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LM 250 Examen 09-01-2014

Ni documents, ni calculatrice, ni téléphone portable

Exercice n^o1 On note ζ(2) =

+∞

X

1

1

n² etS =ζ(2)−1 =

+∞

X

2

1 n². Montrer les assertions suivantes:

1/X

n≥2

1 n², X

n≥2

1

n²−1/4 et X

n≥2

1

n²−1/42 convergent.

2/

+∞

X

2

1

n²−1/4 = 2 3. 3/

+∞

X

1

1

(2n−1)² = 3

4×ζ(2).

4/

+∞

X

2

1

n²−1/42 = 6S− 34 9 .

5/ En admettant que 15 16

+∞

X

2

1

n²−1/42 ≤4

+∞

X

2

1

n² −1/4 − 1 n²

≤

+∞

X

2

1 n²−1/42, montrer que 29

45 ≤S ≤ 149 231

soit 0.644444...≤S ≤0.645021...

.

Utiliser 4/ et 2/.

Exercice n^o2

Soit l’équation différentielle 3(1 +x)y⁰+y= 0 (E).

Soit X

a_nzⁿ une série entière de RCVR > 0telle que a₀ = 1 et x7−→S(x) =

+∞

X

0

anxⁿ est solution de (E) dans un intervalle ]−A, A[.

1/ Montrer que ∀n ∈ N, 3(n+ 1)a_n+1+ (3n+ 1)a_n= 0.

2/ Montrer que X

a_nzⁿ a pour rayon de convergence R= 1.

3/ Montrer que pour toute solution y de (E) la fonction x7−→(1 +x)^1/3y(x)est constante.

4/ En déduire que S(x) = 1

(1 +x)^1/3 pour |x|<1.

Exercice n^o3 Soit X

n≥1

un la série de fonctions définies sur [0,1] par un(x) = xⁿlnx n . 1/ Montrer que X

u_n converge normalement sur [0,1].

Calculer sup

0<x<1

u_n(x)

2/ Vérifier que Z 1

0

tⁿln(t) dt= −1 (n+ 1)². 3/ Montrer que

Z 1

0

(lnt) ln(1−t) dt=

+∞

X

1

1 n(n+ 1)².

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2

RAPPELS DE COURS Séries numériques

Critère de Riemann : Soit X

un une série. S’il existe α >1 tel que un =

+∞O(1/n^α), alors la série X

un converge absolument.

Séries de fonctions Définition: Soit X

u_n une série de fonctions définies sur un intervalle I. Elle converge normalement surI s’il existe une série majorante X

m_n convergente telle que

∀n ≥n₀ et ∀x ∈ I, u_n(x)

≤m_n

ou encore sup

a<x<b

u_n(x)

≤m_n . Théorème de Fubini. Soit X

u_n une série de fonctions continues sur un intervalle ]a, b[

borné. Si X

u_n converge normalement sur ]a, b[, alors XZ b a

u_n(t)dt

converge. De plus Z b

a +∞

X

0

u_n(t)

! dt =

+∞

X

0

Z b

a

u_n(t)dt

.

Séries entières

Règle de d’Alembert. Soit X

a_nzⁿ une série entière et R son rayon de convergence. On suppose que L= lim

n→+∞

|a_n+1|

|an| existe. Alors R = 1 L. Série dérivée. Soit X

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergence R. Alors sa somme S(z) =

+∞

X

0

a_nzⁿ est définie etC^∞ surD(0, R). De plus, pour|z|< R, S⁰(z) =

+∞

X

0

(n+1)a_n+1zⁿ.

FORMULAIRE ET RÉSUTATS ANNEXES Fractions rationnelles

1

n²−1/4 = 1

n−1/2− 1 n+ 1/2. 1

n²−1/42 = 4

2n−12 + 4

2n+ 12 − 2 n²−1/4. Développement en série entière

∀|x|<1, ln(1−x) = −

+∞

X

1

xⁿ n .z Définition:Une série X

n≥n₀

u_n esttéléscopiquesi son terme général peut s’écrire sous la forme u_n=x_n−xn−1. Si la suite x_n converge,X

u_n converge aussi et

+∞

X

n=n0

u_n = lim

n→+∞x_n−x_n0−1. Pair ImpairSoitX

n=1

un une série absolument convergente. Alors

+∞

X

1

un =

+∞

X

1

u2n−1+

+∞

X

1

u2n.