T EMP = β 0 + β 1 CO2 + W

Master 1EURIA

Examen de statistique

Jeudi 11 Décembre 2008

Durée:3heures.

Documentsetordinateursautorisés

TOUTCOMMUNICATIONPAR VOIE INFORMATIQUEESTINTERDITE

Exercice 1

Onconsidèredanscetexercicedesdonnéesrelativesauxconditionsclimatiquessurlapériode

1976-2005,àsavoir:

LatempératureannuellemoyenneàBrest,endegrécelsius.CettevariableseranotéeTEMP.

La concentration annuellemoyenneen CO2 dansl'air mesuréeà lastation de Mauna Kea

(Hawai),enpartiesparmillion(ppm).CettevariableseranotéeCO2.

La concentration annuellemoyenneen CH4dans l'airmesurée en Arctique,en parties par

million.CettevariableseranotéeCH4.

Ledioxydedecarbone(C02)et leméthane(CH4) sontdeuxgazàeetdeserre.L'augmentation

de la concentration dans l'atmosphère terrestre de ces gaz à eet de serre serait à l'origine du

réchauement climatique. Ces données sont disponibles dans le tableau 2 page 4. et elles sont

égalementdisponiblesdanslechierdata.txt.

1.Onproposetout d'abordd'ajusterunmodèlederégressionlinéairesimple,delaforme

T EMP = β 0 + β 1 CO2 + W

⁽¹⁾

and'expliquerl'évolutiondelatempératureannuellemoyenneàBrestàpartirdelaconcentration

enCO2.

a.Quereprésente

W

^{dansl'équation 1?}

b.Donneruneestimation desparamètres

β ₀

^et

β ₁

^{ainsiqu'unintervalledeconanceà95%pour}

cesparamètres.

c.Surquelle(s)hypothèse(s)reposelaconstructiondecesintervallesdeconance?Ceshypothèses

voussemblent-elles êtrevériéesparlesdonnéesconsidéréesdanscetexercice?

d.Peut-onobserverunerelationsignicativeentrelaconcentrationenCO2et lestempératuresà

Brest?On répondraàl'aide d'unteststatistique. Onpréciseralastatistiquedetest ainsiquesa

loisousl'hypothèsenulle.

e.LorsdeladernièreréunionduGroupeintergouvernementalsurl'évolutionduclimat,diérents

scénariosontétéenvisagéspourl'évolutiondelaconcentrationenCO2d'ici 2050.

Le scénarioleplusoptimisteprédit unediminution de50%des émissionsde CO2produits

parl'activitéhumaine. CecientraineraituneconcentrationdeCO2de500ppmen2050.

Lescénariolepluspessimisteprédituneaugmentationde30%desémissionsdeCO2produits

parl'activitéhumaine. CecientraineraituneconcentrationdeCO2de650ppmen2050.

Prédire les températures moyennes en 2050 correspondant à ces deux scénarios en utilisant le

modèlederégressionlinéairesimple.Ondonneralesintervallesdeprédictionà95%correspondant.

D'aprèslesexperts,lescénariooptimisteentraineraituneaugmentationdestempératuresmoyennes

de

2.5 ⁰

^{Cetlescénariopessimistede}

3.5 ⁰

^{C.Comparezceschiresavecles}prédictionsobtenusavec lemodèlederégressionlinéairesimple.

2.Onproposemaintenantd'ajusterunmodèlederégressionlinéairemultiple,delaforme

T EMP = β 0 + β 1 CO2 + β 2 CH 4 + β 3 AN + W

⁽²⁾

and'expliquerl'évolutiondelatempératureannuellemoyenneàBrestàpartirdelaconcentration

enCO2et enCH4ainsiquedel'année(variablenotéeAN).

a.DonnerlescommandesRqui permettentd'ajustercemodèle.

b.Quelssontlesparamètresinconnusdanscemodèle?Donneruneestimationpourchacundeces

paramètresainsiqu'unintervalledeconanceà95%.

c.Cemodèleest-il"meilleur"quelemodèledelaquestion1?Justiervotreréponse.

3.Ajuster tousles diérents sous-modèles possibles du modèle (2). Quelest le meilleur modèle

parmitouscessous-modèles?Discuter.

4. Refaire la sélection de modèle en utilisant les méthodes pas à pas d'élimination en avant,

d'élimination en arrière et stepwise. On décrira précisément chaque étape de ces algorithmes

puisoncompareralesrésultatsobtenusaveccestroisalgorithmesainsiqu'aveclesrésultatsdela

question3..

Exercice 2

Ons'intéressedanscetexerciceàl'analysedelavarianceàunfacteur.Onreprendlesnotations

ducours.On considère donc un ensemble de

n

observations répartiesen

p

^{groupes.On note}

n _j

lenombred'observation danslegroupe

j

^,

(y _1,j , y _2,j , ..., y _{n j ,j} )

^lesobservationsdanslegroupe

j

^et

¯

y _j = _n ¹ _{j n j}

i=1 y _i,j

^{lamoyenneempirique} correspondante.Onaalors

n = n ₁ + n ₂ + ... + n _p

^.

Atitre d'exemple, on considéreralesdonnéesdutableau 1qui décriventlaproductivitédetrois

variétésdeblé (mesurée entonnes parhectare) dansdes conditionsclimatiquesidentiques.Pour

chaquevariété,cinqobservationsontétéeectuéessur deslots deterrediérents.

Variété 1 2 3

3 6 3

6 8 3

5 7 2

6 8 2

5 6 5

Moyenne 5 7 3

Tab.1Productivitédetrois variétésdeblé

On suppose que les observations du groupe

j

^{sont des} réalisations de variables aléatoires

(Y 1,j , Y 2,j , ..., Y n j ,j )

indépendantes qui suiventune même loi

N (µ j , σ ² )

^{. On supposeraégalement}

l'indépendance entre lesdiérentsgroupes.L'objectifde l'analysedela varianceàunfacteur est

detesterl'hypothèse:

H 0 : µ 1 = µ 2 = ... = µ p

contrel'hypothèsealternative:

H 1 : ∃i = j

^telque

µ i = µ j

1. On note

Y ¯ j = _n ¹ _{j n j}

i=1 Y i,j

^{. Montrer, en utilisant le théorème de Cochran, que}

Y ¯ j

^{est une}

variablealéatoiregaussienneindépendantede

SC _j = _{n j}

i=1 Y _i,j − Y ¯ _j ²

^etque

^{SC j}

σ ²

^suituneloidu

χ2

^{dontonpréciseraledegrédeliberté.}

2. Onnote

Y ¯ = ¹ _{n p}

j=1

_{n j}

i=1 Y i,j

^{.Quereprésentecettequantité?Montrerque}

Y ¯ = ¹ _{n p}

j=1 n j Y ¯ j

^.

Endéduireque

SC _ent = _p

j=1 n _j ( ¯ Y _j − Y ¯ ) ²

^est indépendantde

SC _int = _p

j=1 SC _j

^.

3. Montrerque

SC _ent + SC _int = SC _tot

^avec

SC _tot = _p

j=1

_{n j}

i=1 (Y _i,j − Y ¯ ) ²

^.Quereprésententles quantités

SC _ent

^,

SC _int

^et

SC _tot

^?

4. Onnote

Z j = √ n j Y ¯ j

^pour

j ∈ {1...p}

^{.Quelleestlaloide}

Z i

^{? Montrerque}

Z = ^t (Z 1 , ..., Z p )

estunvecteurgaussiendontonpréciseralesparamètres.

5. Onsupposedanscettequestionquel'hypothèse

H 0

^estvériée.

a. Montrer que

SC ent

σ ²

^{suit une loi du}

χ ²

^{dont on précisera le degré de liberté. On}

pourra utiliser lethéorème deCochran en considérantlevecteur

Z

^{et laprojection}

othogonalesurlesousespaceorthogonalauvecteur

e = ^t ( √ n ₁ , ..., √ n _p )

^.

b. En déduire que

F _c = ^n−p _p−1 ^SC _SC ^ent _int

^{suit une loideFisher à}

p − 1

^et

n − p

^degrésde

liberté.

6. Endéduireuntestdel'hypothèse

H 0

^basésurlastatistiquedetest

F c

^.

7. Application numérique : peut on supposer que les trois variétés de blé ont le même

rendement?OndonneralescommandesR quipermettentderéalisercetest.

Exercice 3

Onrappellequ'unevariable aléatoire

X

^{àvaleursdans}

N

^{suitune loidePoisson deparamètre}

λ

siellevérie,pour

x ∈ N

^,

P [X = x] = exp(−λ) λ ^x x!

1.Rappelerladénition dumodèlederégressiondePoisson.

2.Donnerlesfonctionsdevraisemblanceetdelog-vraisemblanceassociéesàcemodèle.

3.Montrer que lesestimateurs dumaximum de vraisemblancevérient un système d'équations

non-linéairesqu'onprécisera.

1976 11.0784 332.15 1515

1977 10.7308 333.90 1531

1978 10.7122 335.50 1547

1979 10.5197 336.85 1563

1980 10.5418 338.69 1578

1981 11.0084 339.93 1593

1982 11.2546 341.13 1608

1983 11.3117 342.78 1622

1984 11.0559 344.42 1636

1985 10.5578 345.90 1649

1986 10.0031 347.15 1662

1987 10.3993 348.93 1673

1988 11.2408 351.48 1683

1989 11.6889 352.91 1698

1990 12.2692 354.19 1710

1991 10.6749 355.59 1720

1992 11.1440 356.37 1724

1993 10.8959 357.04 1732

1994 11.7085 358.88 1738

1995 11.9461 360.88 1742

1996 10.8350 362.64 1741

1997 11.9750 363.76 1751

1998 11.4588 366.63 1753

1999 11.9106 368.31 1755

2000 11.3805 369.48 1760

2001 11.3122 371.02 1769

2002 11.7371 373.10 1768

2003 11.8285 375.64 1778

2004 11.3786 377.38 1776

2005 11.5877 379.30 1779

Moyennes 11.2049 354.73 1685

Tab.2Donnéesdel'exercice1