Résolution du RCPSP avec production et consommation de ressources : modèles PLNE basés sur les événements

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de ressources : modèles PLNE basés sur les événements

Oumar Koné, Christian Artigues, Pierre Lopez, Marcel Mongeau

To cite this version:

Oumar Koné, Christian Artigues, Pierre Lopez, Marcel Mongeau. Résolution du RCPSP avec pro-

duction et consommation de ressources : modèles PLNE basés sur les événements. International

Conference of Modeling and Simulation ( MOSIM’10), May 2010, Hammamet, Tunisie. 10p. �hal-

00484259�

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8ê Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie

«Evaluation et optimisation des syst`emes innovants de production de biens et de services´ »

R´ ESOLUTION DU RCPSP AVEC PRODUCTION ET CONSOMMATION DE RESSOURCES : MOD` ELES PLNE

BAS´ ES SUR LES ´ EV´ ENEMENTS

Oumar KON´E^1,2,3, Christian ARTIGUES^1,2, Pierre LOPEZ^1,2 & Marcel MONGEAU^3,4

1CNRS ; LAAS ; 7 avenue du colonel Roche, F-31077 Toulouse, France

2 Universit´e de Toulouse ; UPS, INSA, INP, ISAE ; LAAS ; F-31077 Toulouse, France

3 Universit´e de Toulouse ; UPS, INSA, UT1, UTM ; Institut de Math´ematiques de Toulouse

4 CNRS ; Institut de Math´ematiques de Toulouse UMR 5219 ; F-31062 Toulouse, France

RÉSUMÉ : Cet article traite de l’extension du problème d’ordonnancement de projet à moyens limités qui prend en compte la consommation et la production de ressources. Nous proposons deux modèles basés sur l’utilisation de variables indicées par des événements. Puis, nous comparons leurs résultats à ceux de quelques modèles classiques de la littérature.

MOTS-CL´ES : Ordonnancement de projet, RCPSP, programmation lin´eaire en nombres entiers, mod-

èles à événements, formulation on/off.

INTRODUCTION

Le problème d’ordonnancement de projet à moyens limités (RCPSP : Resource-Constrained Project Scheduling Problem), est l’un des problèmes d’ordonnancement cumulatif les plus connus, du fait de l’intérêt que lui ont accordé les chercheurs du domaine de la recherche opérationnelle et de ses nombreuses applications industrielles. Dans cet article nous nous intéressons à l’extension du RCPSP qui, au-delà des ressources renouvelables, que nous considérons dans sa version basique, comporte

également des ressources pouvant être produites et consommées lors de l’exécution des activités. Cette extension est désignée par le terme RCPSP avec production et consommation de ressources.

Il existe dans la litt´erature des travaux se rapportant

à ce type de RCPSP avec production et consommation de ressources. Le problème d’ordonnancement de projet avec contraintes d’inventaire de stock et contraintes temporelles généralisées, incluant à la fois des ressources renouvelables et non renouvelables, a été formalisé par Neumann et Schwindt [19] en 2002. Ces auteurs proposent également un branch-and-bound avec un filtrage par une heuristique de recherche en faisceau, pour la résolution de ce problème. Car- lier et al. [11] traitent ce type de problème (RCPSP avec production et consommation de ressources) incluant des contraintes de “time-lag” généralisées, en proposant un nouvel algorithme dit de liste. Pour plus de détails sur l’état de l’art des travaux traitant

de ce type de problème, nous renvoyons le lecteur aux articles suivants [18, 8, 11]. Celui de Laborie [18] définit les bases du concept du RTN (“Resource Temporal Network”), offrant une grande puissance de modélisation et sert de support pour d’autres auteurs tels que Bouleyet al. [8].

Dans notre étude, après une description détaillée du RCPSP et l’extension que nous traitons dans cet article, nous présentons des extensions des modèles de programmation linéaire en nombres entiers pour le RCPSP basique, dont deux nouvelles formulations, que nous étendrons à la résolution du RCPSP avec production et consommation de ressources. Pour finir, nous présentons quelques résultats expérimen- taux.

1 D´EFINITION DU PROBL`EME

Formellement, le problème d’ordonnancement de projet sous contraintes de ressources (RCPSP) est un problème d’optimisation combinatoire défini par un 6-uplet (V, p, E, R, B, b), où V est un ensemble d’activités,pest un vecteur dedurées d’exécution,E est un ensemble derelations de précédences,Rest un ensemble deressources,Best un vecteur decapacités (disponibilités des ressources), etbest une matrice de demandes (consommations de ressource).

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1.1 Description du RCPSP basique

Soit n le nombre d’activités à ordonnancer, et m le nombre de ressources disponibles. Les activités constituant le projet sont identifiées par un ensemble {0, . . . , n+ 1}. L’activité 0 représente par convention le début de l’ordonnancement (début du projet), et l’activitén+1 quant à elle représente symétriquement la fin de l’ordonnancement (fin du projet). Toutes deux sont des activités fictives appelées égalementac- tivités jalons. L’ensemble des activités non-fictives est notéA={1, . . . , n}. Les durées d’exécution sont représentées par un vecteur p de Nⁿ⁺², où la iî`ême composante,pi, est la durée d’exécution de l’activité i, avec les valeurs spécialesp0=pn+1= 0, caractéris- tiques des deux activités fictives.

Lesrelations de précédences (représentées par exemple sur un graphe potentiels-tâches acyclique) sont données par un ensemble E de paires d’indices d’activités telles que (i, j)∈E signifie que l’activité i précède l’activitéj.

On parle deressource cumulativesi la ressource peut être utilisée au même moment par plusieurs activi- tés lors de leur exécution. Dans le cas contraire, on parle de ressource disjonctive. Une ressource est dite renouvelable si elle redevient disponible dans sa quantité initiale, une fois libérée par les activités.

Dans sa version basique, le RCPSP met en jeu des ressources renouvelables formalisées par l’ensemble R ={1, . . . , m}. Les disponibilités des ressources renouvelables sont représentées par un vecteurBdeN^m tel queBk indique la capacité de la ressource renouvelable k. Les consommations des activitéspour les ressources renouvelables figurent dans la matriceb, de taille (n+ 2)×m, dont la composantebik représente la quantité de ressource renouvelable k utilisée par l’activité i sur toute sa durée d’exécution. On pose b0k=bn+1,k= 0, pour toutk∈R.

Un ordonnancementest un point S de Rⁿ⁺² tel que sa i^`ême composante, Si, représente la date de début de l’activitéi. La date de démarrage est S0= 0. Le makespan d’un ordonnancement S est égal à Sn+1, la date de début de l’activité de fin de projet. Une solution S est dite réalisable si elle est compatible avec les contraintes de précédences

Sj−Si≥pi ∀(i, j)∈E, (1) et les contraintes de ressources

!

i∈At

bik≤Bk ∀k∈R,∀t∈H, (2)

où At = {i ∈ A |Si ≤ t < Si + pi} représente l’ensemble des activités non-fictives en cours d’exécution à l’instant t et la non-préemption des activités, H = {0,1, . . . , T} est l’horizon d’ordonnancement, et T la longueur de l’horizon

d’ordonnancement (pouvant être considérée comme une borne supérieure pour le makespan.

Le RCPSP est le problème visant à trouver un ordonnancement non-préemptif S de makespan mini- malSn+1soumis à des contraintes de précédences et des contraintes de ressources.

Le RCPSP est l’un des problèmes d’optimisation combinatoire les plus difficiles à résoudre. La démonstra- tion de sa NP-difficulté au sens fort est donnée par Blazewiczet al. [7].

1.2 RCPSP avec consommation et production de ressource

La particularité du RCPSP avec production et consommation de ressources, est qu’en plus d’utiliser les ressources décrites ci-dessus, on a aussi affaire à des ressources particulières, dites non renouvelables. Cer- tains auteurs [19] parlent de ressources cumulatives pour ce type de ressources. Il s’agit de ressources qui sont consommées (ou pas) au début de l’exécution d’une activité, dans une certaine quantité, puis repro- duites dans une autre quantité à la fin de l’exécution de cette activité. Plus précisément, une activitéicon- somme c⁻_ip unités de la ressourcep au début de son exécution et en produitc⁺_ipunités à la fin de son exécu- tion. On désignera parP l’ensemble de ces ressources etCple niveau de stock initial de la ressourcep∈P. De ces ressources, on peut distinguer les cas de figure suivants :

• Si c⁻_ip =c⁺_ip , alors pest une ressource renouvelable comme dans le RCPSP basique.

• Dans le cas o`u l’on ac⁻_ip '=c⁺_ip :

– Si c⁻_ip = 0 et c⁺_ip > 0 (production de ressources). Généralement précédé de la consommation d’une certaine quantité d’une autre ressource, ce cas est ren- contré dans les industries de transforma- tion de matières et parfois en production d’énergie (sauf que l’énergie produite de fa¸con continue peut être utilisée avant même l’achèvement de l’activité produc- trice).

– Si c⁻_ip < c⁺_ip, alors on consomme au d´epart une certaine quantit´e du produit afin d’en produire davantage.

– Si c⁻_ip > c⁺_ip, alors pest une ressource con- sommable telle qu’un budget, une mati`ere premi`ere, etc.

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MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie

2 FORMULATIONS PLNE `A TEMPS DIS- CRET

Basées sur l’utilisation de variables indexées sur un horizon de temps discrétisé, les formulations à temps discret ont donné lieu à la formulation basique à temps discret (DT) et la formulation désagrégée à temps discret (DDT).

Proposée en 1969 par Pritsker et al. [20], la formulation basique à temps discret (DT) est basée sur l’utilisation, pour chaque activité i, de variables d’optimisation binairesxitindexées par le temps et la discrétisation de l’horizon d’ordonnancement. Cette variable vaut 1 si l’activitéidémarre son exécution à l’instantt, et 0 sinon.

Le modèle DDT proposée par Christofides en 1987 [12] est très proche de DT. Cependant, ces formulations diffèrent par leur manière de formuler la contrainte de précédence. Typiquement, alors que le modèle DT définit la contrainte pour chaque paire d’activités de l’ensemble des précédences, le modè- le DDT propose une contrainte pour chaque paire d’activités de l’ensemble des précédences et pour chaque instant de l’horizon d’ordonnancement.

Ces modèles, classés parmi les modèles comprenant un nombre pseudo-polynomial de variables et de contraintes, s’avèrent pénalisant pour la résolution des problèmes à horizon de temps très étendu. Cepen- dant, ils sont connus (principalement DDT) pour fournir d’assez bons résultats et des bornes intéres- santes par relaxation continue sur les instances classiques du RCPSP (cf. [4]).

Pour la prise en compte de l’aspect production de ressources dans ces mod`eles, nous introduisons la variable continue stp indiquant le niveau de stock de chaque ressource p ∈ P `a chaque instant t. Les contraintes additionnelles sont les suivantes :

s0p=Cp−

nX−1 i=1

xi0c⁻_ip ∀p∈P (3)

stp=st−1,p−

nX−1 i=1

xitc⁻_ip

+

n−1X

i=1

x_i,t−p_ic⁺_ip ∀(t, p)∈H×P, t >0 (4) stp≥0 ∀(t, p)∈H×P. (5)

La contrainte (4) impose à chaque instant t, que le niveau de stock (stp) de chaque ressource p ∈ P soit égal au niveau de stock à l’instant précé- dent (t − 1) de cette ressource, augmenté de la somme des productions ("n−1

i=1 xitc⁻_ip) de cette même ressource par les activités finissant leur exécution à l’instant t, et diminué de la somme des consommations ("n−1

i=1 xi,t−pic⁺_ip) des activit´es d´ebutant leur

exécution à ce même instantt.

Quant à la contrainte (3), elle traite du cas particu- lier de la contrainte (4) à l’instantt= 0, c’est-à-dire quand on débute le projet.

En outre, une condition supplémentaire à respecter s’ajoutant au problème, consiste à imposer que les ac- tivités débutant leur exécution disposent de suffisamment de ressources pour être exécutées. Pour ce faire, on impose avec la contrainte (5), que la variablestp

reste toujours positive, exprimant ainsi le fait qu’on ne doit à aucun moment être en déficit de ressource.

On note que les variablesstppeuvent ˆetre substitu´ees par leur valeur en fonction desxit.

3 MODÈLE À TEMPS CONTINU BASÉE SUR LES FLOTS (FCT)

Inspiré par les travaux de Balas et al. [5], et sur la base de la formulation d’Alvarez-Valdès et Tamarit [1], Artigueset al. [3] proposent le modèle nomméfor- mulation à temps continu basée sur les flots (FCT).

Ce modèle utilise des variables de flots pour la ges- tion des ressources, de variables continues usuelles de date de début Si pour définir la date de début de chaque activité du projet et des variables séquen- tielles binairesxij permettant de définir un ordre partiel entre les différentes activités (xij= 1, si l’activité i précède l’activité j). Les variables continues fijk

définissent la quantité de ressourcek“envoyée” (rede- venue disponible) par l’activitéi(à la fin de son exé- cution) à l’activitéj(au début de son exécution). On considère que les ressources sont toutes disponibles et stockées au niveau de l’activité fictive 0 (sommet source dans le graphe de précédence associé au projet). Par la suite, les activités démarrant leur exé- cution utilisent ces ressources pour être exécutées, et une fois terminées, elles transfèrent ces ressources aux activités qui les succèdent. Cette opération se répète jusqu’à ce que les dernières activités à être exécutées, les transmettent à leur tour à l’activité fictive n+ 1 (sommetpuits).

Pour ce type de modèle, classé parmi les modèles compacts, Applegate et Cook [2] montrent que cette formulation produit de mauvaises relaxations dues à l’utilisation d’une constante “grand M” dans les contraintes. Par contre, pour la résolution des problèmes ayant de grands horizons, cette formulation peut être préférable. Cependant, l’utilisation des variables séquentielles pourrait être à l’origine d’un trop grand nombre de symétries, affectant de ce fait les performances du modèle pour la résolution de problèmes fortement cumulatifs.

L’adaptation de ce modèle à la résolution du RCPSP avec production et consommation de ressources impose l’ajout d’une variable continueDijpreprésen-

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tant la quantité de ressource p ∈ P que l’activité i (à la fin de exécution) envoie à l’activitéj (au début de son exécution). Comme l’exprime la contrainte (6) ci-dessous, cette quantité ne peut en aucun cas dépasser le minimum entre la quantité produite par l’activité i et la quantité consommée par l’activité j, si l’activité i précède l’activité j. Ainsi, con- formément au principe de ce modèle, les nouvelles ressources non-renouvelables sont également gérées à l’aide des flots, par les contraintes suivantes :

Dijp≥min (c⁺_ip, c⁻_jp)xi,j ∀(i, j)∈A², p∈P (6) X

j∈A∪{0}

Dijp=c⁻_jp ∀i∈A∪ {n+ 1}, p∈P (7) X

i∈A∪{n+1}

Dijp=c⁺_ip ∀i∈A∪ {0}, p∈P (8)

c⁺_0p=Ck ∀p∈P (9)

c⁺_(n+1)p= +∞ ∀p∈P (10)

La contrainte (7) impose que la somme des quan- tités de ressources p ∈P re¸cues des activités précé- dentes par une activité i, soit égale à la quantité de ressources qu’elle consomme pendant son exécu- tion. Symétriquement, la contrainte (8) impose que la somme des quantités de ressources envoyées par l’activité iaux autres activités, soit égale à la quan- tité qu’elle produit. Cependant, à l’aide de la contrainte (9) (respectivement, contrainte (10)), pour chaque ressourcep∈P, on fixe la production de cette ressource par l’activité 0 (respectivement l’activité n+ 1) à son niveau de stock initial (respectivement,

`a l’infini).

4 FORMULATIONS PLNE BASÉE SUR LES ÉVÉNEMENTS

A la différence des modèles à temps discret, Zapa-` ta et al. [21] proposent une formulation de type PLNE basée sur les événements utilisant trois types de variables binaires pour la résolution du pro- blème d’ordonnancement multi-projet multi-mode à ressources limitées (MRCMPSP). Nous présentons ici deux nouveaux modèles utilisant moins de variables binaires.

4.1 Formulation start/end bas´ee sur les

´ev´enements (SEE)

Notre formulation dite start/end utilisant également des variables indexées par les événements, se distingue par l’utilisation de deux types de variables binaires (xie et yie). Celles-ci déterminent l’exécution d’une activité dans le temps à l’aide d’événements. Plus précisément, xie indique si oui ou non l’activité i débute son exécution à l’événemente, etyie indique si oui ou non l’activité i termine son exécution à l’événement e.

Nous avons également besoin d’une variable continue te désignant la date de l’événement e et d’une variable continuebek indiquant le niveau de la ressource kutilisée entre les événementseete+1. L’utilisation des activités fictives 0 etn+ 1 n’étant pas nécessaire dans ce modèle, on ne considère que l’ensembleAdes nactivités (non-fictives), et doncn+ 1 événements.

r,t,x,ymin tn (11)

t0= 0 (12)

t_f ≥te+pixie−

pi(1−yif) ∀(e, f)∈ E², f > e,∀i∈A(13) te+1≥te ∀e∈ E, e < n (14) X

e∈E

xie= 1 ∀i∈A (15)

X

e∈E

yie= 1 ∀i∈A (16)

Xn e!=e

y_ie!+

eX−1 e!=0

x_je!≤1 ∀(i, j)∈E,∀e∈ E (17)

r_0k=X

i∈A

b_ikxi0 ∀k∈R (18)

r_ek=r_(e₋_1)k+ X

i∈A

bikxie−X

i∈A

bikyie ∀e∈ E, e≥1, k∈R (19)

rek≤Bk ∀e∈ E, k∈R (20)

te≥0 ∀e∈ E (21)

rek≥0 ∀e∈ E, k∈R. (22) xie∈ {0,1}, yie∈ {0,1} ∀i∈A,∀e∈ E (23)

La fonction-objectif est donnée par (11) et l’équation (12) fixe la date de l’événement 0 placé par convention

`a 0.

L’inéquation (13) stipule que si l’activitéidébute son exécution à l’événementeet la termine à l’événement f, alors le moment qui sépare l’événement f de l’événementeest au moins égal à la durée opératoire de l’activitéi.

L’inéquation (14) impose que la date de l’événement e soit antérieure ou égale à la date de l’événement e+ 1.

La contrainte (15) (respectivement (16)) impose qu’une activité ne peut débuter (resp. ne peut se terminer) qu’une et une seule fois, c’est-à-dire n’est as- sociée qu’à un et un seul événement.

L’inéquation (17) représente les contraintes de précé- dence. Elle impose que :

si"e−1

e^!=0xje^! = 1 alors "n

e^!=eyie^! = 0.

En d’autres termes, pour toute paire d’activités (i, j) appartenant à l’ensemble de précédences E, l’événement de début d’exécution de l’activité j se produira en même temps, ou après, l’événement de fin d’exécution de l’activitéi.

Les ´equations (18) et (19) repr´esentent les contraintes

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de conservation des ressources. La contrainte (19) (respectivement (18)) donne la consommation totale rek(resp. r0k) de la ressourcekà l’événemente(resp.

à l’événement 0).

Les contraintes (20) représentent les contraintes de ressources. Pour chaque événemente, elles limitent la consommation totale des ressources à la capacité totale disponible de cette ressource, et ce, pour chaque ressource k. Cependant, notons que l’utilisation de variables continues rek n’est pas indispensable. On peut les remplacer par leur expression, donnée par les équations (18) et (19), dans l’inéquation (20).

Ce modèle, comportant un nombre polynomial de variables et de contraintes, classé parmi les modèles dits compacts, se caractérise par la simplicité de mo- délisation des contraintes de ressources.

Comme les modèles dits séquentiels [13, 3] (où une variable binairexij décide de l’ordre relatif des acti- vitésietj), le modèle start/end est basé sur la logique qui consiste avant tout à trouver un ordre partiel ou global des activités, puis à appliquer une autre mé- thode de post-traitement (tel que l’algorithme sériel [15]) pour affiner/déterminer la solution optimale.

Pour la prise en compte de l’aspect production de ressource dans le RCPSP, on introduit de nouvelles variables continues sep ≥ 0 indiquant le niveau de stock de chaque ressource p ∈ P immédiatement après chaque événement e. Ainsi, on définit les contraintes suivantes :

s0p=Cp−

nX−1 i=1

xi0c⁻_ip ∀p∈P (24)

sep=se−1,p−

nX−1 i=1

xiec⁻_ip+

nX−1 i=1

yi,ec⁺_ip ∀(e, p)∈ E ×P, e >0 (25) sep≥0 ∀(e, p)∈ E ×P (26)

Ces contraintes permettent de calculer le niveau de stock de chaque ressourcepà chaque événemente, qui est égal à celui à l’événement précédente−1, diminué des quantités consommées à l’événementepar les ac- tivités débutant leur exécution, et augmenté de la production de celles finissant ene. Ainsi, l’utilisation des variables binaires xie (respectivement yi,e) indiquant le début (respectivement la fin) des activités, caractéristiques de ce modèle, simplifie l’expression de ces contraintes (24) et (25), ditescontraintes d’état des stocks. La contrainte (26) permet d’assurer que les activités démarrant leur exécution disposent de suffisamment de ressource pour être exécutées.

4.2 Formulation on/off basée sur les événe- ments (OOE)

Cette deuxième formulation basée sur la notion d’événements que nous proposons, utilise un seul type de variables binaires (zie) en plus des variables continueste. La variable binaire zie permet d’identifier les intervalles pendant lesquels une activité débute ou est en cours d’exécution. Ainsi, zie vaut 1 si l’activité i débute, ou est en cours d’exécution, im- médiatement après l’événement e, sinon elle vaut 0.

Quant à la variablete, elle détermine toujours la date de l’événement e. Dans ce modèle, on prouve aisé- ment qu’un ordonnancement optimal ne comportera pas plus d’événements de début que d’activités existantes. De ce fait, on pourra restreindre l’ensemble des événements à néléments : E ={0,1, . . . , n−1}, sachant que l’utilisation des activités fictives n’est pas indispensable. Le nombre d’événements est ici égal au nombre d’activités.

h j

1 2

0 Evénements

Variables i

g

zi1= 1 zi2= 1

Figure 1: Evénements dans la formulationon/off La figure 1 montre un exemple d’ordonnancement à quatre activités (g, h, i et j) et une seule ressource.

On n’a besoin que de trois événements pour sa modélisation, car n’ayant pas d’activité qui démarre

à la fin de l’exécution des activitésiet j, il n’est pas nécessaire de leur associer des événements de fin. La formulation OOE est donc :

z,t,CminmaxCmax (27)

Cmax≥te+ (zie−z_i(e₋₁₎)pi ∀e∈ E,∀i∈A (28)

t0= 0 (29)

t_f ≥te+ (zie−z_i(e₋₁₎−

(z_if−z_i(f₋₁₎)−1)pi ∀e∈ E \ {0},∀f∈ E,

∀i∈A, f > e (30) te+1≥te ∀e)=n−1∈ E (31)

e−1

X

e!=0

z_ie! ≤e(1−(zie−z_i(e−1))) ∀e)= 0∈ E (32)

nX−1

e^!=e

z_ie! ≤(n−e)(1 + (zie−z_i(e₋₁₎)) ∀e)= 0∈ E (33) X

e∈E

zie≥1 ∀i∈A (34)

zie+ Xe e^!=0

zje! ≤1 + (1−zie)e ∀e∈ E,∀(i, j)∈E(35)

nX−1 i=0

bikzie≤Bk ∀e∈ E,∀k∈R (36)

te≥0 ∀e∈ E (37)

zie∈ {0,1} ∀i∈A,∀e∈ E (38)

La d´efinition du makespan, Cmax est assur´ee par

(7)

la contrainte (28). Elle impose que Cmax ≥ te+pi

si l’activité i est en cours d’exécution juste après l’événement e. En d’autres termes, le makespan doit être supérieur ou égal à la date de fin de toute activité i en cours d’exécution juste après l’événemente.

Tout comme la contrainte (12) du modèlestart/end, la contrainte (29) fixe la date de l’événement 0 à l’instant 0.

Les contraintes (30) ont deux rôles essentiels. D’une part, elles permettent de lier les variables binaires zie aux variables continueste. D’autre part, elles as- surent que si une activitéicommence à l’événement e et se termine à l’événement f, alors la date de l’événementf est supérieure à la date de l’événement e, augmentée de la durée opératoire de l’activitéi.

Les contraintes (31), tout comme les contraintes (14) imposent que la date de tout événement e soit supérieure ou égale à la date de l’événement précé- dent,e−1.

Les contraintes (32) et (33) représentent les contraintes de non-préemption des activités. Elles as- surent la contigu¨ıté des événements durant lesquels une activité reste en cours d’exécution.

Les contraintes (34) imposent que chaque activité soit exécutée au moins une fois pendant le projet.

Les contraintes (35) garantissent les relations de précédence entre les activités.

Les contraintes de ressources (36) imposent que la somme des quantités de chaque ressource consommée par les activités en cours d’exécution à chaque événe- ment ereste inférieure à la capacité disponible de la ressource.

Ce modèle peut être classé parmi les formulations comportant un nombre polynomial de variables et de contraintes. Ainsi, le modèle OOE peut traiter des projets ayant un horizon d’ordonnancement par- ticulièrement étendu. De plus, OOE ne requiert pas l’utilisation d’activités fictives. De fa¸con plus impor- tante, OOE présente une simplicité particulière pour la modélisation des contraintes de ressource renouvelables. Pour finir, OOE est basé sur la même logique de résolution qui consiste d’abord à trouver un ordre partiel ou global des activités, puis à appliquer une méthode de post-traitement pour affiner/déterminer la solution optimale.

La variante OOE Prec

Cette variante, qui est en fait le modèle OOE avec un “preprocessing”, est obtenue en supprimant dans l’ensemble des événements possibles pour chaque ac- tivité, les événements pendant lesquels cette activi-

té ne pourra pas être en exécution à cause de ses prédécesseurs (un ou plusieurs de ses prédécesseurs sont en cours d’exécution ou n’ont toujours pas en- core été exécutés). Symétriquement, on supprimera aussi pour cette activité, tous les événements pendant lesquels elle ne pourra pas être en cours d’exécution

`a cause de ses successeurs.

SoitA(i) l’ensemble des prédécesseurs de l’activitéi dans le graphe de précédence G, et D(i) l’ensemble de ses successeurs.

Proposition 4.1. Il existe une solution optimale de OOE telle que pour chaque activit´ei: "|A(i)|

e=0 zie= 0 et"n

e=n−|D(i)|+1zie= 0.

Démonstration 1. Lorsqu’on a n événements, il existe toujours une solution optimale telle que ses activités débuteront à des événements distincts. En d’autres termes, pour deux activités distinctes iet j, on aura :

zie−z_i,e−1= 1∧zjf −z_j,f−1= 1 =⇒ e'=f.

Il est important de remarquer que cela n’interdit pas que te = tf. De plus, si j est un prédécesseur de i dans G, alors l’événement affecté à j sera stricte- ment antérieur à l’événement affecté ài: te> tf. La proposition est une conséquence de ces deux observa- tions.

On obtient OOE Prec en fixant donc d’embl´ee les variables suivantes `a 0, et on obtient ainsi une formulation correcte pour le RCPSP :

zie= 0, i∈A, e∈ {0, . . . ,|A(i)|}∪{n−|D(i)|+1, . . . , n}. (39)

Adaptation des mod`eles OOE et OOE Prec au RCPSP avec production et consommation de ressources

Pour les mod`eles OOE et OOE Prec, la prise en compte de l’aspect production de ressources n´ecessite non seulement l’ajout de nouvelles contraintes, mais aussi l’introduction de nouvelles variables continues.

Nous d´efinissons :

• sep la variable continue indiquant le niveau de stock de la ressourcep∈P à l’événemente;

• piep la variable continue indiquant la quantité de ressources p ∈ P produite par l’activité i à l’événemente;

• uiep la variable continue indiquant la quantité de ressources p ∈ P consommée (utilisée) par l’activitéià l’événemente.

(8)

Afin de simplifier l’expression de certaines contraintes, on utilisera temporairement des variables in- termédiaires Xie et Yie. Il ne s’agit en aucun cas de nouvelles variables à ajouter au modèle, mais plutôt de notations permettant de simplifier l’écriture des contraintes. On pourra facilement remplacer directe- ment dans les différentes contraintes ces deux variables intermédiaires par leurs définitions :

Xi,e:=zie−z_i,e−1, ainsiXi,e∈ {−1,0,1}; Yi,e:=zie−zi,e+1, de sorte queYi,e∈ {−1,0,1}. On notera que Xi,e = −Yi,e−1. De plus Xi,e = 1 signifie que l’activité i se termine à l’événement e et Yi,e = 1 signifie que l’activité i finit son exécu- tion à l’événement e. Lorsque Xi,e = Yi,e = 0, alors l’activitéine débute, ni termine son exécution

à l’événemente.

Pour le RCPSP avec production et consommation de ressources, les contraintes additionnelles `a ajouter aux mod`eles OOE et OOE Prec, sont les suivantes :

piep≥0 ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (40) piep≥c⁺_ipYi,e−1 ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (41) piep≤c⁺_ipz_i,e−1 ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (42) piep≤c⁺_ip(1−zi,e) ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (43) uiep≥0 ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (44) uiep≥c⁻_ipXie ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (45) uiep≤c⁻_ipzie ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (46) u_iep≤c⁻_ip(1−z_i,e−1) ∀(e, i, p)∈ E ×A×P (47)

sep=se−1,p+ X

i∈A

piep−X

i∈A

uiep ∀(e, p)∈ E ×P, e >0 (48)

s0p=Cp−X

i∈A

ui0p ∀p∈P (49)

sep≥0 ∀(e, p)∈ E ×P (50)

Ces nombres importants de variables continues et de contraintes supplémentaires sont essentiellement dus au fait que ce modèle ne dispose pas de variable permettant l’identification nette et précise du début (respectivement de la fin) de l’exécution de chaque ac- tivité correspondant au point de consommation (resp.

de production) de la ressource. Ainsi, pour déter- miner la consommation (respectivement la production) des activités débutant (resp. terminant) leur exécution à l’événemente, on utilise à la fois les contraintes (41), (42) et (43) (resp. (45), (46) et (47)).

Explicitement, si une activité i termine son exécu- tion à l’événemente, alors la contrainte (41) a pour vocation d’imposer que la valeur de la variable piep

qui d´etermine sa production de ressource p `a cet

événement e, soit au moins égale à sa production de ressource c⁺_ip, tandis que les deux autres contraintes (42) et (43) imposent que la valeur de cette même variable, à ce même événement e, pour la même ac- tivitéi, soit au plus égale à cette même production de

ressourcec⁺_ip. Cela revient à imposer que la valeur de la variablepiep soit égale à c⁺_ip, si l’activitéitermine son exécution à l’événement e, pour toute ressource p ∈ P. La combinaison de ces contraintes permet

également d’annuler la valeur de cette variable à tout autre événement, afin de ne rendre significative que sa valeur à l’événementeconsidéré plus haut.

De même, dans le cas de la consommation de ressource, la contrainte (45) impose que la variable uiep soit au moins égale à c⁻_ip (la consommation de la ressourcepde l’activité i); les contraintes (46) et (47) imposent alors qu’elle ne dépasse pas cette même valeurc⁻_ip. Ici, on considère que l’activitéidébute à l’événement e et se termine à un autre événement quelconque. Ainsi, de fa¸con analogue à la variable piep, il résulte de la combinaison des contraintes (44), (45), (46), et (47) que la variableuiepsera égale àc⁻_ip

à l’événement e, et nulle pour tous les autres événe- ments.

La contrainte (48) détermine le niveau de stock de la ressource p ∈ P à l’événement e. Il est égal au niveau de stock à l’événement précédent, moins la somme des quantités produites de la même ressource par les activités en fin d’exécution, moins la somme de celles consommées par les activités en cours, tout ceci à l’événemente. Donc, il est également possible de supprimer les variablessep, en les rempla¸cant par leur valeur.

La contrainte (50) stipule qu’une activité ne peut débuter son exécution que si elle dispose de suffisamment de ressource. Pour finir, alors que la contrainte (40) (respectivement la contrainte (44)) interdit que les quantités produites (resp. consommées) soient négatives, la contrainte (50) permet de garan- tir de fa¸con analogue aux contraintes (5) et (26), qu’on ne sera en aucun cas en situation de déficit de ressource.

5 R´ESULTATS EXP´ERIMENTAUX

Tous les tests ont été effectués sur un PC Dell Xeon 5110 biprocesseur cadencé à 1,6 GHz, avec 4 GB de RAM, tournant sous le système d’exploitation Fedora de Linux. Toutes les formulations ont été codées en C++, dans un environnement ILOG-Concert version 2.6. Nous avons utilisé le solveur commercial ILOG- Cplex version 11.1 pour les résolutions. Le temps limite de résolution pour chaque instance a été fixé à 500 secondes.

5.1 Les instances

Dans notre ´etude, nous avons utilis´e les instances suivantes :

KSD30 : Nous avons retenu les 100 premi`eres des

(9)

480 instances (de 30 activités et 4 ressources) générées par Kolischet al. [16].

BL : Les 39 instances (de 20 à 25 activités et 3 ressources) proposées par Baptiste et Le Pape [6].

Connues pour ˆetre fortement cumulatives, elles ont

été con¸cues pour répondre aux critiques sur le carac- tère fortement disjonctif des instances KSD.

PACK: Les 55 instances de 17 à 35 activités, pour 3 ressources, proposées par Carlier et Néron [10] comportant très peu de contraintes de précédences, et connues comme assez difficiles à résoudre [3].

Ces instances issues de la littérature n’ont pas toujours fait l’unanimité et ont même été l’objet de critiques. Par exemple, concernant les instances KSD, il apparaˆıt que les instances les plus difficiles à résoudre sont celles qui sont les plus disjonctives, ce qui n’est pas représentatif des instances réelles du RCPSP.

Soulignons de plus que la plupart de ces instances ne comportent que des durées opératoires relativement courtes (comprises entre 0 et 10 pour les KSD, par exemple). D’emblée, ceci confère un avantage aux formulations utilisant des variables indicées par le temps, car, dans ce cas, celles-ci ne génèrent pas beaucoup de variables et de contraintes, atténuant ainsi leur han- dicap lié au fait qu’il s’agit de formulations de type pseudo-polynomial. Alors que dans certaines applications industrielles (pétrochimique ou pharmaceu- tique, par exemple), on a parfois affaire à des durées longues pour certaines activités, avec de grandes dis- parités entre les durées. Ces cas se retrouvent égale- ment dans le domaine de l’industrie des procédés, et dans certains problèmes d’ordonnancement avec des traitements par lots [14].

De ce fait, nous proposons deux nouveaux types d’instances, qui ne sont en réalité que des versions modifiées de certaines instances existantes : PACK d et KSD15 d. Nous donnons ci-dessous une description plus précise de la méthode utilisée pour générer ces nouvelles instances.

Pour générer une instance B à partir d’une instance existante A, considérons les paramètres x, y, b et a suivants tel que :

1. On sélectionne les x premières activités non- fictives de l’instance A (on laisse de côté les autres activités ainsi que les contraintes de précé- dence qui leur sont adjacentes).

2. Pour les activités sélectionnées, on connecte les activités sans prédécesseurs à l’activité 0 et les activités sans successeurs à l’activitéx+ 1.

3. On sélectionne de fa¸con aléatoire y activités parmi les x activités non-fictives et on multi- plie leur durée par un coefficienta+b, oùb est

un nombre généré aléatoirement entre 0 et 1 et a unfacteur multiplicatif de la durée (défini ci- dessous pour chaque type d’instance). Il s’agit d’une valeur arbitraire permettant d’augmenter les durées. Les durées ainsi obtenues sont ar- rondies au nombre entier le plus proche.

KSD15 d: Ces instances ont été créées à partir des KSD30 selon la procédure évoquée ci-dessus, avec les paramètres suivants : x= 15, ce qui correspond à la moitié des activités initiales du KSD30 ;y = 7 c’est-

à-dire que parmi les 15 activités sélectionnées, seule la durée opératoire de 7 activités d’entre elles sera augmentée, avec la valeur du facteur multiplicatif fixé

àa= 25. On obtient ainsi des instances de taille plus réduite (n = 15), mais avec des durées opératoires plus grandes, allant ainsi de 1 jusqu’à environ 250 unités de temps.

PACK d : Ce deuxième type d’instances proposées a été obtenu par la modification des instances PACK, avec les paramètres suivants : la totalité des activités initialesx=n, avecn le nombre d’activités dans les instances PACK. On modifie la durée opératoire de 10 de ces activités (y = 10), en utilisant un facteur multiplicatifa= 50. On obtient donc 55 instances de même taille que les PACK originaux, mais avec des durées d’activités atteignant parfois le millier.

Toutes ces nouvelles instances sont disponibles sur demande auprès des auteurs. De plus, pour une description plus exhaustive des ces différentes instances, nous invitons le lecteur à se reférer à l’article [17].

5.2 Adaptation des instances au probl`eme

´etudi´e

Les instances évoquées ne prenant pas en compte l’aspect consommation et production de ressource du RCPSP, nous les avons modifiées, en générant pour chaque activité de chaque instance, trois nouvelles ressources, cette fois non-renouvelables. Pour chacune de ces nouvelles ressources, la quantitéc⁻_ip con- sommée (respectivement la quantitéc⁺_ip produite) au début (respectivement à la fin) de l’exécution est générée aléatoirement entre 0 et 10. À chacune de ces ressources est également associé un stock initial (capacité initiale)Cp. Ces différentes caractéristiques des nouvelles ressources sont générées aléatoirement sous deux contraintes essentielles :

• Aucune quantité consommée ne doit être supérieure au stock initial. Ceci autorise n’importe quelle activité à démarrer le projet.

• Afin de ne pas rendre le problème plus disjonctif qu’il ne l’était avant, la somme des quantités produites doit rester supérieure à la somme des quantités consommées.

(10)

5.3 R´esultats

Le tableau 1 présente le résultat de nos tests numériques.

Tableau 1: R´esultats de la r´esolution exacte du RCPSP avec consommation et production de ressource

Inst. Mod`eles %Ent. %Opt Ecart´ ∆CPM Tps

KSD30 DT 84 63 10,21 25,20 52,60

DDT 82 71 0.13 7.65 83.87

OOE Prec 78 1 52.63 76.13 415.70

FCT 69 20 46.65 70.35 289.39

SEE 2 0 179.86 179.86

OOE 1 0 65.96 65.96

PACK OOE 94.55 1.82 20.44 277.83 110.85

OOE Prec 92.73 3.64 13.13 258.18 449.26 DT 90.91 18.18 48.04 365.49 126.63 DDT 47.27 32.73 1.33 245.66 168.04

SEE 29.09 0 3.71 134.13

FCT 9.09 0 5.90 96.41

BL OOE Prec 100 0 17.61 72.57

DDT 94.87 48.72 1.32 47.62 125.55 DT 87.18 38.46 49.82 119.82 108.60

OOE 74.36 0 27.64 87.56

SEE 41.03 0 31.11 88.51

FCT 20.51 0 26.79 72.51

KSD15 d FCT 100 93.94 0.12 10.15 18.26

OOE Prec 100 80.81 0.05 10.08 30.69

OOE 100 79.80 0.10 10.14 62.33

SEE 98.99 75.76 0.32 10.30 49.34

DT 0 0

DDT 0 0

PACK d OOE Prec 96.36 5.45 1.62 249.77 252.09 OOE 96.36 5.45 5.80 264.41 320.62

SEE 29.09 0 4.87 146.09

FCT 5.45 1.82 0 44.02 100.01

DT 0 0

DDT 0 % 0 %

On note %Entiers : le pourcentage de solutions en- tières trouvées au bout des 500 secondes de résolu- tion ; %Opt : le pourcentage de solutions optimales trouvées au bout des 500 secondes ; Écart : l’écart moyen par rapport à la meilleure solution connue ;

∆CPM : l’´ecart par rapport `a la valeur du chemin critique, et Tps : le temps moyen mis pour trouver une solution optimale.

Pour les instances KSD30, les formulations à temps discret présentent les meilleurs résultats et DDT affiche la meilleure performance. Cette dernière trouve des solutions entières pour 84% des instances, avec 63% de solutions optimales. Le modèle OOE Prec (3ê performance) trouve des solutions entières pour 78% des cas, même s’il ne prouve l’optimalité que pour très peu d’entre elles.

Concernant les instances PACK, on constate que les modèles OOE et OOE Prec trouvent le plus grand nombre de solutions entières, battant même les formulations à temps discret DT (deuxième meilleure performance) et DDT (troisième meilleure performance). Cependant, si l’on réduit le critère de performance au seul nombre de solutions optimales (%Opt), DDT suivie de DT fournissent toujours les meilleurs scores.

Les résultats sur les instances BL montrent que même si les modèles à temps discret (DDT suivi de DDT) trouvent le plus grand nombre de solutions optimales, le modèle OOE Prec affiche la meilleure performance en termes de solutions entières trouvées.

Sur les instances KSD15 d, la formulation FCT est la meilleure, suivie de pr`es par OOE Prec et OOE.

L’ajout de nouvelles ressources sur des instances comportant déjà de très longues durées opératoires rend les modèles à temps discret (DT et DDT) très exi- geants en mémoire et donc incapables des traiter ces instances dans les conditions de tests évoquées plus haut (dans notre estimation, il faudrait sans doute une machine comportant au moins 7 Go de RAM pour être à même de les résoudre). Il en est de même pour les instances PACK d. Pour ces dernières, le modèle OOE Prec, suivi des modèles OOE, puis SEE et FCT conduisent aux meilleures performances.

De fa¸con globale, on constate que le modèle OOE et sa variante OOE Prec présentent quasiment la meilleure performance sur trois types d’instances (PACK, BL et KSD15 d), la deuxième meilleure performance sur un type d’instance (KSD15 d) et la troisième sur un autre type (KSD30). Ceci nous amène à conclure que globalement, les nouvelles formulations on/off seraient les mieux adaptées pour le RCPSP avec consommation et production de ressources.

6 CONCLUSION

Dans cet article, nous avons étudié la variante du RCPSP avec production et consommation de ressources lors de l’exécution des activités et nous avons proposé deux modèles PLNE basés sur la notion d’événements (start/end et on/off).

Nos résultats numériques sur diverses instances montrent qu’en plus d’être la plus indiquée que les mo- dèles classiques sur les instances à longues durées, le modèle on/off résout le plus grand nombre d’instances, tous types d’instances confondus.

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