Ingénierie financière

Ingénierie financière

Un plan d’expérience pour ajuster Un plan d’expérience pour ajuster

un modèle Black-Scholes à un titre risqué

Une présentation de Pascal Magnan

Problématique

Estimer les coefficients de diffusion, volatilité d’un titre suivant un mouvement brownien

géométrique.

S: Processus stochastique de la valeur du titre risqué

Mouvement Brownien

t → W

-Écarts indépendants

-trajectoires continues

t ∈ℜ

t → W

~ (0, )

Wt Ws − N t − s

-variance prop. au temps

t ∈ℜ

Diapositive 3

MD2 Mireille Deschenes; 2006-12-04

Mouvement Brownien

Une trajectoire d'une approximation du mouvement brownien standard

300 400 500 600

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

temps

W(,t)

Modèle Black-Scholes

Équation différentielle stochastique

~ (0,1)

t t t t

Z N

S

− = S µ S  + σ S  Z

t t t

dS = µ S dt + σ S dWt

µ σ

:coefficient de dérive

(

)

0

exp / 2

t t

S = S   µ σ − t + σ W  

Solution:

t t t

dS = µ S dt + σ S dWt

MD1

Diapositive 5

MD1 Mireille Deschenes; 2006-12-03

t t t t

S

− = S µ S  + σ S  Z

~ (0,1) Z N

On observe le titre sur une période de N*delta : N observations équidistantes

0... 1 t = N −

[

]

E S

− S = µ S 

[

]

V S

− S = σ S  0... 1

t = N −

Identification des variables

• Variables explicatives:

Coefficients de dérive, volatilité du modèle expérimental.

• Variables de réponse :

• Variables de réponse :

Y1: Somme des différences entre les observations et leur moyenne prévue.

Y2: Moyenne des différences entre les écarts observés et les écarts-types prévus par le modèle.

Mesure de la variable de réponse

• Étape 1:

Échantillonnage de la valeur du titre risqué S.

• Étape 2:

• Étape 2:

Évaluation des fonctions Y1 et Y2 de

« distance entre le titre et son modèle » pour des combinaisons données des variables explicatives.

Somme des différences entre les observations et leur moyenne

prévue

[ ]

1

1 ( )

N

t t t

Y = ∑ S

− S − µ S ^

1

N:Taille de l’échantillon

Sous les conditions du modèle, Y1=0

[ ]

1

(1 )

N

t t

S

S µ

= ∑

− + ^

Moyenne des différences entre les écarts observés et les écarts-types

prévus par le modèle

( )

t t t t

R = S

− S − µ S 

N

 

∑

Objectif visé: minimisation simultanée des variables de réponse

1

2 (1/ ) *

N

t t t

Y = N ∑   R S ^ − σ S ^  

Planification d’expérience

• Plan: central composite

• 5 modalités par variables

• M répétitions

• 10M essais

• RSM:On cherche le point des surfaces de réponses superposées qui minimise

simultanément Y1 et Y2.

Codage des modalités

• Les modalités du facteur de moyenne sont codées de manière à être centrés autour du taux d’intérêt d’un compte bancaire (monde neutre au risque).

d: pourcentage d’écart possible de croissance moyenne spéculé par rapport au compte bancaire

r + rd

2 2

− − 1 0 1

r − rd 2

r − rd

r + 2 rd

spéculé par rapport au compte bancaire r: taux d’intérêt d’un compte bancaire

r

• Les modalités du facteur de volatilité sont codées autour de la volatilité grossièrement estimée du titre. On choisit aussi un rayon d’erreur autour de cette estimation.

c: volatilité grossièrement estimée (en%) l:rayon d’erreur de l’estimation c (en %)

c

l:rayon d’erreur de l’estimation c (en %)

c l + ^{c + 2 l}

2

c − l c l −

− 2 − 1 0 ^{1 2}

Exemple de plan

2**(2) central composite, nc=4 ns=4 n0=2 Runs=10

m s

1 -1,00000 -1,00000

7 0,00000 -1,41421

3 1,00000 -1,00000

3 1,00000 -1,00000

6 1,41421 0,00000

5 -1,41421 0,00000

4 1,00000 1,00000

2 -1,00000 1,00000

10 (C) 0,00000 0,00000

8 0,00000 1,41421

9 (C) 0,00000 0,00000

crédits

• Diapositive d’une simulation du

mouvement Brownien obtenue d’un logiciel programmé par Geneviève Gauthier.

Gauthier.