IIIIII... III... Pro. Benmoussa Med

(1)

- 1 -

I I I . . .

Equations de 1^ère degré d’un seul inconnu – inéquation de 1^ère degré d’un seul inconnu : ( rappel ) A. Equations de 1^ère degré d’un seul inconnu :

a. Définition :

Soient

a et b de

( avec

a  0

).

Toute équation son écriture se ramène sous la forme suivante

x  / ax b   0

est appelée équation du 1^er degré d’un seul inconnu

x de

et ses coefficients réels sont

a et b

. b. Exemple :



x  / 2x 3   5x 12 

.



x  / 2x 3   2x 12 

.



^x ^ ^{/ 2 x 3}  ^  ^ ^{2x 12} ^

c. Vocabulaire :

Toute solution d’équation est appelée : solution de l’équation ou racine de l’équation ou zéro de l’équation .

B. – Inéquation de 1^ère degré d’un seul inconnu : a. Définition :

Soient

a et b de

( avec

a  0

).

Toute inéquation son écriture se ramène sous la forme suivante

x  / ax b   0

ou

x  / ax b   0

ou

x  / ax b   0

ou

x  / ax b   0

est appelée inéquation du 1^er degré d’un seul inconnu

x de

a et b

.

b. Exemple :



x  / 2x 3   5x 12 

.



x  / 2x 3   2x 12 

.



x  / 2x 3   2x 12 

c. Le signe du binôme du 1^er degré

ax b 

.

 1^er cas

a  0

:

Son signe à l’aide d’un tableau

 2^ième cas

a  0

:

Son signe à l’aide d’un tableau d. Exercice :

Donner le signe des binômes suivants : 1.

2x 7 

2.

  3x 4

3.

 ^{2x 7} ^  ^{ } ^{3x 4}  I I I I I I . . .

Equations de 2^ième degré d’un seul inconnu :

A. Equations de 2^ième degré d’un seul inconnu a. Définition :

Soient

a et b et c de

( avec

a  0

).

Toute équation son écriture se ramène sous la forme suivante x / ax²bx c 0 est appelée équation du 2^ième degré d’un seul inconnu

x de

a et b et c

.



b

a  x 

a0 Cas



0  ax b 



b

a  x 

a0 Cas



0 ax b  

(2)

- 2 - b. Exemple :

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

²

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

est –ce que 1 est racine de l’équation

  ^E

B. Forme canonique du trinôme de second degré ax²bx c



^a^⁰



^:

a. Activité :

On considère trinôme de second degré ax²bx c . Compléter les étapes suivantes :

 

2

2 2

ax bx c a

b b .... c

a x 2 x

2a 2a .... a

... ....

a x

... 4a

   

   

        

  

      b. Vocabulaire :

 L’ écriture

2 2

2

b b 4ac

a x

2a 4a

      

   

 

 

 

est appelée la forme canonique du trinôme de second degré ax2bx c .

 ^a ^ ⁰ 

 Le nombre b²4ac est appelé le discriminant du trinôme de second ax²bx c .

 Le nombre b²4ac est appelé aussi le discriminant de l’équation : x / ax²bx c 0 .

 le discriminant b²4ac on le note par on écrit  b²4ac.

 la forme canonique du trinôme de second degré ax²bx c on l’écrit :

2 2 2

2 2

b b 4ac b

a x a x

2a 4a 2a 4a

           

     

   

   

   

 d’où :

2 2

2

b

a x

ax c

2a

bx    

4a

 

 

 







 

c. Exemple :

On considère l’équation suivante

  ^{E : x}

^

^{/ 2x}

²^

^{4x 6}

^{ }

⁰

^.

1.

Calculer le discriminant  de l’équation

  ^E

^.

2.

Ecrire l’équation on utilise la forme canonique de 2x²4x 6 .

3.

Résoudre l’équation

  ^E

^.

C. Détermination les solutions de l’équation x / ax²bx c 0 . a. Activité :

On a :

2 2

ax2 b

b

a a

x 0

x

c

4a

2

     

  

 

   



  (la forme canonique de ax²bx c )

(3)

- 3 -

² 2

 

x b 0 ; car a 0

2a 4a

      

 

 

² 2

   

x b ; car a 0

2a 4a 1

   

 

 

 

1^er cas :  0 Donc :

2 2

0 et x b 0

4a 2a

      d’où l’équation n’a pas de solution dans .

Ensemble des solution de l’équation

  ^E

^est

^S ^{ }

^.

2^ième cas :  0

Donc d’après

 

¹ on obtient :

b 2 b

x 0 x 0

2a 2a

      

 

 

b

x 2a

   d’où l’équation admet une solution dans .

on dit aussi l’équation admet solution double ( ou deux solutions confondues ) car :

b

2

b b

x 0 x x 0

2a 2a 2a

b b

x 0 ou x 0

2a 2a

b b

x ou x

2a 2a

         

     

     

    

    

Ensemble des solution de l’équation

  ^E

^est

S 2 b

a







  

 

^. 3^ième cas :  0

Donc d’après

 

¹ on obtient :

 

2 2 2

2

b b

x x car 0

2a 4a 2a 2a

b b

x ou x

2a 2a 2a 2a

b b

x ou x

2a 2a 2a 2a

 

 

          

     

     

 

     

 

      

b b

x ou x

2a 2a

    

   

d’où l’équation admet deux solutions distinctes dans : b b

x ou x

2a 2a

    

   .

(4)

- 4 - b. Propriété :

Soit l’équation : x / ax²bx c 0 avec

a  0

et son discriminant  b²4ac.

 Si  0 l’équation admet deux solutions distinctes( ou deux racines distinctes ) dans :

1 2

b b

x et x

2a 2a

    

  

 Si  0 l’équation admet une solution( ou deux racines ) dans :

b

x

 

2a

(solution double ) .

 Si  0 l’équation n’a pas de solution (n’a pas de racines ) dans . (

S  

) . c. Exercice :

On considère l’équation suivante :

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

²

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

^.

1.

Calculer discriminant  de l’équation

  ^E

^.

2.

Donner l’ensemble des solution de l’équation

  ^E

^.

D. La somme et le produit des racines de l’équation x / ax²bx c 0 : a. Activité :

On considère l’équation suivante x / ax²bx c 0 tel qu’il admet deux racines distinctes

1 2

x et x

.

1.

Donner

x et x

₁ ₂ en fonction de

a et b et c

.

2.

Calculer x + x₁ ₂ puis x x₁  ₂ ; puis donner la propriété . b. Propriété :

Si l’équation x / ax²bx c 0 admet deux racines distinctes

x et x

₁ ₂ on a :

 ₁ ₂

b

₁ ₂

c

x + x et x x

a a

   

.

c. Exercice :

On considère l’exercice précédente

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

²

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

^.

1.

Calculer x + x₁ ₂ puis x x₁  ₂ par deux méthodes différentes . E. Factorisation – signe de trinôme de second degré ax²bx c :

 Factorisation de ax² bx c : a. Activité :

On considère le trinôme de second degré ax²bx c .

1.

Donner son discriminant  en fonction de

a et b et c

.

2.

Donner la forme canonique de ax²bx c .

3.

D’après le signe de  donner la factorisation de ax²bx c dans les cas possibles en utilisant les racinesx + x₁ ₂.

(5)

- 5 - b. Propriété :

 est le discriminant de l’équation x / ax²bx c 0.

 Si  0 l’équation admet deux solutions distinctes

x et x

₁ ₂ on a : ax²bx c a x x



 1



x x 2



.

 Si  0 l’équation admet une solution ₁

b x 2a

 

on a : ax²bx c a x



x1



² .

 Si  0 l’équation n’a pas de solution dans on ne peut pas factoriserax²bx c sous forme de produit de deux polynômes de 1^er degré ( deux monômes ).

 signe de trinôme de second degré ax²bx c : a. Activité :

On considère le trinôme de second degré ax²bx c . 1^er cas :  0

On a deux racines

x et x

₁ ₂ on pose x₁x₂ .

1.

Donner les racines

x et x

₁ ₂ en fonction de

a et b et c 2.

Factoriser

ax

²

 bx c 

.

3.

Compléter le tableau suivant :

4.

En déduit le signe de

ax

²

 bx c 

. 2^ième cas :  0

On a une racine double

x

₁.

1.

Donner la racine double en fonction de

a et b

.

2.

Factoriser

ax

²

 bx c 

.

3.

Compléter le tableau suivant :

4.

En déduit le signe de

ax

²

 bx c 

.



x

₁

x

₂



x

Signe de a Signe de a

Signe de a

a





0 

x x 

1

….

0

….

x x 

2

…. 0 …. 0 ….



1



2



a x x  x x 

Signe de ....

ax2bx c



x

₁



x

Signe de a Signe de a

a



0 

 x x 

1



²

…………. 0 ………….



1



²

a x x 

Signe de .... .… Signe de ....

ax2bx c

(6)

- 6 -

5.

Donner la propriété :

b. Propriété :

 est le discriminant du trinôme de second ^{P x}

 

^^ax²^^bx^^c^.

 Si  0 et

x et x

₁ ₂ sont les racines distinctes du trinôme de second ^{P x}

 

^{alors :}

 à l’extérieure des racines

x et x

₁ ₂ le signe de ^{P x}

 

est celui de a .

 entre les racines

x et x

₁ ₂ le signe de ^{P x}

 

est le contraire du signe de a .

 on a :

P x  

1 

0 et P x  

2 

0

.

 Si  0 et

x

₁ est la racine distincte du trinôme de second ^{P x}

 

^{alors :}

 le signe de ^{P x}

 

est celui de a pour tout

b

x a

  .

 c.à.d. x



x

1



 ^{P x}

 

s’annule pour

b

x a

  . b

c.à.d. P 0

a

  

 

 

 

 

 ^.

 Si  0 trinôme de second ^{P x}

 

n’ a pas de racine dans on ne peut pas factoriser^{P x}

 

^{et son}

signe est celui de a pour tout x de . c. Exercice :

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

²

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

^.

1.

Résoudre l’équation

  ^E

^.

2.

Factoriser 2x²4x 6 .

3.

Donner le signe de 2x²4x 6 .

4.

En déduit l’ensemble de solution de l’inéquation :

  ^{E' : x} ^ ^{/ 2x}

²

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

^.

I I I I I I I I I . . .

Equations et inéquations de 1^ère degré à deux inconnues :( méthode graphique )

a. Activité :

    ^{E : x, y} ^

²

^{/ 2x 5y} ^ ^ ¹⁰

^.

1.

Est-ce que le couple

  ^{5, 0}

vérifie l’équation

  ^E

^?

2.

Est-ce que le couple

  ^{0, 2}

vérifie l’équation

  ^E

^?

3.

On considère le plan

  ^P

est rapporté au repère

 

^{0, i, j} ^et

^{M x, y} ^{   } ^ ^P

et vérifie 2x5y10 .

a. Que représente l’équation 2x5y10 dans le plan

  ^P

^.

b. En déduit l’ensemble des points

^{M x, y}     ^ ^P

qui vérifie 2x5y10. c. Construire la droite

  ^D

d’équation cartésienne

  ^{D : 2x 5y} ^ ^ ¹⁰

^.

d. noté sur la figure le demi plan

 

P1 de bord ( ou de frontière ) la droite

  ^D

qui contient le point

^{O 0, 0}  

l’autre demi plan sera noté

 

P2 ^.

e.

(7)

- 7 -

4.

On considère l’inéquation suivante :

    ^{I : x, y} ^

²

^{/ 2x 5y} ^ ^ ¹⁰

^.

a. Prenez plusieurs points

^{A x, y}  

quelconque de

 

P1 puis vérifier est-ce que leurs coordonnées

  ^{x, y}

sont solutions de l’inéquation

  ^I

^.

b. Prenez plusieurs points

^{B x, y}  

quelconque de

 

P2 puis vérifier est-ce que leurs coordonnées

  ^{x, y}

sont solutions de l’inéquation

  ^I

^.

b. Méthode graphique :

Pour résoudre graphique les inéquations :



    ^{I : x, y} ^

²

^{/ ax by} ^ ^{ } ^c ⁰

^ou

    ^{I : x, y} ^

²

^{/ ax by} ^ ^{ } ^c ⁰

^.



    ^{I : x, y} ^

²

^{/ ax by} ^ ^{ } ^c ⁰

^ou

    ^{I : x, y} ^

²

^{/ ax by} ^ ^{ } ^c ⁰

^.

On suit les étapes suivantes :

 On construit la droite d’équation :

  ^{D : ax by} ^ ^{ } ^c ⁰

dans un plan

  ^P

muni d’un repère

 

^{0, i, j} ^.

 On place un point

^{A e,f}  

sur le plan

  ^P

tel que :

^{A e,f}    

^

^D

^.

 On désigne ( arbitrairement ) par

 

P1 le demi plan de bord

  ^D

qui contient

^{A e,f}  

^,

l’autre demi plan par

 

P2 ^.

 Si les coordonnées

  ^e,f

^de^A vérifie l’inéquation

  ^I

donc l’ensemble des solutions de

  ^I

toutes les coordonnées des points de ce demi plan

 

P1 fermé (c.à.d. contient la droite

  ^D

si l’inéquation

  ^I

est écrit avec les symboles  ou  si non toutes les coordonnées des points de ce demi plan

 

P1 ouvert .

(8)

- 8 -

 Si les coordonnées

  ^e,f

^de^A ne vérifie pas l’inéquation

  ^I

donc l’ensemble des solutions de

  ^I

toutes les coordonnées des points de l’autre demi plan

 

P2 fermé [ avec bien sûr (c.à.d. contient la droite

  ^D

si l’inéquation

  ^I

est écrit avec les symboles  ou  si non toutes les coordonnées des points de ce demi plan

 

P2 ouvert ].

I I I V V V . . .

Système de deux équations de premières degré à deux inconnues : a. Déterminants d’un système :

 Définition :

On considère le système suivant

   

^{S : x, y} ²^/ ^ax ^by ^c

a' b' y c'

 

    ^.

 Le nombre a b

ab' a'b a' b'

    est appelé le déterminant du système

  ^S

^.

 Le nombre _x c b

cb' c'b c' b'

    est appelé le déterminant pour déterminer x .

 Le nombre _x c b

cb' c'b c' b'

    est appelé le déterminant pour déterminer y .

 propriété :

On considère le système suivant

   

^{S : x, y} ²^/ ^ax ^by ^c

a' b' y c'

 

    ^.

1^er cas a b

ab' a'b 0 a' b'

    

Le système est appelé système de Cramer , le système admet une et une solution c’est le couple ^x ,^y 

   

 ^, d’où l’ensemble des solutions de

  ^S

^est^S ^^^ ^x ^,^^y ^^^





 

  ^.

2^ième cas a b

ab' a'b 0 a' b'

     on a :

a. si

 

_x

0

ou

 

_y

0

le système n’ pas de solution , , d’où l’ensemble des solutions de

  ^S

^est

^S ^{ }

b. si

 

_x

0

et

 

_y

0

le système se ramène a une seule équation ( on prend une par exemple

  ^S ^ ^{: x, y}   ^

²

^{/ ax by} ^ ^ ^c

) le système a une infinité de solutions . d’où l’ensemble des solutions de

  ^S

^est

^S   ^{x, y / y} ^b ^x ^c ^{, x}

a a

 

      

 

^{( si}

a  0

) ( si

b  0 ^S   ^{x, y / y} ^a ^x ^c ^{, x}

b b

 

      

 

^{) .}

b. Exercice : Résoudre dans ²les systèmes suivants on utilise la méthode des déterminants

a. 2x y 3 3x 10y 7

  

  

 ^{. b.}

x 2y 3 3x 6y 9

 

  

 ^{. c .}

x 2y 3 3x 6y 7

 

  



IIIIII... III... Pro. Benmoussa Med

I I I . . .

a et b de

a  0

x  / ax b   0

x de

a et b

x  / 2x 3   5x 12 

x  / 2x 3   2x 12 

x  / 2 x 3     2x 12 

a et b de

a  0

x  / ax b   0

x  / ax b   0

x  / ax b   0

x  / ax b   0

x de

a et b

x  / 2x 3   5x 12 

x  / 2x 3   2x 12 

x  / 2x 3   2x 12 

ax b 

a  0

a  0

2x 7 

  3x 4

 2x 7     3x 4  I I I I I I . . .

a et b et c de

a  0

x de

a et b et c





0

 ax b 





0

ax b  

  E : x  / 2x

 4x 6   0

  E





 

b b 4ac

a x

2a 4a

      

   

 

 

 

 a  0 

b b 4ac b

a x a x

2a 4a 2a 4a

b

a x

2a

4a

  E : x

/ 2x

4x 6

0

1.

  E

2.

3.

  E

b

a a

x

4a

2

 

   

  E

S  

 

^x ^ ^{/ 2 x 3}  ^  ^ ^{2x 12} ^

 ^{2x 7} ^  ^{ } ^{3x 4}  I I I I I I . . .

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

  ^E

 ^a ^ ⁰ 

  ^{E : x}

^{/ 2x}

^{4x 6}

⁰

  ^E

  ^E

  ^E

^S ^{ }

  ^E

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰

  ^E

  ^E

  ^{E : x} ^ ^{/ 2x}

^ ^{4x 6} ^{ } ⁰