Université Pierre et Marie Curie
LM115 Année 2012-2013
Semestre 2
Analyse 2 - Suites et intégrales Travaux Dirigés 3
adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr page web : http ://perso.telecom-paristech.fr/∼schreck/
Nombres réels
Exercice 1
Etant donné un ensembleA,A⊂R, écrire avec des quanticateurs les propositions suivantes : 1. 10 est un majorant et 5 est un minorant deA.
2. A est majoré.
3. A n'est pas minoré.
4. A est borné.
5. A n'est pas borné.
Exercice 2
Dire pour chacun des sous-ensembles suivants de R s'il est majoré, minoré. Déterminer (lorsqu'elle existe) leur borne supérieure (resp. inférieure) :
A1= [0,3[
A2={0}∪]1,2]
A3=N∩[0,13]
A4={3x−2, x∈]0,1]}
A5={−2 + 3n, n∈N}
A6={1 + (−1)n, n∈N} A7={1−1n, n∈N∗} A8={1 + (−1)n/n, n∈N?} A9={n1 + (−1)n, n∈N, n≥10}
A10={n−1n+1, n∈N, n≥5}
Exercice 3
Soitf :R→Rla fonction dénie parf(x) =xcos(x). 1. Calculerf(nπ)pourn∈Z.
2. La fonction est-elle minorée ? Est-elle majorée ? Exercice 4
Soient f,g deux fonctions à valeurs réelles et dénies sur un intervalleI deR. Pour chaque x∈I, on pose M(x) = max(f(x), g(x)), etm(x) = min(f(x), g(x)). Montrer que sif et g sont croissantes, alorsM etmle sont également.
Exercice 5
Soient AetB deux parties non vides deRvériant :∀(a, b)∈A×B, a≤b.
1. Montrer quesup(A)etinf(B)existent.
2. Montrer que quesup(A)≤inf(B).
3. Montrer l'équivalence sup(A) = inf(B)⇔ ∀ >0,∃x∈A,∃y∈B,|x−y|< . 4. Donner un exemple d'ensemblesA etB satisfaisant 3.
1
Exercice 6
Soient AetB deux parties non vides et majorées de R. On note : A+B={c∈R| ∃(a, b)∈A×B, c=a+b}.
Montrer queA+B admet une borne supérieure dansRet quesup(A+B) = sup(A) + sup(B). Exercice 7
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, sans oublier de justier : 1. La somme de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
2. La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
3. Le produit de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
4. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) x=y.
(ii) ∀ >0,|x−y| ≤.
Exercice 8 (Inégalité triangulaire) 1. Rappeler l'inégalité triangulaire dans R.
2. Démontrer cette inégalité.
3. Montrer que∀(x, y)∈R2,||x| − |y|| ≤ |x−y|.
Exercice 9 (Point xe)
Soit f : [0,1]→[0,1] une fonction. On veut prouver que sif est croissante, alors elle a un point xe, c'est à dire qu'il existe unadans[0,1]qui vérie f(a) =a.
1. SoitA={x∈[0,1], f(x)≤x}. Montrer queAa une borne inférieurea≥0. 2. Montrer quef(a)est un minorant deA.
3. En déduire quef(a)≤aet quef(a)∈A. 4. Conclure.
Exercice 10 (Approximation) 1. Donner la partie entière de 2.1.
2. Donner une approximation à 10−3 près de1/3. 3. Donner une approximation à 10−2 près de1/7. 4. Donner la partie entière de −√
2.
5. Rappeler la dénition de voisinage. Donner un voisinage de 15. 6. Donner une approximation deπpar défaut à10−2 près.
Exercice 11
Que peut-on dire d'un nombre réelxtel que : 1. ∀ >0, x≤900
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2. ∀ >0, −4≤x <
3. ∀ >0, −4 +≤x <
Exercice 12
1. Rappeler la dénition de la partie entière d'un réel.
2. A-t-on toujours E(x+y) = E(x) +E(y) pour xet y réels ? Donner un encadrement de E(x+y)−E(x)−E(y).
3. Etudier les fonctions suivantes : (a) f(x) =E(x+ 1)−E(x) (b) g(x) =E(x+ 1/2)−E(x)
(c) h(x) =E(x) +E(1x)dénie pourx >0 Exercice 13
1. Montrer qu'un intervalle borné ayant un minimum mais pas de maximum est de la forme [a, b[.
2. [a, b[ est-il un intervalle ouvert ?
Exercice 14 (Approximation décimale)
1. Soitxun réel. Montrer que pour tout entierk≥0 il existe un entier relatifak tel que ak10−k≤x < ak10−k+ 10−k.
2. Montrer que la suite dénie pourk≥0 parxk = 10−kak converge versx. 3. Montrer que l'ensembleDdes nombres décimaux est dense dansR.
4. Qest-il dense dansR? Justier.
Exercice 15 (Densité de R\Q dans R)
1. Soient aet bdeux rationnels tels que a < b. Montrer qu'il existe un entierntel que a < a+
√2
n < b.
2. Montrer queR\Qest dense dansR.
Exercice 16
Soient E={x∈Rtel que ∃p, q∈Z, x=p+q√
2}et u=√ 2−1.
1. Montrer que pour tout entiern∈Zet pour toutv∈E, on anv∈E.
2. Montrer que∀n∈N,un ∈E.
3. Montrer que0< u <1/2 et en déduire que∀n∈N?,0< un<1/n.
4. Soient aet bdes nombres réels tels quea < b.Montrer qu'il existe un entiern≥1 tel que 0< un < b−a.En déduire qu'il existe un élément deE appartenant à l'intervalle]a, b[.
5. Montrer à l'aide de la question précedente queR\Qest dense dansR.
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