QUATRIEME PARTIE : LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE A UNE DIMENSION

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QUATRIEME PARTIE :

LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE A UNE DIMENSION

Dans cette partie, seules les lois usuelles seront présentées.

CHAPITRE I : LOI NORMALE

La loi normale dépend de 2 paramètres à savoir l’espérance généralement notée m et l’écart-type noté .

I-1 LOI NORMALE DE PARAMETRES m=0 et =1, dite loi normale centrée réduite : N(0,1)

1-1-1 Définition

Soit X une variable aléatoire continue pouvant prendre des valeurs de - à +. On dit que X suit la loi normale centrée réduite si sa densité de probabilité est la suivante :

1-1-2 Représentation graphique

Une simple étude de la fonction f(x) permet de la représenter graphiquement :

f(x)

1/ 2

A₁ 1/ 2e A₂

-1 0 1 x

2

2

. 2 ) 1 (

x

e x

f  ^



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1-1-3 Principales caractéristiques d’une variable aléatoire normale centrée réduite

113-1 La fonction de répartition

Elle est notée F ou  et est définie par :

Cette fonction de répartition dont la dérivée est égale à la densité de probabilité f est une fonction toujours croissante [x, f(x)0]. Elle admet un point d’inflexion en t=0 et un centre de symétrie de coordonnées (0,1/2). La représentation graphique de la fonction de répartition est la suivante :

1

(t)

0 t

(t) représente l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et la droite d’équation x=t.

f(x)

(t)

0 t x

Puisque : (t) = P(X<t), il vient : 1- (t) = 1-P(X<t) = P(Xt).

On peut également calculer les probabilités cumulées pour des valeurs négatives de t. En raison de la symétrie de la courbe représentative de la fonction de densité f(x), nous avons :

P(Xt) = P(X-t) d’où : 1- (t) = (-t).





 





 ^t

x

dx e t

X P t t

F ²

2

2 ) 1 (

) ( )

(  

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113-2 Le mode

La densité admettant un maximum pour x=0, le mode de cette variable aléatoire est égale à 0 : Mo = 0.

113-3 L’espérance mathématique

La variable aléatoire centrée réduite X est définie par :

Son espérance mathématique est égale à zéro. En effet,

113-4 La variance

Par construction la variance de la variable aléatoire X est égale à l’unité. En effet,

Exemple : Soit XN(0;1), à l’aide de la table de la variable normale centrée réduite p. 329, calculer :

Solution :

) , (

~ );

( 



 ^{oùY N m}

Y E Y m

X Y 

 





^{( )}



⁰

) 1

(X  E Y  E Y 

E 

       

 

1 ( ) 1 )

1 (

) ( )

1 ( ) 1 (

) (

2 2 2

2 2

2





















Y V Y

E Y E

Y E Y E Y E Y E Y

E Y V X

V









       

 ^{1 1} ^{; 2 2}

;

2

; 1

; 1

; 0























X P

X P

X P X

P X P X

P

 

   

     

   

     

         

     

 ²   ¹  ²   ^{2 .}   ^{2 1 2 .}  ^{0 , 977}  ^{1 0 , 954}

2 2

2 2

;

682 , 0 1 841 , 0 . 2 1 1 . 2 1 1

1

1 1

1 1

977 , 0 2 2

841 , 0 1 1

1

841 , 0 1 1

5 , 0 0















































































































X P X

P

X P X

P X

P

X P X

P

X P X

P X

P X P

X P X

P X P

X

P

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I-2 LOI NORMALE notée N(m,) 1-2-1 Définition

Soit Y une variable aléatoire continue pouvant prendre des valeurs de - à +. On dit que Y suit une loi normale (ou loi de Laplace – Gauss) : N(m,) si Y admet pour densité :

ou encore si elle est liée à la variable normale centrée réduite X par la relation linéaire suivante :

Y = m + X où : >0 et m.

1-2-2 Probabilité élémentaire de Y

Déterminons d’abord la probabilité élémentaire de X :

On sait que : Y = m + X, avec :

En remplaçant X par sa valeur dans l’expression de sa probabilité élémentaire, on obtient la probabilité élémentaire de Y.

Donc, la densité de probabilité de Y est effectivement la suivante :

1-2-3 Représentation graphique

L’étude de la fonction f(y) permet de la représenter graphiquement :



^{x X x dx}



^{f x dx e dx}

P

x 2

2

2 . ) 1

(  ^







 





dX dY m et

X Y  





^{y Y y dy}



^{e dy}

P

m

y ²

2 1

2 .

1 ^{ }_^{  }_^







 ^





2

2 1

. 2 ) 1

( ^

 



 



 ^





m y

e y

f

2

2 1

. 2 ) 1

( ^

 



 



 ^





m y

e y

f

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f(y)

1/ 2

A₁ 1/ 2e A₂

m- 0 m m+ Y

Plus  est grand plus la courbe en cloche est aplatie (ex : m=0 et

=0,25 ; 0,5 et 1) :

f(y)

-1 -^1/2 -^1/4 0 ^{1/4 1/2} 1 Y

1-2-4 Principales caractéristiques d’une variable aléatoire normale 124-1 La fonction de répartition

Elle est généralement notée (t) et est définie par :

124-2 Mode, espérance et variance

 Détermination du mode : en raison de la symétrie de f(y) par rapport à la droite d’équation y=m et sachant que la densité admet un maximum au point d’abscisse yo=m, le mode de cette variable aléatoire est égale à m.









 P Y t ^t f y dy

t) ( ) ( )

(

dy

te y m









 



 





2

2 1

2

1 _





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 L’espérance mathématique : On sait que : Y = m + X, donc : E(Y) = E(m + X) = m + E(X).

Or , E(X) = 0, par conséquent, E(Y) = m.

 La variance :

Utilisons là encore la relation qui existe entre Y et X : V(Y) = V(m + X) = V(m) + ²V(X)

Or, V(m) = 0 et V(X) = 1, par conséquent, V(Y) = ².

124-3 Propriétés des variables aléatoires normales

 La somme de deux variables aléatoires normales indépendantes ayant respectivement pour paramètres (m1, 1² ) et (m2, 2² ) est une variable aléatoire normale de paramètres :

(m1+m2 ,  1² +  2²). Autrement dit : si Y1N(m₁, 1²) ; Y2N(m₂, 2²) et Y₁ et Y₂ sont indépendantes, alors : Y₁+ Y₂  N(m₁+m₂ ,  ₁² +  ₂²).

 Ce résultat se généralise au cas de n variables aléatoires normales et indépendantes deux à deux :

Si YiN(m_i, i²), avec i=1,2,…,n

Et si cov(Y_i ,Y_j) = 0 i,j i=1,2,…,n et j=1,2,…,n avec ij.

Alors :

_   _{ }













n

i i n

i i n

i

i N m avec m m et

Y Y

1 2 1

2 1

² ,

~

  

_.