Lorenzo Ramero

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Lorenzo Ramero

Dernière mise-à-jour : 25 Mars 2022

LES PRESSES INSOUMISES

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Lorenzo Ramero

Laboratoire de Mathématiques Paul Painlevé Université de Lille

Cité Scientifique – Bâtiment M2 F-59655 Villeneuve d’Ascq cedex FRANCE

Courriel : [email protected]

Les Presses Insoumises Punk Publishing House

[email protected]

Imprimé en Avril 2022 par Dupliprint Mayenne 733, rue Saint-Léonard 53100 Mayenne

Dépôt Légal : Avril 2022 ISBN : 979-10-699-9068-5

La reproduction partielle ou totale de cet ouvrage est consentie, exclusivement pour un usage non commercial.

Le texte intégral peut être téléchargé gratuitement à partir du site web de l’auteur :

https://pro.univ-lille.fr/lorenzo-ramero/publications/

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From the most able, to him that can but spell : there you are number’d. We had rather you were weighed ; especially, when the fate of all bookes depends upon your capacities and not of your heads alone, but of your purses. Well ! It is now publique, & you wil stand for your priviledges wee know : to read, and censure. Do so, but buy it first. That doth best commend a Booke, the Stationer saies. Then, how odde soever your braines be, or your wisedomes, make your licence the same, and spare not. Judge your six-pen’orth, your shillings worth, your five shillings worth at a time, or higher, so you rise to the just rates, and welcome. But, whatever you do, Buy. Censure will not drive a Trade, or make the Jacke go. And though you be a Magistrate of wit, and sit on the Stage at Black-Friers, or the Cock-pit, to arraigne Playes dailie, know, these Playes have had their triall alreadie, and stood out all Appeales ; and do now come forth quitted rather by a Decree of Court, then any purchased letters of commendation.

[from the preface of theFirst Folio, the first collected edition of Shakespeare’s plays, published posthumously in London, in 1623]

Voulez-vous maintenant que vos enfants donnent dans les mathématiques ? je ne vous en détournerai pas si vous y tenez, mais il faut que l’enseignement en soit fait avec précaution et avec prudence, c’est-à-dire dans un appartement intérieur, sans se permettre de tracer sur les planchers, sur les murs, de figures de géométrie, de caractères ou grimoire d’algèbre. Il ne faut scandaliser personne ; et surtout on doit se garder de donner une réputation de sorcellerie à la maison d’un magistrat.

[extrait de Histoire des Français des divers états, de Amans-Alexis Monteil, publié à Paris en 1843]

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Invocation des Ténèbres . . . iii

1. Bélierà. . . 1

1.1. Anneaux, idéaux, modules . . . 1

1.2. Fonctions continues sur un espace topologique . . . 9

1.3. Spectre maximal et spectre premier . . . 13

1.4. Théorie élémentaire des corps . . . 22

1.5. Le langage catégoriel . . . 39

1.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . 50

2. Taureauá. . . 69

2.1. Le lemme de Yoneda . . . 69

2.2. Limites et colimites . . . 79

2.3. Foncteurs exacts . . . 90

2.4. Catégories abéliennes . . . 104

2.5. Premiers pas dans l’algèbre homologique . . . 117

3. Gémeauxâ. . . 160

3.1. Produit tensoriel de modules . . . 161

3.2. Restriction et extension des scalaires . . . 167

3.3. Localisation et lemme de Nakayama . . . 174

3.4. Produit tensoriel d’algèbres . . . 184

3.5. Modules plats et algèbres plates . . . 191

4. Cancerã. . . 224

4.1. Les théorèmes de Gabriel-Popescu et de Freyd-Mitchell . . . 225

4.2. Espaces spectraux. . . 243

4.3. Préfaisceaux et faisceaux . . . 254

4.4. Modules projectifs et groupes de Picard . . . 265

4.5. Fibrés vectoriels et théorème de Swan . . . 273

5. Lionä. . . 310

5.1. Homotopies et résolutions . . . 310

5.2. Schémas . . . 328

5.3. Modules quasi-cohérents . . . 339

5.4. Constructions élémentaires de schémas . . . 347

5.5. Immersions, morphismes séparés, et éclatements . . . 357

6. Viergeå. . . 389

6.1. Extensions entières d’anneaux . . . 390

6.2. Homomorphismes quasi-finis et “Main Theorem” de Zariski . . . 398

6.3. Anneaux noethériens . . . 405

6.4. Variétés normales et normalisation . . . 411

6.5. Platitude générique et théorème de Chevalley . . . 421

7. Balanceæ. . . 450

7.1. Idéaux premiers associés à un module . . . 450

7.2. Décomposition primaire . . . 454

7.3. Anneaux noethériens de dimension zéro et un . . . 459

7.4. Un exemple géométrique . . . 465

7.5. Foncteurs dérivés d’un foncteur additif . . . 474

8. Scorpionç. . . 500

i

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8.1. Valuations sur les anneaux . . . 501

8.2. Ordres sur les anneaux et corps formellement réels . . . 510

8.3. Le spectre réel . . . 524

8.4. Le spectre valuatif . . . 537

8.5. Complexes doubles . . . 545

9. Sagittaireè. . . 579

9.1. Anneaux et modules topologiques . . . 579

9.2. Technique de complétion . . . 587

9.3. Complétion et limites inverses . . . 594

9.4. Anneaux de Huber . . . 602

9.5. Le lemme d’Artin-Rees . . . 614

10. Capricorne é. . . 639

10.1. Valuations continues . . . 640

10.2. Anneaux affinoïdes . . . 647

10.3. Foncteurs Toret extension des scalaires . . . 655

10.4. Le critère local de platitude . . . 663

10.5. Le théorème de Gruson et Raynaud . . . 670

11. Verseauê. . . 694

11.1. Série de Hilbert-Poincaré et polynôme de Samuel . . . 695

11.2. Théorie de la dimension des anneaux locaux noethériens . . . 702

11.3. Théorie de la profondeur et modules de Cohen-Macaulay . . . 709

11.4. Complexe de Koszul et dimension projective des modules. . . 721

11.5. Critères de normalité et de factorialité . . . 732

12. Poissonsë. . . 766

12.1. Espaces adiques . . . 767

12.2. Anneaux analytiquement noethériens et algèbres de Tate . . . 777

12.3. Morphismes topologiquement de type fini . . . 792

12.4. Le théorème d’acyclicité de Tate . . . 801

12.5. Applications au spectre valuatif et au spectre adique . . . 815

Références . . . 849

Index. . . 851

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en bien d’autres lieux, il avait passé par la même nuit.

Les mêmes vérités avaient été réapprises plusieurs fois.

Mais l’experience était cumulative : le pas à la longue se faisait plus sûr ; l’œil voyait plus loin dans certaines ténèbres ; l’esprit constatait au moins certaines lois.

Marguerite Yourcenar –L’Œuvre au Noir

Invocation des Ténèbres

S

I vous cherchez une Bible de l’algèbre commutative – un survol complet et systé- matique d’un territoire des mathématiques bien démarqué – mon texte n’est pas pour vous. Ce que je vous propose, c’est plutôt un apprentissage expérimental, dans un atelier d’alambics et chaudrons bouillonnants, où les outils proprement algébriques en côtoient d’autres, récupérés des champs de l’analyse réelle ou complexe, de la topologie générale, de la théorie des nombres, voire de la théorie des représentations.

En fait, le caractère hybride de notre sujet se manifestera dès la première leçon, et nous fournira un motif conducteur inépuisable : car d’un côté, un effet collatéral de nombreuses investigations mathématiques est la production d’une quantité importante d’anneaux, de modules, d’homomorphismes... et les efforts visant à analyser et interpréter ces données n’ont jamais cessé de stimuler le développement de l’algèbre commutative.

Ainsi, un lemme de Stone nous montre que tout espace topologique compact et séparé est déterminé, à homéomorphisme près, par l’anneau de ses fonctions continues à valeurs réelles. De même, si C est une surface de Riemann complexe compacte, et P ∈ C un point arbitraire, les fonctions holomorphes sur C\ {P} et méromorphes en P forment une C-algèbre de type fini qui encode fidèlement la géométrie de C; à l’aide de cet anneau, on peut plonger C dans un espace projectif, et donc la munir d’une structure intrinsèque de courbe algébrique. Voici un autre exemple avec une longue histoire : pour tout corpsKet toute représentation d’un groupeGsur unK-espace vectorielV, on peut considérer l’anneau K[V]^G des fonctions polynomiales sur V qui sont invariantes sous l’action induite de G, et maints problèmes de théorie des invariants se ramènent à des questions sur les propriétés de cet anneau ; en particulier, le célèbre XIVème problème de Hilbert porte sur les conditions que l’on doit imposer surG, afin d’assurer queK[V]^G soit uneK-algèbre de type fini, quel que soitV deK-dimension finie.

De l’autre côté, un des buts principaux de ce cours est l’explication de certains pro- cédés pour transmuter tout anneau (commutatif, associatif et unitaire) en un objet géo- métrique : cela nous permettra d’étudier des questions algébriques par des méthodes géométriques (mais aussi, réciproquement, des questions géométriques par des moyens

iii

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algébriques). Le prototype – et jusqu’à nos jours, l’exemple le plus important – est l’opé- ration qui consiste à associer à chaque anneau sonspectre premier,i.e.l’ensemble de ses idéaux premiers, muni d’une topologie convenable, appelée souventtopologie de Zariski, du nom du premier mathématicien qui a mis en évidence l’utilité de cette construction.

En effet, la notion de spectre premier, et celle de schéma affine qui en dérive naturellement, constituent les piliers sur lesquels se fonde la géométrie algébrique telle qu’elle est conçue aujourd’hui. Mais on s’intéressera aussi auxspectres valuatifs et auxspectres réels des anneaux, qui depuis une trentaine d’années jouent un rôle analogue, respectivement pour la géométrie analytique non-archimédienne et la géométrie semi-algébrique réelle.

Tout au long du parcours, la collaboration du lecteur sera sollicitée, car une proportion importante du matériel présenté ici, y paraît sous forme d’exercices et problèmes de niveaux assez variables, les deuxièmes étant en général plus difficiles que les premiers ; en fait, certains problèmes sont probablement trop durs pour les débutants auxquels ce cours s’adresse en priorité : si vous n’aimez pas les bouquins qui vous interpellent et vous défient de temps en temps, mon texte n’est pas pour vous non plus. D’autre part, pour presque tout problème et exercice je propose des solutions détaillées ; on peut ainsi moduler à souhait son degré d’implication : d’une consultation modérée des solutions pour un entraînement plus sportif, jusqu’à la balade touristique pour les vacanciers de l’algèbre.

Ce Grimoire est l’aboutissement imparfait d’une longue et, en bonne partie, acciden- telle gestation : il s’est d’abord matérialisé sous forme d’un recueil de notes manuscrites, pour des cours au niveau de la deuxième année de Maîtrise que j’ai eu occasion d’ensei- gner à plusieurs reprises à Bordeaux et plus tard à Lille. Son format trahit la cadence hebdomadaire de ses origines orales, avec ses contraintes de temps et les choix pédago- giques que j’ai infligés à mes différents auditeurs ; c’est pourquoi il n’est pas organisé en chapitres (terminologie qui évoque un découpage en unités thématiques), mais plutôt en leçons qui suivent un tracé approximatif, à partir d’une dotation légère de quelques questions initiales, revisitées et enrichies en route, à la lumière des techniques et des théorèmes appris chemin faisant.

Ma référence principale était le classique [2] de Atiyah-Macdonald, et j’avais aussi utilisé le livre [55] de Matsumura comme source secondaire ; même après de nombreux réaménagements, des ajouts et suppressions, je crois que l’on peut encore apercevoir en filigrane l’influence atavique de ces deux textes (surtout du premier). En particulier, le cœur du cours reste toujours la théorie des anneaux noethériens, dans son articulation classique, canonisée au début des années 60 : d’abord les résultats fondateurs de Hilbert (théorème de la base et Nullstellensatz), puis la décomposition primaire de Noether, l’étude détaillée en dimension zéro (anneaux artiniens) et en dimension un (anneaux de Dedekind), les topologies adiques et la technique de complétion, les théories de la dimension et de la profondeur, pour conclure avec les anneaux locaux réguliers et leur caractérisation homologique (théorème de Serre). L’algèbre homologique dont on se sert est développéeab ovo,d’un style minimaliste mais tout à fait rigoureux ; pour la rendre plus digeste, elle est administrée en pilules : en moyenne, une section par leçon, mêlée à du contenu plus appétissant.

Autour de ce noyau, j’ai ajouté un assortiment de sujets détachés : en premier lieu des éléments de théorie des valuations, un sujet assez ancien – son origine remonte au travaux de Krull des années 30 – dont les cotations dans la bourse des valeurs algébriques ont été, pendant longtemps, assez volatiles : aux années 40 elle était au centre des intérêts de Zariski, qui y voyait la clef pour son programme de désingularisation des variétés algébriques ; reléguée, dès les années 60, à l’arrière-plan à la suite de la percée de Hironaka, établissant la désingularisation en caractéristique zéro par des idées et avec un langage différents, entièrement basés sur la nouvelle théorie des schémas ; récupérée aux années 90 pour l’étude des variétés analytiques définies sur les corps ultramétriques, et leurs

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généralisations : lesespaces analytiquesde V.Berkovich et lesespaces adiques de R.Huber.

Ces derniers, en particulier, sont parvenus récemment à se tailler une niche assez centrale dans l’écosystème de la géométrie algébrique et arithmétique, surtout depuis l’entrée en scène fracassante des espaces perfectoïdes de P.Scholze. La douzième et dernière leçon de ceGrimoire se veut comme un point d’accès vers ce nouveau cercle d’idées en plein essor, dont l’importance ne fait plus de doute.

Un autre sujet récurrent sera l’algèbre des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace topologique : il s’agit d’une classe d’anneaux très éloignés de ceux que l’on rencontre lors de l’étude de la géométrie algébrique, dans lesquels on retrouve pourtant des échos étonnants de la théorie noethérienne. Par exemple, le lemme de Stone cité ci-dessus peut se voir comme une contrepartie du Nullstellensatz ; aussi, l’analyse du spectre premier d’une algèbre de fonctions continues révèle d’un côté des analogies avec les anneaux de valuation, et de l’autre côté conduit naturellement à la découverte de toute une panoplie de structures d’intérêt général : notamment, les filtres premiers et les ultrafiltres, les anneaux ordonnés, et enfin la notion de spectre réel d’un anneau.

Certains thèmes du Grimoire n’étaient pas prévus par le plan originaire du projet, mais ont su s’imposer graduellement. C’est le cas de la théorie des catégories, à laquelle j’envisageais initialement de ne consacrer qu’une poignée de digressions rapides ; celles-ci ont fini pourtant par converger et fusionner en un segment autonome, proposant une revue des principales notions catégoriques utiles à l’algébriste : le langage des foncteurs et des transformations naturelles, le lemme de Yoneda, adjonctions, limites et colimites, extensions de Kan, jusqu’aux catégories abéliennes et ses aspects plus profonds, en premier lieu les théorèmes de Gabriel-Popescu et de Freyd-Mitchell. Pour ce dernier j’ai choisi une preuve due essentiellement à Mitchell, s’appuyant sur l’existence d’enveloppes injectives dans toute catégorie de Grothendieck munie d’un générateur ; à son tour, ce résultat est ramené au cas particulier des catégories de modules sur les anneaux associatifs unitaires : nouvelle démonstration de la tentacularité de l’algèbre commutative !

Un autre tel sujet émergent a coalescé autour de la notion de schéma; le Grimoire n’ambitionne pas de remplacer des traités systématiques, mais il développe néanmoins avec soin les bases algébriques et topologiques de la géométrie algébrique : la théorie des faisceaux, les espaces annelés et localement annelés, les modules quasi-cohérents, et les méthodes élémentaires de construction de schémas, par recollement, par produits fibrés, par immersions ouvertes et fermées, et surtout, par la technique fondamentale d’éclatement d’un idéal quasi-cohérent, que l’on employera dans des situations variées, et notamment en un rôle de médiateur entre espaces adiques et schémas. Car d’un côté les éclatements permettent parfois d’attaquer des questions de géométrie adique par la géométrie algébrique, mais aussi, réciproquement, de démontrer des résultats algébro- géométriques par des méthodes adiques (donc, essentiellement, de théorie des valuations), comme illustré parfaitement par la preuve, découverte par K.Fujiwara vers la fin des an- nées 90, du célèbre théorème de Gruson-Raynaud, que l’on détaillera dans notre dixième leçon.

Les prérequis sont assez modestes : une familiarité avec les notions de base relatives aux anneaux et aux idéaux, et plus généralement, l’algèbre élémentaire du niveau de la Licence ; les premiers éléments de la théorie des corps et de la théorie de Galois, nécessaires pour le cours, sont revus rapidement dans la première leçon.

Suggestions, corrections et remarques sont bienvenues !

Je remercie Najib Ouled Azaiez, Benjamin Beutin, Luther Blissett, Niels Borne, Jean- François Burnol, Adrien Cortes, Pietro Corvaja, Covid-19, Mladen Dimitrov, Michel Em- salem, Barbara Fantechi, Raphael Freitas, Ofer Gabber, Hana Hancinova, Roland Huber, Steven Kleiman, Louis Loiseau, Pietro Majer, Mohamed Rafik Mammeri, Dimitri Marku- shevich, William D. Montoya, Laurent Moret-Bailly, Maxime Oger, Pierre-Antoine Oria, Maëva Ostermann, Giulia Pilli, Matthieu Romagny, Gabriele Vezzosi et Andrei Zinovyev

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pour des nombreuses observations très utiles et intéressantes. Mes remerciements aussi à Marie-Claude Vergne et à Fosco Loregian pour leurs assistance avec Photoshop et avec les aspects graphiques de ce projet ; et à Jean-Jacques Derycke et Frédérique Maréchal, qui tout au long des années ont assuré l’impression des versions préliminaires du volume, à l’imprimerie du Laboratoire Painlevé de Lille.

L’image de couverture est basée sur lepentagramme inversé contenu dans le livre “La Clef de la Magie Noire” de l’occultiste francais Stanislas de Guaita (1861–1897). Les signes astrologiques qui ouvrent chaque leçon sont empruntés (à l’exception près du Bélier, Capricorne et Poissons) à une collection d’images numériques réalisées par une équipe du Hubble Space Telescope Institute, à partir de l’ouvrage “Firmamentum Sobiescianum sive Uranographia” de l’astronome polonais Johannes Hevelius (1611–1687). Les autres signes proviennent du “Liber Astronomiae” de l’astrologue italien Guido Bonatti (XIII siècle).

Les deux petits diables qui entourent le logo des Presses Insoumises sont dus au célèbre dessinateur pour enfants A.Grothendieck, et sont conservés à l’Université de Bielefeld, en Allemagne. Ces images sont dans le domaine public. La malédiction qui clôture le volume reproduit celle d’un ancien parchemin de l’Abbaye de Sainte Marie et Saint Nicolas à Arnstein (Allemagne), actuellement dans la collection de la British Library de Londres (MS. Harley 2798) ; son auteur – un obscur moine copiste dont l’histoire n’a gardé que le nom : Lunandus – y promet fièvres pestilentielles, supplice par la roue, meurtre par pendaison, et j’en passe et des meilleurs, à l’intention de toute crapule déplorable qui oserait soustraire ou endommager le fruit de ses labeurs.

Pour finir, ce cours a été rédigé avec l’éditeur de textes LYX, une interface graphique pour le logiciel L^ATEX.

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B

IENVENUE à bord : on démarre notre cours avec une revue du vocabulaire de base de l’algèbre (section 1.1), de la topologie générale (section 1.2), de la théorie des catégories (section 1.5), et avec une présentation rapide de la théorie élémentaire des corps (section 1.4). La troisième section discute les premières propriétés des spectres maximaux et des spectres premiers des anneaux, deux concepts parmi les plus importants dans ce texte, et dans la géométrie algébrique moderne.

1.1. Anneaux, idéaux, modules. Le lecteur aura déjà rencontré les concepts basiques de l’algèbre dans les cours et les textes du niveau de la Licence ; notamment, les notions d’anneau, d’idéal, de module, d’homomorphisme d’anneaux, qu’on ne reproduira pas ici.

Néanmoins, ajoutons que – sauf mention contraire – dans ce cours, tout anneauAsera :

— commutatif :x·y=y·xpour toutx, y∈A

— associatif :x(yz) = (xy)z pour toutx, y, z∈A

— unitaire: il existe 1∈A tel que1·x=x=x·1pour toutx∈A.

Aussi, tout homomorphisme d’anneaux f : A → B préserve les unités : f(1) = 1. On noteraA^× le groupe multiplicatif des éléments inversibles deA. On dira qu’un élément a∈A est :

— nilpotent,s’il existen∈Ntel que aⁿ= 0dansA.

— diviseur de zéro,s’il existeb∈A\ {0} tel queab= 0.

— régulier,s’il n’est pas diviseur de zéro.

On dit queAestintègre (resp. est uncorps) siA6={0}et si tout élément non nul deA est régulier (resp. inversible). On noteraZl’anneau des entiers,Nl’ensemble des entiers positifs ou nuls,Q,RetCles corps des nombres rationnels, réels et complexes.

Un idéal I ⊂ A est principal s’il existe a ∈ A tel que I = Aa := {ab|b ∈ A}.

On dit que I est de type fini, s’il existe a₁, . . . , a_n ∈ A (pour quelque n ∈N) tels que I=Aa₁+· · ·+Aa_n; dans ce cas, l’anneau quotient A/I est aussi dénoté souvent :

A/(a1, . . . , an).

On dit queAest principal si tous ses idéaux sont principaux.¹

Remarque 1.1. Si Aest non commutatif, il faut distinguer entre les idéaux à gauche et à droite : un sous-groupe additif I ⊂A est unidéal à gauche (resp.à droite), si l’on a ab∈I (resp.ba∈I) pour touta∈Aet toutb∈I : voir aussi le§1.1.4.

Exemple 1.2. (i) L’anneauZest principal ; rappelons la preuve : on doit montrer que tout idéalI⊂Zest principal ; siI= 0, l’assertion est triviale, et sinon, soita∈Ile plus petit élément>0. Pour toutb∈Iil existeq, r∈Ztels queb=aq+ret0≤r < a; par suiter∈I, doncr= 0, par la minimalité dea, d’où I=aZ.

1. Ici on suit la tradition anglo-saxonne ; dans la tradition française, un anneau principal est en outre supposéintègrepar définition.

1

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(ii) SiKest un corps, le même argument s’applique à l’anneau des polynômesK[X]: pour tout idéal non nul I ⊂ K[X] on choisit p(X) ∈ I non nul de degré minimal ; si b(X) ∈ I, la division euclidienne nous donne q(X), r(X) ∈ K[X] tels que b(X) = p(X)·q(X) +r(X)avec soit r(X) = 0, soit deg_Xr(X)< deg_Xp(X). Mais r(X) ∈ I, donc finalementr(X) = 0par la minimalité de deg_Xp(X), d’où I=p(X)·K[X]. (Voir le problème 1.37 pour une généralisation.)

1.1.1. Algèbres. UneA-algèbre est une donnée (B, f)constituée d’un anneau B et d’un homomorphisme d’anneaux f : A → B, appelé le morphisme structurel de B. Si le contexte ne donne pas lieu à des ambiguïtés, on notera souvent uneA-algèbre simplement par son anneau sous-jacentB. Unhomomorphisme de A-algèbres

g: (B, f)→(B⁰, f⁰)

est un homomorphisme d’anneauxg:B→B⁰ faisant commuter le diagramme : A

f

||

f⁰

""

B ^g //B⁰

i.e.f⁰=g◦f .

Evidemment, la composition de deux homomorphismes de A-algèbres g : B → B⁰ et g⁰ :B⁰→B⁰⁰ est un homomorphisme deA-algèbres g⁰◦g:B→B⁰⁰. On notera

A−Alg(B, B⁰)

l’ensemble des homomorphismes deA-algèbres B →B⁰. Par exemple, pour toutn∈N, l’anneau des polynômes ànindéterminéesA[X1, . . . , Xn]à coefficients dansAest muni d’une structure canonique de A-algèbre, dont le morphisme structurel est l’inclusion A→A[X₁, . . . , X_n]qui identifieAavec le sous-anneau des polynômes de degré total≤0 (le degré de0 est −1). Aussi, pour tout idéalI⊂A, la projection canoniqueA→A/I munit le quotientA/I d’une structure naturelle deA-algèbre.

Remarque 1.3. (i) Tout anneauAadmet un unique homomorphismeZ→A, donc tout anneau est canoniquement uneZ-algèbre.

(ii) SoitAun anneau,BuneA-algèbre,n∈N, et(b1, . . . , bn)∈Bⁿ. Noter qu’il existe un unique homomorphisme deA-algèbresf :A[X1, . . . , Xn]→Btel quef(Xi) =bipour i= 1, . . . , n: il s’agit de l’homomorphisme défini par

f(P) :=P(b1, . . . , bn) ∀P∈A[X1, . . . , Xn].

Autrement dit, pour touteA-algèbreB et toutn∈Nil existe une bijection naturelle Bⁿ→^∼ A−Alg(A[X1, . . . , Xn], B).

On verra dans la section 2.1 comment cette propriété caractérise A[X1, . . . , Xn] à isomorphisme canonique près.

On dit qu’une A-algèbre B est de type fini, s’il existe un homomorphisme surjectif de A-algèbres π : A[X₁, . . . , X_n] → B, pour quelque n ∈ N. Au vu de la remarque 1.3(ii), cela revient à dire qu’il existe un système fini b_• := (b₁, . . . , b_n) d’éléments de B tel que tout b ∈ B s’écrit sous la forme b = P(b₁, . . . , b_n) pour quelque polynôme P ∈A[X₁, . . . , X_n]; on dit queb_• est unsystème fini de générateurs de laA-algèbreB, et on écrit aussiB=A[b₁, . . . , b_n]. On dit queBest uneA-algèbrede présentation finie, si l’on peut trouver une surjectionπ comme ci-dessus, dont lenoyau Ker(π) :=π⁻¹(0) soit un idéal de type fini ; dans ce casB est isomorphe à un quotient A[X1, . . . , Xn]/I, avecI ⊂ A[X1, . . . , Xn] un idéal de type fini. Si (B, f) est une A-algèbre de type fini (resp. de présentation finie), on dit aussi quef est unhomomorphisme d’anneaux de type fini (resp.de présentation finie).

Exercice 1.4. SiA−→^f B−→^g Csont deux homomorphismes d’anneaux de type fini (resp.

de présentation finie), montrer qu’il en est de même pourg◦f.

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1.1.2. Corps des fractions. Pour tout anneau intègreAon notera par FracA

lecorps des fractions de A. Rappelons qu’il s’agit de l’ensemble desfractions a/b(notées aussib⁻¹a),i.e.des classes d’équivalence de couples (a, b)aveca, b∈A et b6= 0; deux tels couples (a, b),(a⁰, b⁰)sont équivalents ⇔ab⁰ =a⁰b. On définit les lois d’addition et multiplication deFracApar les formules évidentes :

a/b+c/d:= (ad+cb)/bd a/b·c/d:=ac/bd.

On vérifie sans peine que ces lois ne dépendent pas du choix des représentants(a, b),(c, d) poura/betc/d; les éléments neutres de l’addition et de la multiplication sont0/1et1/1, de sorte que−(a/b) = (−a)/bet(a/b)⁻¹=b/asia6= 0. En outre, on a l’homomorphisme injectif d’anneauxA→FracA:a7→a/1; ainsi,FracAest le plus petit corps contenant A, unique à isomorphisme unique près. On laisse les détails au lecteur, car on verra une construction plus générale dans la section 3.3.

1.1.3. Idéaux premiers et maximaux. On rappelle qu’un idéalI⊂Aest dit :

— premier si1∈/I, et six, y /∈I⇒xy /∈Ipour toutx, y∈A.

— maximal si1∈/I, et si les seuls idéaux deAcontenantI sontIet A.

Proposition 1.5. Soient Aun anneau, etI⊂Aun idéal. On a : (i) I est premier si et seulement siA/I est un anneau intègre.

(ii) I est maximal si et seulement si A/I est un corps.

(iii) Tout idéal maximal est premier.

Démonstration. (i) : Soientx, y∈A, et notonsx,¯ y¯∈A/I les classes dexety. Supposons que x,¯ y¯ 6= 0, de sorte que x, y /∈ I; si maintenant I est premier, on déduit xy /∈ I, et doncx¯·y¯6= 0, ce qui montre queA/I est intègre. Réciproquement, siA/I est intègre, il vient x¯·y¯6= 0,i.e.xy /∈I, et alors Iest premier.

(ii) : Soitx∈A\I, de sorte quex¯ 6= 0. SiA/I est un corps, il existe y ∈Atel que

¯

x·y¯= 1dansA/I, doncxy−1∈I, d’oùI+Ax=A; puisquexest arbitraire, on déduit que les seuls idéaux qui contiennent I sontI et A, i.e.I est maximal. D’autre part, si I est maximal, l’hypothèse x /∈I implique que l’on aI+Ax=A, donc il existe a∈I, y∈Atel quexy+a= 1, d’où¯x·y¯= 1, ce qui montre queA/I est un corps. L’assertion

(iii) découle aussitôt de (i) et (ii).

Définition 1.6. Pour tout anneauA, on dénote :

— MaxAl’ensemble des idéaux maximaux de A(spectre maximal deA)

— SpecA l’ensemble des idéaux premiers deA(spectre premier deA).

Un des objectifs de ce cours est d’expliquer pourquoiMaxAetSpecAsont des “objets géométriques”. D’après la proposition 1.5(iii), on a :

MaxA⊂SpecA.

Lemme 1.7. Pour tout idéalI⊂A on a une bijection canonique :

{idéauxJ deA tels queI⊂J} ←→ {idéaux deA/I} (J ⊂A)7→(J/I⊂A/I).

Cette bijection induit par restriction des bijections :

{p∈SpecA|I⊂p} ←→SpecA/I {m∈MaxA|I⊂m} ←→MaxA/I.

Démonstration. Soitπ:A→A/Ila projection canonique ; la bijection réciproque associe à tout idéalJdeA/I, l’idéalπ⁻¹(J)⊂A. Sipest un idéal deAet siI⊂p, la composition des projectionsA→A/I→(A/I)/(p/I)est surjective, avec noyaup; par suite elle induit un isomorphisme d’anneaux A/p→^∼ (A/I)/(p/I), doncA/p est intègre (resp. un corps) si et seulement si (A/I)/(p/I)est intègre (resp. un corps), et avec la proposition 1.5 on déduit quepest premier (resp. maximal) dansAsi et seulement sip/I est premier (resp.

maximal) dansA/I.

(14)

Exercice 1.8.SoitA un anneau principal intègre. Montrer queSpecA={0} ∪MaxA.

Définition 1.9. SoientAun anneau, eta∈Aun élément non nul.

(i) On dit queaestpremier si l’idéalAaest premier.

(ii) On dit queaestréductible, s’il est le produit de deux éléments non inversibles de A. On dit queaestirréductible, s’il est non réductible et non inversible.

(iii) On dit queAestfactoriels’il est intègre et si tout élément non nul et non inversible deA s’écrit comme produit d’éléments premiers.

Remarque 1.10. (i) SoitAun anneau. Dans la suite, on utilisera la notation·|· pour la relation de divisiblité dansA: donc,a|bveut dire quea, b∈Aet b∈Aa. Il est clair que tout élément premier deAest irréductible, et siAest factoriel, tout élément irréductible deA est premier.

(ii) SiA est factoriel et sia∈A\ {0}, la factorisationa=up₁· · ·p_tavecu∈A^× et p₁, . . . , p_t éléments premiers estessentiellement unique : si a =vq₁· · ·q_s est une autre telle factorisation, on as=t et il existe une permutation

σ:{1, . . . , t}→ {1, . . . , t}^∼ telle que p⁻¹_i q_σ(i)∈A^× ∀i= 1, . . . , t.

Pour la preuve, on raisonne par récurrence surt: on at= 0si et seulement sia∈A^×, et dans ce cas il est clair ques= 0. Supposons quet≥1et que l’unicité des facteurs soit déjà connue pour les produits det−1 éléments premiers ; puisquep1 est premier, on a p1|qi pour quelquei≤s, et quitte à permuter les facteurs on peut supposer quei= 1.

Il existe alorsw ∈ A avecq1 = p1w, d’où w ∈ A^× et a⁰ :=up2· · ·pt = vw·q2· · ·qs; par hypothèse de récurrence, on a l’unicité de la factorisation dea⁰ à permutation des facteurs près, d’où de même poura.

(iii) Soient n ∈ N\ {0} et (a₁, . . . , a_n) ∈Aⁿ\ {(0, . . . ,0)}; on dit que d∈ A\ {0}

est unplus grand commun diviseur (abrégépgcd) dea₁, . . . , a_n, sia₁, . . . , a_n∈dAet si pour toutb∈Aaveca₁, . . . , a_n∈bA, on ad∈bA. Symétriquement, e∈A\ {0}est un plus petit commun multiple (abrégé ppcm) dea₁, . . . , a_n sie∈Aa₁∩ · · · ∩Aa_n et si pour toutc∈Aa1∩ · · · ∩Aan on ac∈Ae;i.e.Ae=Aa1∩ · · · ∩Aan. SiAest intègre, le pgcd et le ppcm dea1, . . . , an, quand ils existent, sont déterminés à multiplication d’éléments inversibles près : car sidetd⁰ sont deux pgcd dea1, . . . , an, on ad⁰|detd|d⁰,i.e.d=d⁰u, d⁰ = dv pour quelque u, v ∈ A, d’où d = duv, et donc uv = 1, car A est intègre ; on raisonne de même pour le ppcm.

(iv) Si Aest intègre et sippcm(a, b)existe, alorspgcd(a, b)existe, et on a : pgcd(a, b)·ppcm(a, b) =ab

à multiplication d’éléments inversibles près,i.e.sieest un ppcm deaetb, alorse⁻¹ab∈A est un pgcdde a et b : en effet, il existe d ∈ A tel que ab = ed, et puisque d’un côté a|e, il s’ensuit qued|b, et de l’autre côté,b|e, doncd|aaussi. Or, sicdiviseaetb, disons a=cx,b=cy, on voit quecxyest un multiple commun deaetb, donce|cxy, et puisque ed=c·cxy, il vientc|d, comme souhaité. (D’autre part, l’existence du pgcd n’entraîne pas celle du ppcm : voir la remarque 1.133).

(v) Si A est factoriel, tout couple (a, b) d’éléments de A\ {0} admet un pgcd et un ppcm. En effet, grâce à (iv) il suffit de montrer l’existence du ppcm ; soient donc a = up^ν₁¹· · ·p^ν_k^k et b = vp^µ₁¹· · ·p^µ_k^k des factorisations avec u, v ∈ A^×, νi, µi ∈ N et pi premier pour tout i = 1, . . . , k, avec Api 6= Apj pour i 6= j. Compte tenu de (ii), on voit aisément queQk

i=1p^max(ν_i ⁱ^,µⁱ⁾ est un ppcm de a et b; on déduit également que Qk

i=1p^min(ν_i ⁱ^,µⁱ⁾est un pgcd deaet b: les détails sont laissés au lecteur.

Exercice 1.11. (i) Montrer que l’anneau Z[√

−5]n’est pas factoriel.

(ii) SoitAun anneau intègre ; montrer que tout couple d’éléments deA\ {0} admet unpgcd⇔tout couple d’éléments deA\ {0} admet un ppcm.

(iii) SoientAun anneau intègre,d∈A, etp1, . . . , pnune suite finie d’éléments premiers deA tels qued|Qn

i=1pi. Montrer qued=u·Q

i∈Λpi, avecu∈A^× etΛ⊂ {1, . . . , n}.

(15)

1.1.4. Modules. Rappelons aussi quelque notation et terminologie concernant lesA-modules. La discussion de ce paragraphe s’applique même aux anneauxAnon commutatifs, et en fait, pour certaines constructions que l’on rencontrera dans la section 4.1, il importe de pouvoir disposer d’un formalisme incluant les modules sur un anneau non commutatif.

Donc,jusqu’à la fin de ce paragraphe, soitA:= (A, µA)un anneau associatif et unitaire, avec loi de multiplicationµA:A×A→A. Dans ce cadre plus général, il faut distinguer entreA-modules à gaucheetA-modules à droite, selon que la loi de multiplication scalaire est notée à gauche ou à droite :

A×M ^µ

g

−−→M M : (a, x)7→ax et respectivement M ×A ^µ

d

−−→M M : (x, a)7→xa.

Noter que la condition d’associativité pour la multiplication scalaire est différente dans les deux cas, car on aura(ab)·x=a·(bx)et respectivementx·(ab) = (xa)·b. On peut toutefois unifier la discussion des modules à gauche et à droite, par la construction suivante. Soit Aôp l’anneau associatif et unitaire dont le groupe abélien sous-jacent coïncide avec A, et avec loi de multiplication µôp_A :A×A→A telle que µôp_A(a, b) :=µ_A(b, a) pour tout a, b∈A. Parfois on noteraaôp pour signaler que l’on regarde a∈Acomme un élément deAôp; avec cette notation, on a alors :

aôp·bôp:= (ba)ôp ∀a, b∈A.

On appelle(Aôp, µôp_A)l’anneau opposédeA. Cela posé, à toutA-module à droite(M, µ^d_M) on peut associer leAôp-module à gaucheMôp:= (M, µ^g_M)dont le groupe abélien sous- jacent coïncide avec M, et avec loi de multiplication scalaire telle que µ^g_M(a, x) :=

µ^d_M(x, a) pour touta∈A et toutx∈M; de même, on écrira parfois x^op pour signaler que l’on regardexcomme un élément deM^op, et alors on a :

aôp·xôp:= (xa)ôp ∀a∈A,∀x∈M.

Evidemment, (Aôp)ôp = A, et (Môp)ôp = M; on obtient ainsi une bijection naturelle entre A-modules à droite etAôp-modules à gauche. En outre, tout homomorphismef : A → B d’anneaux associatifs unitaires induit un homomorphisme opposé fôp :Aôp → Bôp qui n’est que la même application f sur les groupes abéliens sous-jacents, et toute applicationA-linéaireg:M →N deA-modules à gauche induit de même uneapplication Aôp-linéaire opposée gôp : Môp → Nôp qui n’est que g sur les groupes abéliens sous- jacents. Par suite, dans notre cours on traitera généralement de A-modules à gauche, donc on omettra de préciser cette qualification par la suite, sous-entendant que tout raisonnement sur lesA-modules à gauche s’applique, par le biais de cette construction, également aux modules à droite.

• En particulier, A est à la fois unA-module et un A^op-module, avec les lois telles queµ^g_A(a, x) :=ax etµ^d_A(x, a) :=xapour tout a, x∈A. Un idéal deAest censé être un sous-module deA, et il est clair que les idéaux à gauche (resp. à droite) sont précisément les sous-A-modules (resp. les sous-A^op-modules) deA. Donc lorsqu’il s’agira d’anneaux non commutatifs, le terme « idéal » sera reservé, sauf mention contraire, aux idéaux à gauche, sous-entendant que toute discussion des idéaux à gauche s’applique de même aux idéaux à droite.

• D’autre part, soit I ⊂ A un sous-groupe additif, et munissons le quotient A/I de la loi d’addition induite par A, de sorte que la projection p : A → A/I soit un homomorphisme de groupes abéliens ; pour que A/I soit aussi muni d’une structure d’anneau associatif et unitaire, de sorte que psoit un homomorphisme d’anneaux associatifs, il faut et il suffit que I soit un idéal bilatère, i.e. à la fois à gauche et à droite.

Un exemple important d’idéal bilatère est le sous-groupe additif J ⊂A engendré par la partie{a(bc−cb)d|a, b, c, d∈A}; noter que le quotient

C(A) :=A/J

(16)

est un anneau commutatif : en fait, on voit aussitôt queC(A)estle plus grand quotient commutatif deA: le morphisme structurel de touteA-algèbre commutativeBse factorise à traverspet un unique homomorphisme d’anneauxC(A)→B.

• Si M, N sont deuxA-modules, unhomomorphisme deA-modules f :M →N est une applicationA-linéaire deM dansN, et on notera

Ker(f) :=f⁻¹(0)⊂M (lenoyau def) Im(f) :=f(M)⊂N (l’image def) Coker(f) :=N/f(M) (leconoyau def).

Rappelons quef est injectif (resp. surjectif) si et seulement siKerf = 0(resp.Cokerf = 0). On dit que f est unisomorphisme deA-modules s’il est bijectif, le cas échéant l’application réciproquef⁻¹:N →M est aussiA-linéaire.

• Soient M un A-module, I ⊂ A un idéal à gauche et J ⊂ A un idéal à droite ; l’annulateur deM dans Aet l’annulateur deJ dansM sont respectivement

AnnA(M) :={a∈A|ax= 0∀x∈M} AnnM(J) :={x∈M|ax= 0∀a∈J}.

Ainsi,AnnA(M)est un idéal bilatère de A, etAnnM(J)est un sous-module de M. On dit queM estfidèle, siAnnA(M) = 0. SiAest commutatif, on pose aussi

AnnA(x) := AnnA(Ax) AnnM(a) := AnnM(Aa) ∀x∈M, ∀a∈A.

i.e.AnnA(x) ={a∈A|ax = 0} (resp.AnnM(a) ={x∈M|ax = 0}) est l’annulateur de x dans A (resp. de a dans M). On dit que M est sans torsion, si AnnA(x) = 0 pour toutx∈M\ {0}. On dit queaestM-régulier siAnnM(a) = 0. Noter que s’il existe un A-moduleM 6= 0sans torsion, alorsA est un anneau intègre.

• On dénote par IM ⊂ M le sous-module engendré par {am|a ∈ I, m ∈ M}.

En particulier, si I, I⁰ ⊂ A sont deux idéaux, alors II⁰ ⊂ A est l’idéal engendré par {ab|a ∈ I, b ∈ I⁰}; de même, si (B, f : A → B) est une A-algèbre, alors IB dénote l’idéal à droite de B engendré par f(I) (et IB est un A-sous-module à gauche de B, pour la structure deA-module induite parf : voir le §3.2.2 pour plus de détails).

Exemple 1.12. SoitΛ un ensemble,M•:= (Mλ|λ∈Λ)une famille deA-modules.

(i) Leproduit direct de la familleM•, noté : Q

λ∈ΛMλ

est l’ensemble des suites(mλ|λ∈Λ)avecmλ∈Mλ pour toutλ∈Λ. Il est muni d’une structure deA-module naturelle : à savoir, sim•:= (mλ|λ∈Λ) et m⁰_• := (m⁰_λ|λ∈Λ) sont deux suites, eta∈Aun élément, on pose

m•+m⁰_•:= (mλ+m⁰_λ|λ∈Λ) a·m•:= (a·mλ|λ∈Λ).

LeΛ-support de(mλ|λ∈Λ)est la partie {λ∈Λ|mλ6= 0}.

(ii) Lasomme directe deM_• est leA-sous-module deQ

λ∈ΛM_λ noté L

λ∈ΛMλ

et constitué des suites dont leΛ-support est un ensemble fini.

(iii) Si Mλ=M pour toutλ∈Λ, on écrit aussi M^Λ et M^(Λ)

pour le produit direct et respectivement la somme directe de la famille (Mλ|λ ∈ Λ).

Noter que M^Λ n’est rien d’autre que l’ensemble des applications Λ → M, et sa loi d’addition est donnée par la somme d’applications : pourf, g: Λ→M et tout λ∈Λ on pose(f+g)(λ) :=f(λ) +g(λ); de même, (a·f)(λ) :=a·f(λ)pour touta∈A.

(iv) En particulier,A^(Λ) est leA-module libre sur l’ensemble Λ; il admet un système de générateurs(e^λ_•|λ∈Λ) appelé la base canonique de A^(Λ) : à savoir, e^λ_• est l’unique suite telle quee^λ_λ= 1et e^λ_µ = 0, pour toutλ, µ∈Λavec λ6=µ. Si A6= 0, cette famille

(17)

est évidemment en bijection naturelle avecΛ, et siA= 0, on a A^Λ =A^(Λ) ' {0} pour tout Λ, ete^λ_• = 0pour toutλ∈Λ.

Définition 1.13. SoitM unA-module. On dit queM est :

— de type fini,s’il est engendré par une partie finie{m1, . . . , mk} ⊂M;i.e.: M ={a1m1+· · ·+akmk|a1, . . . , ak ∈A}.

— cyclique,s’il est isomorphe àA/I, pour un idéalI⊂A

— libre de rang fini,s’il existen∈Net un isomorphismeAⁿ→^∼ M deA-modules

— de présentation finie, s’il est isomorphe au conoyau d’une application A-linéaire L→L⁰ avecLet L⁰ libres de rang fini.

Remarque 1.14. (i) Evidemment, un A-module est de type fini si et seulement s’il est isomorphe à un quotient d’unA-module libre de rang fini.

(ii) Pour toutA-modulesM etN, on notera HomA(M, N)

l’ensemble des applicationsA-linéairesM →N. Il est contenu dans leA-moduleN^M de l’exemple 1.12(iii), et on voit aisément qu’il est même un sous-module de ce dernier, si A est commutatif. Plus généralement, considérons lecentre deA :

Z(A) :={a∈A|ab=ba∀b∈A}.

EvidemmentZ(A)est un sous-anneau commutatif deA, etN^M est alors aussi unZ(A)- module, par restriction de scalaires ; on voit aisément queHomA(M, N)est un sous-Z(A)- module de N^M, et on muniraHomA(M, N)de la structure de Z(A)-module héritée de N^M. En particulier, avecM =N, on obtient leZ(A)-module

End_A(M) := Hom_A(M, M) desendomorphismesA-linéaires duA-moduleM.

(iii) Toute applicationA-linéaire u:M⁰→M induit des applications u^∗: Hom_A(M, N)→Hom_A(M⁰, N) f 7→f ◦u u_∗: Hom_A(N, M⁰)→Hom_A(N, M) f 7→u◦f qui sont évidemmentA-linéaires, siAest commutatif.

(iv) Si(M_λ|λ∈Λ)est une famille deA-modules, on a l’identification naturelle ω_M_•_,N :Q

λ∈ΛHom_A(M_λ, N)→^∼ Hom_A(L

λ∈ΛM_λ, N) pour toutA-moduleN associant à toute suite (φ_λ:M_λ→N|λ∈Λ)l’homomorphisme de A-modules

L

λ∈ΛM_λ→N (m_λ|λ∈Λ)7→P

λ∈Λφ_λ(m_λ).

Si Aest commutatif,ωM_•,N est un isomorphisme deA-modules.

(v) SiM⁰ et M⁰⁰ sont deux sous-modules duA-moduleM, la partie M⁰+M⁰⁰:={x⁰+x⁰⁰|x⁰∈M⁰, x⁰⁰∈M⁰⁰}

est le plus petit sous-module deM contenantM⁰∪M⁰⁰. De plus, la projection naturelle M⁰+M⁰⁰→(M⁰+M⁰⁰)/M⁰⁰se restreint en une surjection M⁰ →(M⁰+M⁰⁰)/M⁰⁰ dont le noyau estM⁰∩M⁰⁰, d’où un isomorphisme canonique deA-modules :

M⁰ M⁰∩M⁰⁰

→∼ M⁰+M⁰⁰ M⁰⁰ .

(18)

1.1.5. Bimodules. SoientAet B deux anneaux associatifs unitaires. On appelle (A, B)- bimodule toute donnée (M, µ^g_M, µ^d_M) constituée d’un groupe abélien M muni à la fois d’une structure(M, µ^g_M)deA-module à gauche, et d’une structure(M, µ^d_M)deB-module à droite, avec la condition de compatibilité :

(a·x)·b=a·(x·b) ∀a∈A,∀x∈M,∀b∈B.

SiA est commutatif, tout A-module(M, µ_M)admet une structure naturelle de (A, A)- bimodule, dont la loi de multiplication scalaire à droite est l’opposéeµ^op_M de celle deM, comme expliqué au §1.1.4, de sorte quea·x=x·apour toutx∈M et touta∈A; on dira que(M, µ_M, µ^op_M)est le(A, A)-bimodule associé à(M, µ_M).

En outre, tout anneau associatifAest naturellement un(A, A)-bimodule, pour les lois évidentes de multiplication scalaire à gauche et à droite héritées de l’anneau A. Aussi, l’opposéMôp de tout(A, B)-bimoduleM est un(Bôp, Aôp)-bimodule.

Unhomomorphismef :M →Nde(A, B)-bimodulessera évidemment une application qui est à la foisA-linéaire à gauche et B-linéaire à droite ; on dit alors aussi que f est (A, B)-linéaire. L’ensemble de ces homomorphismes sera noté :

Hom(A,B)(M, N).

Noter l’identification naturelle :

Hom_(A,B)(M, N)→^∼ Hom_(Bop,Aôp)(Môp, Nôp) u7→uôp

associant à toute application(A, B)-linéaire u:M →N la même application, que l’on regarde comme une application(Bôp, Aôp)-linéaireMôp→Nôp.

Remarque 1.15. (i) La construction suivante nous sera utile dans la section 3.2. Soit C un troisième anneau associatif unitaire, et considérons un (A, B)-bimodule M et un (C, B)-moduleN; en particulier, M et N sont deuxB^op-modules (à gauche), donc on peut former l’ensembleHomB^op(M, N)comme dans la remarque 1.14(i) ; mais dans cette situation, on gagne une structure naturelle de(C, A)-bimodule sur cet ensemble, avec les lois de multiplication scalaire telles que

(c·u·a)(x) :=c·u(ax) ∀c∈C,∀u∈HomB^op(M, N),∀a∈A.

(ii) De même, siM est un(B, A)-bimodule et siN est un(B, C)-bimodule, on a une structure naturelle de(A, C)-bimodule surHom_B(M, N), avec les lois :

(a·u·c)(x) :=u(xa)·c ∀a∈A,∀u∈Hom_B(M, N),∀c∈C.

Noter aussi l’identification naturelle de(C^op, A^op)-bimodules :

Hom_B(M, N)ôp→^∼ Hom_Bop(Môp, Nôp) u7→uôp. Les vérifications détaillées sont confiées aux soins du lecteur.

1.1.6. Anneaux gradués. Soit (Γ,+,0) un groupe abélien ; un anneau Γ-gradué est la donnée d’un anneauA et une décomposition du groupe abélien additif sous-jacent àA comme somme directe de sous-groupes(Aγ|γ∈Γ)

A=L

γ∈ΓAγ

appelés lescomposantes homogènes deA, tels que

Aγ·Aδ⊂Aγ+δ ∀γ, δ∈Γ

(i.e.le produit d’éléments homogènes de degrés γ et respectivementδ est homogène de degréγ+δ). Si Γ =Zet siAn= 0pour toutn <0, on dit queAest N-gradué.

Exercice 1.16. Dans la situation du §1.1.6, montrer que1∈A0.

(19)

Avec l’exercice 1.16, il est clair que A₀ est un sous-anneau deA; en outre, si A est N-gradué, la partie

A₊:=L

n≥1A_n

est un idéal de A. Si A est un anneauΓ-gradué, un A-module Γ-gradué est la donnée d’unA-moduleM et une décomposition du groupe abélien sous-jacent àM :

M =L

γ∈ΓMγ

par des sous-groupes (M_γ|γ∈Γ)appelés lescomposantes homogènes deM,tels que Aγ·Mδ ⊂Mγ+δ ∀γ, δ∈Z.

Ainsi, chaque Mγ est un A0-module. SoientM, N deux A-modulesΓ-gradués ; un morphisme de A-modules gradués f :M →N est une applicationA-linéaire avecf(M_γ)⊂ N_γ pour tout γ ∈ Γ. De même, un morphisme u: A → B d’anneaux gradués est un homomorphisme d’anneaux avecu(A_γ)⊂B_γ pour toutγ∈Γ.

Exemple 1.17. (i) Pour tout anneau R et n ∈ N, la R-algèbre R[T₁, . . . , T_n] des polynômes ànindéterminées estN-graduée : sa composante homogène de degrékest le R-sous-module engendré par les monômes de degré totalk, pour toutk∈N.

(ii) Mais on peut aussi munirR[T₁, . . . , T_n]de graduations plus exotiques : on choisit arbitrairement des entiers ν1, . . . , νn, et on déclare que l’indéterminéeTi est un élément homogène de degré νi, pour tout i = 1, . . . , n. Avec cette graduation, la composante homogène de degrék∈Zest leR-sous-module libre engendré par le monômesT₁^µ¹· · ·T_n^µⁿ tels que ν1µ1+· · ·+νnµn = k. Voir l’exercice 11.19 et le problème 11.115 pour des applications de ces graduations non standards.

Exercice 1.18. SoientA:=L

n∈ZAnun anneauZ-gradué intègre,i∈Z, etx∈Ai\{0}, y∈Ai+1\ {0}avecpgcd(x, y) = 1. Montrer quex+y est un élément irréductible deA.

1.2. Fonctions continues sur un espace topologique. La définition ci-dessous et l’exemple suivant ont pour but de rappeler les notions de base de la topologie élémentaire, et d’en fixer les notations et la terminologie qui seront d’usage constant dans tout le cours.

Définition 1.19. (i) Unetopologie sur un ensembleT est la donnée d’une familleT de parties deT soumise aux conditions suivantes :

— ∅, T ∈T.

— Pour toute partieU ⊂T, on a S

U∈UU ∈T.

— Pour toute partie finie U ⊂T, on a T

U∈U U ∈T.

(ii) Unespace topologique est la donnée(T,T)d’un ensembleT et d’une topologieT sur T. Les points deT sont les éléments deT, et les éléments de T s’appellentparties ouvertes deT; une partieF deT est fermée,siT\F est ouverte. Une partie ferméeZ est réductible,si elle est la réunion des deux parties fermées strictement contenues dans Z; on dit queZ6=∅estirréductible, si elle n’est pas réductible.

(iii) On dit que (T,T)est disconnexe, s’il est la réunion disjointe T =U tU⁰ de parties ouvertesU, U⁰6=∅. On dit que(T,T)estconnexe s’il n’est pas disconnexe.

(iv) SoitS ⊂T une partie ; on appelleadhérence de S dans T la plus petite partie fermée deT contenantS.L’intérieur deSest la plus grande partie ouverte deTcontenue dansS (donc, l’adhérence deT \S est égale au complémentaire de l’intérieur deS). La partieS est unvoisinage d’un pointt∈T, sitappartient à l’intérieur deS. On dit que S est dense dansT, si l’adhérence deS dansT estT.

(v) SoitU∈T ; unrecouvrement deU est une partieU⊂T avecS

V∈UV =U. (vi) Soient(T,T)et(T⁰,T⁰)deux espaces topologiques, etf :T →T⁰une application.

On dit quef est :

— continue si pour toute partie ouverteU ⊂T⁰, la partief⁻¹U ⊂T est ouverte

— ouverte(resp.fermée) si pour toute partie ouverte (resp. fermée)X deT, la partie f(X)est ouverte (resp. fermée) dansT⁰

(20)

— un homéomorphisme si f est continue et bijective, et si l’application réciproque f⁻¹:T⁰→T est continue. Donc, f induit une bijection

T →^∼ T⁰ : U 7→f(U).

(vii) SiT et T⁰ sont deux topologies sur un ensemble T, on dit queT est plus fine queT⁰ siT⁰⊂T (auquel cas, on dit aussi queT⁰ estmoins fine queT).

Exemple 1.20. (i) Soient(T,T)un espace topologique,E un ensemble,g:E→T une application. La topologie

T^E:={g⁻¹U|U∈T}

est la moins fine des topologies T⁰ sur E telles que g : (E,T⁰)→ (T,T) soit une application continue. On appelleT^E la topologie induite par T via g (ou simplement, la topologie induite par T).

(ii) SoientT,T⁰ deux espaces topologiques. On dit queT⁰ est unsous-espace deT si T⁰⊂T et si la topologie de T⁰ est induite par celle deT via l’inclusionT⁰→T.

(iii) De même, si h:T →E est une application, alors TE:={U ⊂E|h⁻¹U∈T}

est la plus fine des topologiesT⁰ surE telles queh: (T,T)→(E,T⁰)soit une application continue. On appelleTE latopologie deE induite parT viah.

(iv) SoientTun ensemble, etBune famille de parties deT. L’intersectionT_Bde toutes les topologies deT contenantB est évidemment la moins fine des topologies contenant B. Pour décrireTBexplicitement, notons d’abord B⁺ la famille des intersections finies d’éléments deB: i.e.X ∈B⁺ si et seulement s’il existe une partie finieB⁰ ⊂B avec X =T

U∈B⁰U. Avec cette notation, une partieU deT est dansTBsi et seulement s’il existeB⁰ ⊂B⁺ tel que U =S

U⁰∈B⁰U⁰ (détails laissés aux soins du lecteur). Dans ce cas, on dit queBengendre T_B, et aussi que Best uneprébasedeT_B. Si tout élément deT_Bs’écrit déjà comme réunion d’une famille d’éléments de B, on dit que Best une base deT_B : pour cela, il suffit que toutX ∈B⁺ s’écrive comme réunion d’éléments de B.

(v) Pour tout ensemble S, l’ensemble des parties de S est une topologie appelée topologie discrète de S. Elle est évidemment la topologie la plus fine sur S. A l’autre extremité, latopologie chaotique{S,∅} est la moins fine des topologies surS.

Exercice 1.21. Soient T,S deux espaces topologiques, f :T →S une application.

(i) On dit quef estcontinue au point t∈T si pour tout voisinageV def(t)dansS, la partief⁻¹V est un voisinage det dansT. Montrer quef est continue si et seulement si elle est continue en tout point deT.

(ii) Supposons que f soit localement continue, i.e. pour tout t ∈ T il existe des voisinages U_t ⊂ T de t et V_t ⊂ S de f(t) avec f(U_t) ⊂ V_t, tels que la restriction f_t : U_t → V_t de f soit continue pour les topologies de U_t et V_t induites par T et S.

Montrer quef est continue.

(iii) Soit (U_λ|λ∈Λ)un recouvrement deS; pour toutλ∈Λsoitf_λ:f⁻¹U_λ→U_λ la restriction def, et munissons U_λ etf⁻¹U_λ des topologies induites parS etT. Montrer quef est fermée (resp. ouverte)⇔il en est de même pour toutfλ.

(iv) Soitfcontinue, et pour toute partieZ⊂T(resp.Z ⊂S), notons parZl’adhérence de Z dans T (resp. dans S). Montrer que f(Z) ⊂ f(Z) pour toute partie Z ⊂ T. En particulier, siZ est dense dansT etf(T)est dense dansS, alorsf(Z)est dense dansS.

Exercice 1.22. Soient S6=∅un espace topologique, etU un recouvrement deS avec

∅∈/U. Montrer queS irréductible⇔les conditions suivantes sont vérifiées : (a) Tout U ∈U est irréductible, pour la topologie induite parS.

(b) U∩V 6=∅pour toutU, V ∈U.

(21)

1.2.1. Dans ce cours on munira toujours l’ensembleRde sa topologie standard, engen- drée par la base{]a, b[|a, b∈R, a < b}. Pour tout espace topologique(T,T), l’ensemble des fonctions continues à valeurs réellesT →Rest un anneau noté

C(T)

car l’addition et le produit de deux fonctions continues sont continues (exercice !). Si T =∅, évidemmentC(T) ={0}; d’autre part, pour toutt∈T, la partie

mt:={f ∈C(T)|f(t) = 0}

est le noyau del’homomorphisme d’évaluation

ε_t:C(T)→R f 7→f(t)

qui est évidemment surjectif, et donc induit un isomorphismeC(T)/mt

→∼ R; par suite mtest un idéal maximal (proposition 1.5(ii)). On a ainsi une application

φT :T →Max(C(T)) t7→mt.

Exercice 1.23. Montrer queC(T)^×={f ∈C(T)|f(t)6= 0pour toutt∈T}.

Remarque 1.24. (i) L’application φT n’est pas forcément injective. Par exemple, soit T :={a, b} et T :={∅, T,{a}}. On voit aisément que toute fonction continueT → R est constante, doncC(T) =R, et évidemmentMax(R)contient un seul élément, à savoir l’idéal trivial {0}.

(ii) φT n’est pas non plus surjective pour un espace topologiqueT arbitraire : voir l’exercice 1.43. Pour obtenir un résultat positif, rappelons les définitions suivantes : Définition 1.25. Soient (T,T)et (T⁰,T⁰)deux espaces topologiques.

(i) On dit que(T,T)est de type T₀ si pour toutx, y∈T distincts il existe soit un voisinageU ⊂T\ {y} dex, soit un voisinageU⁰⊂T\ {x} dey.

(ii) On dit que(T,T)est séparé si pour toutx, y∈T distincts il existe un voisinage U_x dexet un voisinageU_y dey dansT tels que U_x∩U_y=∅.

(iii) On dit que(T,T)est compact² si pour tout recouvrementU deT, il existe une partie finieU⁰⊂U qui est encore un recouvrement deT.

(iv) On dit que (T,T) est normal s’il est séparé et si pour tout couple de parties ferméesZ, Z⁰ ⊂T avecZ∩Z⁰=∅il existe des parties ouvertesU, U⁰ deT avec

Z ⊂U Z⁰ ⊂U⁰ U∩U⁰=∅.

(v) On dit qu’une application f :T⁰ →T est compacte, si pour toute partie ouverte compacte U ⊂T, la partief⁻¹U est ouverte et compacte dansT⁰.

Exercice 1.26. (i) (Propriété de l’intersection finie) Soit T un espace topologique.

Montrer que T est compact ⇔pour toute famille (Zλ|λ∈Λ) de parties fermées de T avecT

λ∈ΛZλ=∅, il existe une partie finieΛ⁰ ⊂Λ telle queT

λ∈Λ⁰Zλ=∅.

(ii) Soient T, T⁰ deux espaces topologiques, f : T → T⁰ une application continue, Z ⊂T une partie. On munitZ etf(Z)des topologies induites par les inclusions dansT et respectivementT⁰. Montrer les assertions suivantes :

(a) SiT est séparé et siZ est compact, alorsZ est une partie fermée deT. (b) Si T est compact et siZ est une partie fermée de T, alorsZ est compact.

(c) SiZ est compact, alorsf(Z)est compact.

(iii) Montrer que toute application continue f : X → Y d’un espace topologique compactX vers un espace topologique séparéY est compacte, et si f est bijective, alors elle est un homéomorphisme.

(iv) Soientf, g:T →Sdeux applications continues d’un espaceT vers l’espace séparé (S,TS). Montrer queZ:={t∈T|f(t) =g(t)}est une partie fermée de T.

2. Dans la tradition française, on dit plutôt quasi-compact, et le motcompact est réservé pour les espacesquasi-compacts et séparés.