LOI DE PROBABILITE CONTINUE I) VERIFIER LES ACQUIS

LOI DE PROBABILITE CONTINUE

I) VERIFIER LES ACQUIS ( voir le chapitre des probabilités)

1) Calculer la moyenne , la variance et l'écart-type de ces deux séries statistiques.

x_i 3 5 6 10

effectifs 5 20 10 15

x =

V =

 =

y_i 3 5 6 10

fréquences 0,1 0,4 0,2 0,3

y =

V =

 =

2) On lance 3 fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées 1, 2, 3 ,4.

On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où le 1 est sorti.

a) Préciser la nature de X et ses paramètres.

b) Pour xi∈ {0;1;2;3}, donner la formule qui calcule PX=x_i =

Compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant :

x_i 0 1 2 3

PX=x_i

c) Calculer la moyenne ^x , la variance V(X) et l'écart-type (X) de X.

d) Soit Z la variable aléatoire Z=X – x

 X = X – np



^{np1 – p =}

X−3 4 3 4

; compléter le tableau suivant :

par exemple si x = 0 alors z=

0−3 4 3 4

= - 1

x_i 0 1 2 3

z_i -1

PZ=z_i 27/64

Calculer la moyenne , la variance et l'écart-type de Z.

3) On donne ci-dessous le tableau des valeurs de la loi binomiale B( 10;0,4) Représenter son l'histogramme ( le rectangle ABCD représentant 0,01)

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(X=xi) 0,00605 0,04031 0,12093 0,21499 0,25082 0,20066 0,11148 0,04247 0,01062 0,00157 0,00010

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1 0 1 x

A B

C D

B C D

LOI DE PROBABILITE CONTINUE

I) INTRODUCTION ET DEFINITIONS 1) Introduction

Quand l’univers est un intervalle

Jusqu’à présent, chaque variable aléatoire X conduisait à un univers image fini et chaque variable aléatoire prenait un nombre fini de valeurs.

Il s’agissait donc toujours de définir une loi de probabilité P sur un ensemble fini X(  ) = { x1; x₂;... ;x_n } et il suffisait de déterminer les n réels P(X= x1) ; P(X= ^x₂)... P(X= xn).

Mais il arrive aussi que les résultats d’une variable aléatoire puissent être n'importe quel nombre d’un intervalle I de ℝ. Par exemple : la durée des communications téléphoniques sur un mois.

Dans ce cas, il n’est plus question de définir une loi de probabilité en se donnant la probabilité de chaque élément de I (elle serait d’ailleurs nulle ! ) et de plus, les événement intéressants ne sont plus ’’obtenir tel ou tel réel’’ mais plutôt ‘’ obtenir un nombre entre a et b ‘’.

La définition d’une loi de probabilité P sur I repose donc sur la notion de probabilité d’un intervalle quelconque de I.

exemple :

On fait un sondage sur la durée des communications téléphoniques pendant un mois, puis on trace l’histogramme et le polygone des fréquences.

La fréquence de [3;4] est l’aire du rectangle hachuré.

Comme la somme des fréquences est 1 alors la somme des aires des rectangles est 1 UA.

Si on affine les résultats en les regroupant dans des classes de plus en plus petites, le polygone devient de plus en plus précis.

Donc quand la largeur de la classe tend vers 0, le polygone tend vers une courbe que l’on appelle ‘’ courbe représentative de la densité de probabilité’’

La fonction f s’appelle ‘’ densité de probabilité ‘’ et l’aire hachurée est 1 UA.

La probabilité pour que la consommation soit entre a et b est donc l’aire A donc P(a  X  b) =

∫

a b

fxd x x en heure y

0 a b 10

y = f(x)

A

heure 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2) Définitions

Définition 1 :

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle [a ; b] de ℝ.

Définition 2 :

Soit I = [ a ; b ] un intervalle de ℝ.

On appelle fonction densité sur I toute fonction f définie sur I vérifiant les trois conditions :

l f continue sur I

l f positive sur I

l

∫

a b

fxd x =1 Ex :

Définition 3 :

Soit X une variable aléatoire à valeur dans I = [ a ; b ], munie d'une fonction densité.

On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en associant à tout intervalle [c;d] ⊂I le réel : P( X ∈ [c;d]) = P ( c  X  d ) =

∫

c d

fxd x On dit que P est une loi de probabilité continue à densité f sur I.

Propriété :

P( X = c ) = 0

P(X > c ) = 1 – P ( a  X  c ) = 1 –

∫

a c

fxd x

Propriété :

Pour une variable aléatoire de densité f sur [a;b], l'espérance est : E(X) =

∫

a b

xfxd x Exemples : ex 3-5-6 p 195

II) LA LOI UNIFORME

Définition :

On dit qu'une variable aléatoire suit la loi est uniforme sur [a;b] si sa densité est une fonction constante k.

.Il faut donc k(b-a) = 1 d'où k= 1 b – a Conséquence:

On appelle loi uniforme sur I = [a;b] la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la fonction constante égale à fx= 1

b – a .

Propriété :

Pour cette loi, la probabilité de l'intervalle [,]⊂I est P(X ∈ [,]) = –

b – a et son espérance est EX=ab

2 Démons : voir corrigé

Exercices : 39 40 p 205

III) LOI NORMALE CENTREE REDUITE :

N

^(0;1)

Utiliser le fichier géogébra : '' loi binomiale '' pour expliquer ce qui suit :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p). Si l'on fixe p et que l'on fait augmenter n, l'histogramme représentant les valeurs prises par X semble se rapprocher d'une « courbe en cloche »;

Si l'on change p, la « courbe en cloche » change de caractéristiques ( hauteur et étalement) En revanche, si on considère la variable aléatoire Z = ^{Z=X – x}

 X = X – np



^{np1 – p} , on s'aperçoit que, quel que soit p, la courbe en cloche est toujours symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

De plus le mathématicien Abraham de Moivre ( XVII^e ) a montré que la courbe qui représente cette « courbe en cloche » est la représentation de la fonction définie sur ℝ par fx= 1



^2e

– x²/2

Définition :

Une variable aléatoire X suit une loi normale centré réduite si sa fonction densité est la fonction définie sur ℝ par fx= 1



2e^{– x2/2} elle se note

N ^(0;1)

Dans ce cas l'espérance est E(X)=  = 0 et son écart-type est = 1

Propriétés :

L'aire sous la courbe est 1 : elle représente P(X ∈ ^{]–∞;∞[})

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc P(X ∈[0;∞ [) = 1 2 1) P ( a  X  b ) =

∫

a b

f(x)d x = P( X  b ) - P ( X a) 2) P ( X  a ) = P ( X  - a )

3) P ( X  - a) = 1 – P ( X  a ) 4) P ( - a  X  a ) = 2 P ( X  a ) - 1

Démonstration des propriétés :

1) P ( a  X  b ) = aire rouge = aire bleue – aire jaune = P( X  b ) - P ( X a)

2) P ( X  a ) = aire rouge = aire bleue = P ( X  - a )

3) P ( X  - a) = aire rouge = aire bleue = 1 – aire jaune = 1 – P ( X  a )

4) P ( - a  X  a ) = aire rouge

= 1 – les deux aires jaunes (qui sont les mêmes)

= 1- 2 P ( X  - a )

= 1 – 2 ( 1 – P ( X  a )

= 2 P ( X  a ) - 1

ou P ( - a  X  a ) = P ( X  a ) - P ( X  - a ) = P ( X  a ) - (1 – P ( X  a )) = 2 P ( X  a ) - 1 Faire ex 1 et 2 (feuille à la fin )

Utilisation de la calculatrice pour calculer

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, calculer : P(-1,96  X  1,96) ≈ 0,95

P( X  1) ≈ 0,8413 P ( X  0,5 ) ≈ 0,3085

Remarques : pour P( X  1) programmer P( – 10⁹⁹  X  1) et pour P ( X  0,5 ) programmer P( 0,5  X  10⁹⁹ ) Intervalles particuliers à connaître

P( X ∈ [-1;1] ) ≈ 0,68 P( X ∈ [-1,96;1,96] ) ≈ 0,95 P( X ∈ [-2;2] ) ≈ 0,954 P( X ∈ [-3;3] ) ≈ 0,997

Exercices : 46 – 49 – 51 p 205

IV) LOI NORMALE

N

⁽

^

^;

^

²

⁾

Définition :

Dire qu'une variable aléatoire X suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) signifie que la variable aléatoire T=X –

 suit une loi normale

N ^(0;1)

Propriétés (admise):

Si une variable aléatoire suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) , alors son espérance est  , sa variance est ² et son écart-type est .

Remarque : la fonction de répartition n'est pas au programme.

Influence des paramètres :

Les intervalles à connaître:

Si une variable aléatoire suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) alors la variable aléatoire T=X –

 suit une loi normale

N ^(0;1)

donc P(  -   X   + ) =... = P ( -1  T  1) ≈ 0,68

P(  -   X   + ) ≈ 0,68 P(  - 2  X   + 2) ≈ 0,954 P(  - 3  X   + 3) ≈ 0,997

Exercices : Ex 3 feuille à la fin 55-56-59- 60 p 207 ex 4 feuille

EXERCICE 1 : X suit la loi

N ^(0;1)

^.

1) A l'aide de la table, calculer :

P(X0,83) P(x-073) P(X2,73) P(x-1,31)

P(0,57X0,92) P( - 0,84X- 0,62) P( - 1,24X0,26)

2) Retrouver tous ces résultats à l'aide de la calculatrice.

EXERCICE 2 : X suit la loi

N ^(0;1)

^.

1) A l'aide de la table donner une valeur appochée du réel a tel que : a) P(Xa) = 0,87

b) P(Xa) = 0,95 c) P(-a Xa) = 0,857

2) Retrouver ces résutats à l'aide de la calculatrice.

EXERCICE 3 :

X suit la loi

N ^{( 7; 2}

²

⁾

^.

1) A l'aide de la table, calculer :

P(X 9,28 ) P(X 5,98) P(8 X 10)  P( 3 X 4)  2) Retrouver tous ces résultats à l'aide de la calculatrice.

3) 1) A l'aide de la calculatrice donner une valeur appochée du réel a tel que : a) P(Xa) = 0,87

b) P(Xa) = 0,95

c) P( 7-a X +7 a) = 0,857 EXERCICE 4 :

X suit la loi

N ^{( 7;}

^σ2

^).

On sait que P ( X > 19 ) = 0,9, Déterminer .