Cours Master1:Espace tangent et Cotangent

Cours Master1:Espace tangent et Cotangent

Dr. El hendi Hichem

Université Tahri Mohammed Bechar

Sommaire

1 Espace tangent et Cotangent Espace tangent

Espace cotangent

Application tangent et cotangente Fibrés tangent et cotangent

Espace tangent Espace cotangent

Application tangent et cotangente Fibrés tangent et cotangent

Espace tangante

Dans une variété: Considérons maintenant une variété différentielleM et un pointpdeM. On s’intéresse aux courbes dans M qui sont différentiables et qui passent par p

c:]−ϵ, ϵ[→M , c(0) =p t→c(t)

Définition

Deux courbesc1etc2sont tangentes au point p sic1(0) =c2(0) =pet s’il existe une carte locale (U, φ)telle quep∈Uet

d

dt(φ◦c1)(0) = d

dt(φ◦c2)(0)

La définition est indépendante de la carte choisie. En effet si(V, ψ)est une autre carte autour de p, on a :

d

dt(ψ◦c1)(0) = d

dt[(ψ◦φ⁻¹)◦(φ◦c1)](0)

=D(ψ◦φ⁻¹)◦ d

dt(φ◦c1)(0)

=D(ψ◦φ⁻¹)◦ d

dt(φ◦c2)(0) = d

dt(ψ◦c2)(0)

On définit ainsi une relation d’équivalence (c’est-à-dire une relation qui est transitive, symétrique et réflexive) sur l’ensemble des courbes passant parp:c1∼c2si elles sont tangentes enp.

Définition

Un vecteur tangent àM enpest une classe d’équivalence de courbes tangentes en p. L’espace tangent àM en p, notéTpM,est l’ensemble des vecteurs tangents àMenp.

Exemple

DansRⁿil est clair que deux courbesc1,c2sont tangentes au pointxdes que

c˙1(0) = ˙c2(0)

Il y a donc un isomorphisme canonique entre l’ensemble des classes de courbes tangentesT_xRⁿ et l’ensemble des directionsc(0). Ce qui est propre à˙ Rⁿc’est que cet isomorphisme ne dépend pas du pointx.

On peut montrer queTpMest un espace vectoriel en utilisant une carte. La structure vectorielle n’apparait cependant pas clairement. De plus la définition deTpMfait intervenir un espace très gros, l’ensemble des courbes passant par p, qui n’est pas aisé à manipuler.

Nous allons voir maintenant qu’on peut donner une autre définition équivalente des vecteurs tangents qui résoudra ces difficultés.

Dérivation :

Une dérivation enpest une application linéaire

Dp:C^∞p (M)→R

qui vérifie la règle de Leibniz . Autrement dit ,Dpest une dérivation si pour touts réelαetβet toute fonction˜f et˜gdansC^∞p (M)on a :

- Dp(α˜f+β˜g) =α˜f +β˜g(linéarité) - Dp(˜f.˜g=g(x)Dp(˜f) +f(x)Dp˜gLeibniz où˜f et˜gsont les classes d’équivalence def etg

Définition

L’espace tangent en p àM,TpMest l’espace vectoriel des dérivation surC^∞p (M)

Définition

Puisqu’on a un espace vectoriel il est utile d’un trouver une base.

soient(x¹, ...,xⁿ)des coordonnées au voisinage dep. Une base deT_pMest donnée par lesn dérivations _∂x^∂i(p) , pour1≤i≤ndont les courbes associées sont lesγidéfinies par







x^jγi(t) =0 pour j̸=i x^jγ_i(t) =t

En particulier la dimension deTpMen tant qu’espace vectoriel est la dimension deMen tant que variété. Donc tout vecteurXp∈TpM s’écritXp=Xi(p)_∂X^∂i(p) où lesXⁱ(p)sont des réels .

Cette écriture a l’avantage de suggérer queX(p)est un vecteur puisqu’il ancomposantes (X¹(p), ...,Xⁿ(p))et que c’est aussi une dérivation. De plus, si la courbeγdéfinit ce vecteur, avec bien sûrγ(0) =palors on a :

Xⁱ(p) = (γⁱ(t) dt |t=0 On utilise cette relation qu’on écritγ(0) =X(p).

On considère l’effet d’un changement de coordonnées sur lesnnombresXⁱ(p)si on passe les coordonnées(xⁱ)aux coordonnées(y^j(xⁱ))alors si :

X(p) =Xⁱ(p) ∂

∂xⁱ(p) =Yⁱ(p) ∂

∂yⁱ(p) On a

Y^j(p) = ∂y^j

∂x^j(p)Xⁱ(p)

Proposition

L’espace TangentTpMest un espace vectoriel de dimensionnet l’ensemble{_∂x^∂i|pi=1, ...,n}

forme une base deTpMen coordonnées locales .

Exemple

Soitγ:I→Sⁿ une courbe sur la sphère unité dansRⁿ⁺¹tel queγ(0) =petγ(0) =˙ X. La courbe satisfait à⟨γ(t), γ(t)⟩=1, alors :

⟨γ(t), γ(t)⟩˙ +⟨γ(t),γ(t)⟩˙ =0

donc⟨p,X⟩=0, c’est-à dire tout vecteur tangentX∈TpSⁿest orthogonal àp. D’autre part , si X̸=0tel que⟨p,x⟩=0, alorsγ:R→Sⁿavec

γ:t→cos(t|X|).p+ sin(t|X|). X

|X|

est une courbe surSⁿ avecγ(0) =petγ(0) =˙ x. Par conséquent :

TpSⁿ ={X∈Rⁿ⁺¹/⟨p,x⟩=0}

Une forme (ou covecteur) enp∈M est une forme linéaire surTpM, c’est-à-dire une application linéaire :

ωp:TpM→R Xp7→ω_p(X_p)

On noteω_p(X_p) =⟨ω_p,Xp⟩le crochet étant ici le crochet de dualité.

Définition

L’espace cotangent àMenp, notéT_p^∗Mest l’espace vectoriel des formes en p. C’est l’espace vectoriel dual deTpM( C’est-à-direT_p^∗M= (T_pM)^∗)

Exemple

Soitg:M→Rune fonction différentiable surM. Alors, en identifiantTtRavec R, la différentielle de genp,dgp:TpM→R, peut etre vue comme une 1-forme.

Cet exemple justifie les notations ci-dessous en coordonnées. Rappelons d’abord que, sie1, ...,en

est la base d’un espace vectorielV, il existe une unique base dualee^∗₁, ...,e^∗_n du dualV^∗telle que e^∗_i(e_j) =δ_ij.

Considérons maintenant des coordonnées localesφ= (x¹, ...,xⁿ)enpetdxⁱ_p:T_pM→Rla différentielle de la i-ème coordonnées (on identifie de nouveauTtRavecR). Par définition dxⁱ_p(Xp) =Xp.xⁱ. En particulier, pour tout couplei,j:

⟨dxⁱ_p, ∂

∂x^j|p⟩=dxⁱ_p( ∂

∂x^j|p) = ∂xⁱ

∂x^j|p=δij

Ainsidx¹_p, ...,dxⁿ_p est une base deT_p^∗M duale de la base_∂x^∂1|p, ...,_∂x^∂n|pdeTpM.

Une base de l’espace cotangent :

Localement, au dessus d’un ouvertUd’une carte locale(U, ϕ),{^∂_xi(p)}est une base deTpMpour toutp∈U. On note{dxⁱ_|p}sa base duale. Cette écriture se justifie en effet par la définition de la différentielle, puisque lesxⁱsontnfonctions définies localement surMet puisqu’on a par définition même de la différentielle

⟨dxⁱ_|p,∂

xⁱ(p)⟩=∂x^j

∂xⁱ(p) =δ^j_i Alors dans cette base ,

df_|p= ∂f

∂xⁱ(p)dxⁱ_|p

Soitϕune application de classeC¹définie au voisinage d’un pointpd’une variétéMà valeurs dans une variétéN.

Définition

On définit une unique application linéaire, appelée application tangente àϕet notéeTpϕdéfinie de T_pMà valeurs dansT_ϕ(p)N, vérifiant

dϕ(p)f ◦T_pϕ=d_p(f ◦ϕ) pour toute fonctionf ∈C^∞(N)

De même, on définit une unique application linéaire, appelée application cotangente àϕet notée T_p^∗ϕdéfinie deT_ϕ^∗(p)Nà valeurs dansT_p^∗M, vérifiant :

T_p^∗ϕ(d_ϕ(p)ϕ=dp(f ◦ϕ) L’application cotangent est la transposée de la tangente.

Soientϕetψdeux applications différentiables.

i) On aTp(ϕ◦ψ) =T_ψ(p)ϕTpψ

ii) Sicest une courbe, alorsT_c(t0)ϕ(c(t₀)) = (ϕ◦c)(t₀)

iii) SoitX= (x¹, ...,xⁿ)des coordonnées locales au voisinage dep. SoitY = (y¹, ...,y^p) sont des coordonnées locales au voisinage deϕ(p). posonsϕ_j=yj(ϕ)Alors les coefficients de la matrice deTpϕdans les bases associées aux coordonnées sont

∂ϕj

∂x .

Définition

L’ensemble{TM= (p,Xp),p∈M,Xp∈TpM}est appelé le fibré tangent de la variétéM . de même l’ensemble{T^∗M = (p, ω_p),p∈M, ω_p∈T_p^∗M}est appelé le fibré cotangent deM. Le fibré tangent est l’union des espaces tangents :

TM=∪_p∈Mp×T_pM ou simplement ∪_p∈MpT_pM

mais il faut bien préciser que cette union est disjointe : on ne peut pas additionner des élémentsXp

etYp₀appartenant à des espaces tangents différents.

On appelle projection canonique surTMla projection :

π: TM→M (p,Xp)7→p et la fibre au-dessus de p la pré-imageπ⁻¹(p) ={p} ×TpM d’un pointp

Référence

F.Lamourie.Géométrie différentielle, 25 Septembre 2013.

F.JEAN.Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique,2011/2012.

M. BERGER, B. GOSTIAUX.Géométrie différentielle:Deuxième édition,Collection

Mathématiques. Presses Universitaires de France, Paris, (1992).

H. Cartan.Calcul différentiel Hermann, 1967.

S. Gudmundsson.An introduction to Riemannian geometry, Lund University ,2000.