Université de Cergy-Pontoise 2011-2012 S4 MI/M/MP/MP-ENSI/PC-ENSI
Examen terminal d’Algèbre bilinéaire
Durée 3h00
Les calculatrices et les documents sont interdits.
Vous pouvez admettre une question pour traiter les suivantes.
(Le bar^eme est donné à titre indicatif, il est susceptible de changer).
Problème
Dans tout le problème, on identifie R3 avec les vecteurs colonnes. On pourra par exemple noter pourX ∈R3,X=
x1 x2 x3
. On noteB0 la base canonique de R3.
SoitQ la matrice suivante :Q=
√
2 0 1
√ 2 0 1 0 0 0 1 2
.
On définit alors pour toutX, Y ∈R3,< X, Y >= (x1 x2 x3) tQQ
y1 y2 y3
, ce qui
peut encore s’écrire< X, Y >= t(QX)(QY).Préambule : 1) Vérifier que< ., . >est un produit scalaire sur R3. 2) SoientC1 =
√1 2 0 0
,C2 =
0 1 0
etC3 =
−1 0 2
. On note alors P la matrice 3x3 constituée de ces trois vecteurs,P = (C1 C2 C3).
a) Vérifier queP =Q−1.
b) En déduire queB1 = (C1, C2, C3) est une base orthonormée deR3 pour < ., . >.
c) InterpréterP comme une matrice passage.
Dans la suite, on travaille avec R3 muni de ce produit scalaire.
Partie I :Etude d’un endomorphisme.
On définit l’application,u, de R3 dansR3 qui à toutX=
x1 x2
x3
associe le vecteur
u(X) =
−√ 2
x1−1
4x3
−x2
√2(2x1+x3)
.
1) EcrireAla matrice de u dans la baseB0.
2) Vérifier que la matriceA n’est ni symétrique, ni orthogonale.
3) On noteB la matrice de u dans la baseB1.
a) En utilisant les matricesQetP exprimer B en fonction de A.
b) En déduire queB est de la forme
B =
0 0 ε1 0 ε2 0 ε1 0 0
,
oùε1, ε2∈ {−1,1}.
c) CalculertB ettBB. En déduire queu est un endomorphisme orthogonal et symé- trique (pour le produit scalaire< ., . >). Justifier sans calculs queu est une symétrie.
d) Expliquer pourquoi la matriceA n’était ni symétrique, ni orthogonale.
Partie II :Forme quadratique et réduction simultanée
On considère la forme quadratique, q, définie surR3qui à toutX =
x1
x2 x3
associe
q(X) =x22−4x1x3−x23 4 .
1) Ecrire la matriceS0 de q dans la baseB0. On rappelle qu’on a alors q(X) = tXS0X.
2) On souhaite trouver la matrice,S1, de q dans la base B1.
a) pourX ∈R3, siX=y1C1+y2C2+y3C3, que représente alorsY =
y1 y2 y3
pour le vecteurX. En déduire que
X=P Y,
oùP est la matrice de passage évoquée dans le préambule.
b) Justifier que S1=tP S0P.
c) En déduire qu’il existe une constantek >0 que l’on précisera telle que
S1 =
0 0 −2√ k
0 1 0
−2√
k 0 4k−1
3) Trouver une matrice orthogonaleRtelle quetRS1R=Dsoit une matrice diagonale.
4) Si on interprèteR comme une matrice de passage de B1 dans une nouvelle base B2, expliquer pourquoiB2 est une base orthonormée deR3 pour < ., . >.
5) Exprimer q(X) ainsi que < X, X > en fonction des coordonées de X dans la base B2.
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