AL3 - Matrices Séance de TD - Exercices -

(1)

AL3 - Matrices

Séance de TD

- Exercices -

(2)

1 GI FA 2015 – test 2 – Matrice inverse et puissances

Soit une matrice carrée A, inversible, telle que A² + A + I = O. (I représente la matrice identité et O la matrice nulle). A² représente bien entendu le produit A×A et pour tout entier n strictement positif, on définit Aⁿ comme le produit A×A×…×A (n facteurs).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Exprimer la matrice A^-1 en fonction de A.

2) a. Déterminer la matrice A³, puis, en fonction de A, l’expression de A⁴. b. En déduire A¹⁰⁰.

2 GI FC18/26 2015 – Système

Résoudre, par une méthode matricielle, le système suivant :

2 3 9

2 3 0

3 2 9

x y z

+ + =



+ + =

 + + =



.

3 GI FC34 2015 – Système et inversion

1) Résoudre par une méthode matricielle (inverse ou Cramer) le système suivant :

2 2 11

2 2 1

2 2 2

x y z

+ + =



− + =



 + − = −

 2) On considère la matrice

1 2 2

A 2 2 1

2 1 2

 

 

= − 

 − 

 

et la matrice

1 2 2

1 1

B 2 2 1 A

3 3

2 1 2

 

 

=  − =

 − 

 

. a. Justifier que la matrice A est symétrique.

b. Vérifier que les trois vecteurs qui composent les colonnes de la matrice A sont deux à deux orthogonaux.

c. Vérifier que le déterminant de la matrice B vaut 1 (pour information, cette propriété, combinée au résultat de la question précédente, fait de la matrice B une matrice orthogonale).

Pour cette question, on se souviendra qu’en dimension n, det(k×M) = kⁿ × det(M).

d. Montrer que B² = I (B² est le produit B×B et I est la matrice identité).

e. En déduire la matrice inverse de B, puis en déduire celle de A.

4 GI FA 2012 – test 2 – Système

Une entreprise de matériel électronique fabrique des Tablettes (T), des Smartphones (S) et des écrans LCD (E) à l'aide de trois machines M1, M2 et M3. Les consommations électriques (en kwh) par machine et par produit sont les suivantes :

M1 M2 M3

(T) 3 2 3

(S) 2 1 0

(E) 1 3 2

Au bout d'un certain temps, on relève les consommations totales de chaque machine : M1 : 56 kwh M2 : 63 kwh M3 : 54 kwh

En choisissant une méthode matricielle parmi la méthode de Cramer ou l'inversion de matrice, déterminer le nombre d'appareils de chaque type fabriqués durant cette période.

(3)

5 GI FC18/26 2014 – Vecteurs, application et système

On donne la matrice

2 0 1

F 0 1 2

1 1 0

−

 

 

= 

− 

 

et on définit la fonction vectorielle f qui, à tout vecteur X x y z

  

= 

   ,

associe le vecteur ^Y

( )

^X ^F.X ²⁰ ⁰¹ ²¹

1 1 0

x

f y

z

−

  

  

= = =  

−  

  

.

1) Soit les vecteurs

   

   

=  = 

   

   

1 2

1 1

X 1 et X 2

1 0

a. Déterminer les vecteurs Y et Y , images des vecteurs ₁ ₂ X et X par la fonction f. ₁ ₂ b. Déterminer le vecteur X1∧X . 2

c. L’égalité ^f

(

^X¹^∧^X²

) ( ) ( )

⁼ ^f ^X¹ ^∧ ^f ^X² est-elle vraie ?

d. Quelle est la valeur de l’angle formé par les vecteurs ^f

(

^X¹^∧^{X et}²

)

^f

( ) ( )

^X¹ ^∧ ^f ^X² ^?

2) Quel vecteur est l’antécédent de

  

= 

  

1

X 1

1 ?

6 GI FC34 2014 – Vecteurs et changement de base

1) On donne la matrice P =  − 

 

 

2 3

1 1 . a. Calculer le déterminant de P.

b. Donner la matrice inverse de P.

2) Dans une base

( )

^{i j}^, , on donne les vecteurs M  

= 

  3

0 , u  

= 

  2

1 et v − 

= 

  3 1 . a. Déterminer les coordonnées du vecteur M dans la base

( )

^{u v}^, ^.

b. On note x y

  

  les coordonnées d’un vecteur dans la base

( )

^{i j}^, ^et^^_^x_y^′_′^^_ celles du même vecteur dans la base

( )

^{u v}^, . Si x et y dépendent l’une de l’autre par la relation y = 2x + 3, donner alors une relation qui unit x’ et y’.

7 GI FA 2016 – test 2 – Système

1) Résoudre, par une méthode matricielle, le système

x y mz m x my z

x y z + + =



+ − =

 + − =



1 1

où m est un nombre réel quelconque. Donner les conditions sur m pour que ce système admette une solution (x, y, z) unique.

2) Quelle est la condition sur m pour que l'unique vecteur x y z

  

  

 

solution du système soit de norme 1 ?

(4)

8 GI FA 2014 – test 2 – Système et application linéaire

L'espace de dimension 3 est muni d'une base ^B⁼

(

^{i j k}^{, ,}

)

, dans laquelle on définit l'application linéaire vectorielle f par sa matrice

−

 

 

= − 

 − 

 

2 1 3

F 1 5 1

2 3 1

. On rappelle qu’alors l’image par f d’un vecteur x

X y

z

  

= 

   est le vecteur ^Y ⁼ ^{f X}

( )

^{= ×}^F ^X . Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Déterminer le vecteur x

X y

z

  

= 

  

dont l’image par f est Y

−

 

 

= 

 

  1 2 1

. Partie 2 :

1) Soit X

 

 

= 

− 

 

B

1 0 1

exprimé dans la base B. Donner les coordonnées du vecteur Y_B dans la base B.

2) On définit une nouvelle base dans cet espace : ^B^{′ =}

(

^{u v w}^{, ,}

)

; on désignera les matrices de passage d’une base à l’autre par ^P=

[

u v w^{, ,}

]

ijk ^{et P}′=i j k^{, ,} uvw et on donne

1 1 1

P 0 2 1

0 1 0

−

 

 

′ = 

 

 

.

a. Justifier que

1 1 3

P 0 0 1

0 1 2

−

 

 

= 

 − 

 

.

b. Déterminer la matrice F’ de l’application f dans la base B’.

c. Déterminer les coordonnées du vecteur X_B_′, défini en question 1, dans la base B’.

d. À partir de deux formules différentes, déterminer les coordonnées du vecteur Y_B_′ dans la base B’.

9 GI FC34 2016 – Système et changement de base

Dans un espace vectoriel de dimension deux, muni d’une base

( )

^{i j}^, , on définit l’application linéaire f dont la matrice est 1 3

F^ij 2 4

−

 

= 

 . Autrement dit, l’image par f de tout vecteur x

u y

=  

 ^est

( )

^Fij

f u = ×u

1) Déterminer le vecteur x

w y

=  

 ^{tel que} ^{f w}

( )

⁼^^₁₈⁻¹^^

 . Autrement dit : résoudre matriciellement le système suivant : 3 1

2 4 18

x y

− = −



+ =

 ^.

2) On crée dans cet espace une nouvelle base, formée par les vecteurs 5 u  2

= 

 ^et

2 v −5

= 

 ^. a. Donner le contenu des matrices de passage d’une base vers l’autre :

[ ]

u v ij et

i j uv

 

  ^. b. Donner la matrice F_uv de l’application f dans la base

( )

^{u v}^, ^.

(5)

10 GI FA 2013 – test 2 – Valeurs et vecteurs propres

Dans la base canonique

( )

^{i j}^, , soit f : ℝ²→ℝ² définie par : ^v ^x ^{f v}

( )

¹₅ ³₄^x ⁴₃^y

y x y

+

   

=  =  

−

 ֏  

1) Écrire la matrice de f, notée A, dans la base

( )

^{i j}^, , telle que ^{f v}

( )

⁼^A^.^v

2) Montrer que le vecteur ₁ 2 v  1

= 

  est un vecteur propre de f. Quelle est la valeur propre associée ? 3) Montrer que le vecteur ₂ 1

v −2 

= 

  est un vecteur propre de f. Quelle est la valeur propre associée ? 4) Justifier que les vecteurs v₁ et v₂ forment une base du plan. Ecrire la matrice, notée D, de f dans cette

base

(

^{v v}¹^, ²

)

de vecteurs propres.

5) Écrire la matrice de passage, notée P, de la base

(

^{v v}¹^, ²

)

vers la base

( )

^{i j}^, ^.

6) Calculer P^-1.

7) Quelle est la relation entre A, D, P et P^-1 ? Le vérifier par le calcul.

11 GI FC18/26 2016 – Valeurs et vecteurs propres

f est une application linéaire réelle dans l'espace de dimension 2 : à tout vecteur X de coordonnées réelles, elle fait correspondre le vecteur ^Y ⁼ ^{f X}

( )

⁼^{F X} ^où^F est la matrice 1 3

2 6

 

 

 . 1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'application linéaire f .

2) Une des valeurs propres est particulière ; expliquer ce qu'elle implique pour les images des vecteurs propres concernés.

3) Caractériser les vecteurs X tels que ^{f X}

( )

⁼ ^X , dans une base propre.

12 GI FA 2016 – test 2 – Puissances d'une matrice diagonalisable

On donne la matrice A − − 

= 

 

2 1

3 2 définie dans une base

( )

^{i j}^, . L'objectif de l'exercice est de déterminer une expression simple de A^k = × × ×A A ... A (k facteurs) en fonction de k.

1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.

2) Montrer alors que les matrices P  

=− − 

1 1

1 3 et 1 3 1

1 1

P 2 

′ = − −  peuvent être choisies comme matrices de passage entre la base

( )

^{i j}^, et une base de vecteurs propres.

3) On note D la matrice obtenue en diagonalisant A dans sa base de vecteurs propres.

Écrire la relation entre D et A, puis montrer que A^k =PD P^k ⁻¹. 4) On admet que si D λ

λ

 

= 

 

1 2

0

0 , alors

k k

D λ k

λ

 

= 

 

1 2

0

0 . Calculer alors A^k en fonction de k, puis donner les expressions simples de cette matrice suivant que k est pair ou impair.

(6)

13 GI FA 2015 – test 2 – Vecteurs propres et système différentiel

1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice 3 6

2 1

 

 

−

  . On notera λ¹^etλ²^ces valeurs propres, avec λ¹^<λ²^{, et}V et p1 V les vecteurs propres correspondants. _p2

2) On étudie un système mécanique, composé d’une masse reliée à des ressorts et dont les mouvements se cantonnent au plan (O, x, y) qui est muni d’une base

( )

^{i j}^, . Les coordonnées x et y de cette masse sont des fonctions du temps, qui, dans la base

( )

^{i j}^, , sont reliées par le système différentiel suivant :

3 6

2

x x y

y x y

′ = +



′ = −

 où ^d et ^d

d d

x y

t t

′= ′= .

Notre objectif est de résoudre ce système afin de déterminer les expressions de ces deux fonctions.

On notera w le vecteur x y

  

 , w ^w ^x y t

′

 

′ = = ′ d

d son vecteur dérivé par rapport au temps, et A la matrice

3 6

2 1

 

 

 − , si bien que le système différentiel précédent s’écrit matriciellement w′ =Aw.

a. Grâce aux résultats de la question 1), sélectionner deux vecteurs propres V et V de la matrice A (un ₁ ₂ par valeur propre) ; justifier que ce couple de vecteurs propres peut définir une base du plan (x, y).

b. Les notations x , x

w w

y y

′

   

=   ′= ′ et A dans la base

( )

^{i j}^, deviennent X , X

W W

Y Y

′

   

=  ′= ′ et B dans la base propre

( )

V V . Donner la matrice B. ¹^, ²

c. Que devient, dans cette base propre, le système différentiel reliant X, Y, X’ et Y’ ? d. Résoudre alors ce système simple, c’est-à-dire donner les fonctions X et Y du temps.

e. Par changement de base, le vecteur W étant maintenant connu, donner alors le vecteur w dans la base

( )

^{i j}^, et ainsi les fonctions x et y du temps recherchées initialement.