 160, nous avons
6tabli trois principes pour le choix des configu-
rations qui contribuent aux etats faiblement excites des noyaux de la couche s-d. En apparence, ces
principes sont en contradiction avec les principes
du mod6le en couche pur. Mais, pour obtenir des 6tats rotationnels en partant du mod6le en couche,
il est inevitable d’utiliser une m6thode qui d6passe l’hypothèse d’un mod6le en couche pur. N6anmoins,
notre deduction s’appuie sur 1’estimation de 1’6ner-
gie d’interaction a deux corps, exactement comme dans la th6orie initiale du mod6le en couche. Nous consid6rons 1’6nergie d’interaction a deux corps pour 1’ensemble des nucleons dans le formalisme du spin isotopique, tandis qu’ordinairement on
consid6re l’énergie d’interaction a deux corps sans tenir compte du spin isotopique.
En raison du caractere particulier de l’op6ra-
teur de Rosenfeld, donnant des valeurs distinctes
de 1’energie d’interaction a ddux corps, on a pu choisir les plus grandes parmi elles et limiter ainsi le nombre des configurations accessibles. Selon
nos résultats, il nous semble que l’op6rateur d’echange joue un grand role. Le role du carac-
t6re d’echange devra etre examine de façon plus approfondie pour 6tablir un rapport entre le mod6le
rotationnel et le mod6le en couche contenant le
spin isotopique.
Je tiens a exprimer ma profonde reconnais-
sance a MM. les professeurs T. Yamanouchi,
S. Sueoka et a T. Ishidzu pour leurs encourage- ments ainsi que pour de fructueux echanges de vue.
MM. H. Horie et A. Arima n’ont pas cesse, tout
au long de ce travail, de me faire b6n6ficier de leurs conseils et de nombreuses discussions. Je suis redevable 6 M. S. Ouchi, qui a bien voulu calculer la diagonalisation d’un grand nombre de matrices.
Manuscrit regu le 19 mars 1964.
BIBLIOGRAPHIE
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