2.1 Pratique de l’intégration par parties

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Calcul intégral

1 Calculs d’intégrales par primitivation directe

⊲ Exercice 1.1. Calcul d’intégrales (primitives usuelles)

Calculer les intégrales ci-dessous en déterminant directement une primitive de la fonction à intégrer.

1)I1= Z 1

0

dt

t+ 1 2)I2=

Z 1 0

3dt

(t+ 2)² 3) I3= Z 1

0

3dt

(t+ 2)³ 4)I4= Z ₁₂^π

0

sin(4t)dt 5)I5=

Z 8 0

(√

1 +t−√³

t)dt 6)I6= Z 0

−1

e^2t+1dt 7) I7= Z ¹₄

0

√ dt

1−4t² 8)I8= Z ¹₃

0

dt 1 + 9t²

⊲ Exercice 1.2. Calcul d’intégrales (reconnaissance de dérivées composées)

Calculer les intégrales ci-dessous en déterminant directement une primitive de la fonction à intégrer.

1) I1=Z 1 0

2t²

1 +t³dt 2)I2=Z 2 0

tp

1 + 2t²dt 3)I3=Z ^√₃⁵

0

√ t

1−t²dt 4)I4=Z 1 0

7t

√3

1 + 7t²dt 5) I5=

Z 1 0

t

1 + 3t²dt 6)I6= Z 1

0

12t

(1 + 3t²)³dt 7)I7= Z e

1

ln³t

t dt 8)I8=

Z e⁹ e⁴

1 t√

lntdt 9) I9=

Z ^{ln 2}₂

0

8e^2t

(3−e^2t)³dt 10)I10= Z 4

1

dt t²√

t 11)I11= Z ln 2

0

e^t+e^−t

1−e^−t+e^tdt 12)I12= Z _{ln 2}¹

1 ln 3

e^1t t²dt

⊲ Exercice 1.3. Calcul d’intégrales (reconnaissance de dérivées composées)

Calculer les intégrales ci-dessous en déterminant directement une primitive de la fonction à intégrer.

1) I1= Z ^π₂

0

cos²tsintdt 2)I2= Z ^π₂

−^π2

coste^sintdt 3)I3= Z ^π₃

π 6

tantdt 4)I4= Z ^π₆

0

cost 1−sintdt 5) I5=

Z π²

π2 4

sin√

√ t

t dt 6)I6= Z ^√e

1

cos(πlnt)

t dt 7)I7= Z ^π₃

0

tan²tdt 8)I8= Z ^π₄

0

tan³tdt 9) I9=

Z ^π₄

0

tan³t

cos²tdt 10)I10= Z ^π₄

0

1 cos²t√

tantdt 11)I11= Z ^π₃

π 6

1 + tan²t

tan²t dt 12)I12= Z ^π₆

0

cost (1−sint)³dt 13)I13=Z ¹₂

0

dt

1 + 4t² 14)I14=Z ^{ln 3}₂

0

e^t

1 +e^2tdt 15)I15=Z ¹₂

0

Arcsin(t)

√1−t² dt 16)I16=Z ^√₂³

1 2

√ dt

1−t²Arcsint

⊲ Exercice 1.4. Calcul d’intégrales après manipulations algébriques (linéarisation, formules trigo- nométriques, . . .)

Calculer les intégrales ci-dessous après avoir procédé à une manipulation algébrique permettant de faire apparaître des fonctions que l’on « sait »intégrer.

1) I1=Z π 0

cos²tdt 2)I2=Z π 0

costsin(3t)dt 3)I3=Z π 0

sin³tdt 4) I4=Z π

0 |1−2 sint|dt 5) I5=

Z ^π₂

0

sin(2t)

1 + sin²tdt 6)I6= Z ^π₃

π 6

dt

sintcost 7)I7= Z ^π₃

π 6

dt

sin²tcos²t 8) I8= Z ^π₆

π 8

dt sin(4t)

⊲ Exercice 1.5. Calcul d’intégrales après manipulations algébriques (décomposition en éléments simples,. . .)

Calculer les intégrales ci-dessous après avoir procédé à une manipulation algébrique permettant de faire apparaître des fonctions que l’on « sait »intégrer.

1)I1= Z 2

1

t²+t+ 1

t² dt 2)I2= Z 2

1

t²+ 1

t³ dt 3)I3= Z ¹₂

0

1−t⁶

1−t²dt 4)I4= Z 1

0

t³+ 1 t+ 1 dt 5)I5=Z 1

0

t−1

t+ 1dt 6)I6=Z 1 0

t²+ 1

t+ 1dt 7)I7=Z 1 0

t³

t+ 1dt 8)I8=Z 1 0

t⁴ t+ 1dt 9)I9=

Z 1 0

t−1

t²+ 1dt 10)I10= Z 1

0

t³

t²+ 1dt 11)I11= Z 1

0

t

(t+ 1)²dt 12)I12= Z 1

0

t+ 2 (t+ 1)³dt 13)I13=

Z 1 0

dt

t²−4 14)I14= Z 1

0

t³

t²−4dt 15)I15= Z 1

0

dt

t²−2t−3dt 16)I16= Z 1

0

t² t²−2t−3dt

2 Intégration par parties

2.1 Pratique de l’intégration par parties

⊲ Exercice 2.1.

Calculer les intégrales ci-dessous en utilisant la technique de l’intégration par parties.

1)I1= Z e

1

tlntdt 2)I2= Z π

0

tsintdt 3)I3= Z ¹₂

0

tArcsin(t)

√1−t² dt 4)I4= Z 1

0

t³e^t2dt 5)I5=Z 1

0

ln(1 +t²)dt 6)I6=Z 1 0

t³

√1 + 3t²dt

⊲ Exercice 2.2. Itération de l’intégration par parties

Calculer les intégrales ci-dessous en utilisant une ou des intégrations par parties successives.

1)I1(x) = Z x

1

tln²tdt (x∈R^∗₊) 2)I2(x) = Z x

0

t³e^−tdt (x∈R) 3)I3(x) = Z x

0

t²sintdt (x∈R)

⊲ Exercice 2.3. Calcul de primitives

Déterminer les primitives à valeurs réelles de la fonctionf sur son (ses) intervalle(s) de continuité.

1)f1(t) = ln²(t) 2)f2(t) = lnt

t² 3)f3(t) = lnt

√t 4)f4(t) =t³lnt 5)f5(t) =t²e^t 6)f6(t) = t³

√1−t² 7)f7(t) =t³sin(t²) 8)f8(t) =tsin²(t) 9)f9(t) =ln(ln(t))

t 10)

⊲ Exercice 2.4. Intégration par parties et astuce algébrique pour calculer Fn(x) = Z x

0

dt (1 +t²)ⁿ, n∈N^∗.

1. Calculer, pour toutx∈R,F1(x) =Z x 0

dt

1 +t² et F2(x) =Z x 0

dt (1 +t²)². On pourra écrire que 1

(1 +t²)² = 1 +t²

(1 +t²)² − t²

(1 +t²)² et intégrer par parties le terme t² (1 +t²)². 2. Pourn∈N^∗, obtenir une relation de récurrence entreFn+1(x) etFn(x).

En déduireF3(x) =Z x 0

dt (1 +t²)³.

3. Application. En utilisant un changement de variable ad’hoc, déterminer, pour toutx∈R, G1(x) =

Z x 0

dt

1 +t+t² , G2(x) = Z x

0

dt

(1 +t+t²)² et G3(x) = Z x

0

dt (1 +t+t²)³ en fonction de Arctan,F2 et F3.

2.2 Suites d’intégrales

⊲ Exercice 2.5. Suite définie par des intégrales. Intégrales de Wallis.

Considérons la suite (In)n∈Ndéfinie pour toutn∈NparIn= Z ^π₂

0

sin(t)ⁿdt.

1. Montrer que (In)_n∈^N est bornée.

2. Montrer que la suite (In)_n∈^Nest décroissante

3. Trouver, à l’aide d’une intégration par parties, une relation de récurrence entreIn etIn+2 puis en déduire l’expression exacte deIn en fonction den.

2.3 Intégrales calculables car elles réapparaissent après transformation

⊲ Exercice 2.6. Calculer, pour toutx∈R,F(x) =Z x 0

e^2tsin 3tdt.

On pourra procéder à deux intégrations par parties successives.

On pourra ensuite proposer une solution permettant de contourner les intégrations par parties en passant par les fonctions à valeurs complexes.

3 Changement de variable

3.1 Pratique du changement de variable

⊲ Exercice 3.1. Calculer les intégrales ci-dessous en procédant au changement de variable proposé.

1. I1(x) = Z x

2

dt t−√

t,x∈]1,+∞[,u=√ t.

2. I2(x) = Z x

1

dt

t(2 + ln²(t)),x∈]0,+∞[, u= lnt.

3. I3(x) = Z x

1

√e^t−1dt,x∈]0,+∞[,u=√ e^t−1.

4. I4(x) = Z x

1

dt tp

1−ln²t ,x∈

1 e, e

,u= lnt.

5. I5(x) = Z x

1

dt pt+t√

t, x∈]0,+∞[, u= 1 +√ t.

6. I6(x) = Z x

0

dt

cht,x∈R,u=e^t.

⊲ Exercice 3.2. Intégration de fractions rationnelles en les fonctions circulaires (règles de Bioche) Donner le changement de variable suggéré par les règles de Bioche puis calculer l’intégrale en effectuant ce changement de variable.

1. I1(x) = Z x

0

cost

1 + cos²tdt,x∈R,s= 2. I2(x) =

Z x 0

sint

1 + sin²tdt,x∈R,s= 3. I3(x) =

Z x 0

dt

cos⁴t,x∈i

−π 2,π

2 h,s= 4. I4(x) =Z x

0

dt

3 + cost,x∈]−π, π[,s= 5. I5(x) =Z x

0

dt

1 + sintcost,x∈i

−π 2,π

2 h,s=

⊲ Exercice 3.3. Intégration de fractions rationnelles en les fonctions hyperboliques (règles de Bioche)Donner le changement de variable suggéré par les règles de Bioche puis calculer l’intégrale en effectuant ce changement de variable.

1. I1(x) = Z x

0

tht

1 + chtdt,x∈R,s= 2. I2(x) =

Z x 0

cht

1 + ch²tdt,x∈R,s= 3. I3(x) =

Z x 0

dt

1

2sh2t+ ch²t,x∈R,s= 4. I4(x) =

Z x 0

dt

1

2+ cht, x∈R,s= 5. I5(x) =

Z x 0

dt

ch³t, x∈R,s=

La fraction rationnelle obtenue s’intègre par parties voir l’exercice2.6.

3.2 Intégrales calculables car elles réapparaissent après transformation

⊲ Exercice 3.4.

1. Effectuer le changement de variable affine qui permute les bornes deI=Z ^π₄

0

ln(1+tant)dtpour calculerI.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculerJ = Z 1

0

Arctant 1 +t dt.

⊲ Exercice 3.5. Effectuer le changement de variables= 1

t dans l’intégrale I = Z 2

1 2

1 + 1

t²

Arctantdt puis en déduire la valeur deI.

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1 1. I1=Z 1

0

dt

t+ 1 = [ln|t+ 1|]¹₀= ln 2−0 donc I1= ln 2 . 2. I2=

Z 1 0

3dt (t+ 2)² =

− 3 t+ 2

1 0

=−3 3 +3

2 =1

2 donc I2=1 2 .

3. I3= Z 1

0

3dt (t+ 2)³ =

− 3 2(t+ 2)²

1 0

=−1 6 +3

8 =9−4

24 donc I3= 5 24 .

4. I4=Z ₁₂^π

0

sin(4t)dt=

−cos(4t) 4

12^π

0

=−cos^π₃ 4 +1

4 =−1 8+1

4 donc I4=1 8 .

5. I5= Z 8

0

(√

1 +t−√³ t)dt=

2

3(1 +t)³² −3 4t⁴³

8 0

= 2 39³²−3

48⁴³ −2

3 + 0 = 18−12−2

3 donc I5=16 3 . 6. I6=

Z 0

−1

e^2t+1dt= 1

2e^2t+1 0

−1

= e−e⁻¹

2 donc I6= sh(1) . 7. I7=

Z ¹₄

0

√ dt

1−4t² = 1 2

Z ¹₄

0

2dt p1−(2t)² =

1

2Arcsin(2t) ¹4

0

=1

2Arcsin1

2 donc I7= π 12 .

8. I8= Z ¹₃

0

dt 1 + 9t² =1

3 Z ¹₃

0

3dt 1 + (3t)² =

1

3Arctan(3t) ¹₃

0

=1

3Arctan1−0 donc I8= π 12 .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 1. I1=

Z 1 0

2t² 1 +t³dt=

2

3ln(1 +t³) 1

0

= 2 ln 2

3 −0 donc I1=2 ln 2

3 .

2. I2= Z 2

0

tp

1 + 2t²dt= 1

6(1 + 2t²)³² 2

0

= 9³² −1

6 =27−1

6 donc I2= 13 3 .

3. I3=Z ^√₃⁵

0

√ t

1−t²dt=h

−p

1−t²i^√3⁵

0 = 0−(− r4

9) donc I3= 2 3 .

4. I4= Z 1

0

7t

√3

1 + 7t²dt= 3

4(1 + 7t²)²³ 1

0

= 3−3

4 donc I4= 9 4 .

5. I5= Z 1

0

t

1 + 3t²dt= 1

6ln(1 + 3t²) 1

0

= ln 4

6 −0 donc I5=ln 2 3 .

6. I6= Z 1

0

12t

(1 + 3t²)³dt=

− 1 (1 + 3t²)²

1 0

=−1

16+ 1 = 15

16 donc I6= 15 16 .

7. I7= Z e

1

ln³t t dt=

1 4ln⁴t

e 1

= 1

4 −0 donc I7=1 4 . 8. I8=

Z e⁹ e⁴

1 t√

lntdt=h 2√

lntie⁹ e⁴ = 2√

9−2√

4 donc I8= 2 .

9. I9= Z ^{ln 2}₂

0

8e^2t (3−e^2t)³dt=

−2 (3−e^2t)²

^{ln 2}₂

0

= −2

(3−2)² + 2

(3−1)² donc I9=−3 2 .

10. I10=Z 4 1

dt t²√

t =Z 4 1

dt t⁵² =

− 2 3t³²

4 1

=− 2 3×8 +2

3 donc I10= 7 12 .

11. I11=Z ln 2 0

e^t+e^−t

1−e^−t+e^tdt=ln(1−e^−t+e^t)ln 2 0 = ln

1−1

2+ 2

−ln(1−1 + 1) donc I11= ln5 2 . 12. I12=

Z _{ln 2}¹

1 ln 3

e^1t t²dt=h

−e^1tiln 2¹ 1 ln 3

=−e^{ln 2}+e^{ln 3}= 3−2 donc I12= 1 .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 1. I1=

Z ^π₂

0

cos²tsintdt=

−1 3cos³t

^π₂

0

= 0 +1

3 donc I1= 1 3 .

2. I2= Z ^π₂

−^π2

coste^sintdt= e^sintπ₂

−^π2

=e¹−e⁻¹ donc I2=e−1

e = 2sh(1) . 3. I3 =

Z ^π₃

π 6

tantdt = Z ^π₃

π 6

sint

costdt = − Z ^π₃

π 6

−sint

cost dt = [−ln|cost|]^ππ3

6 = −ln1 2 + ln

√3 2 = 1

2ln 3 donc I3=1

2ln 3 . 4. I4=Z ^π₆

0

cost

1−sintdt=− Z ^π₆

0

−cost

1−sintdt= [−ln|1−sint|]₀^π6 =−ln1

2+ ln 1 = ln 2 donc I4= ln 2 . 5. I5=

Z π²

π2 4

sin√

√ t

t dt=h

−2 cos√ tiπ²

π2 4

=−2 cosπ+ 2 cosπ

2 = 2 donc I5= 2 . 6. I6=

Z ^√e 1

cos(πlnt)

t dt=

1

πsin(πlnt) ^√e

1

= 1 πsinπ

2 −0 donc I6= 1 π . 7. I7=

Z ^π₃

0

tan²tdt= Z ^π₃

0

((1 + tan²t)−1)dt= [tant−t]₀^π3 = tanπ 3 −π

3 −0 donc I7=√ 3−π

3 . 8. I8 =

Z ^π₄

0

tan³tdt = Z ^π₄

0

((tan²t+ 1) tant −tant)dt = 1

2tan²t+ ln|cost| ^π4

0

= 1 2 + ln

√2 2 donc I8=1

2 −ln 2

2 .

9. I9= Z ^π₄

0

tan³t cos²tdt=

1 4tan⁴t

^π₄

0

= 1

4 donc I9=1 4 . 10. I10=Z ^π₄

0

1 cos²t√

tantdt=h 2√

tanti^π₄

0 = 2−0 donc I10= 2 . 11. I11=

Z ^π₃

π 6

1 + tan²t tan²t dt=

− 1 tant

^π₃

π 6

=− 1

√3+ 3

√3 donc I11= 2√ 3

3 .

12. I12= Z ^π₆

0

cost

(1−sint)³dt= 1

2 1 (1−sint)²

^π₆

0

=1 2

1

(1−¹₂)² −1 2 = 3

2 donc I12= 3 2 . 13. I13=

Z ¹₂

0

dt 1 + 4t² =1

2 Z ¹₂

0

2dt 1 + (2t)² =

1

2Arctan(2t) ¹₂

0

=Arctan1

2 −0 = π

8 donc I13=π 8 . 14. I14 =

Z ^{ln 3}₂

0

e^t 1 +e^2tdt =

Z ^{ln 3}₂

0

e^t

1 + (e^t)²dt =

Arctan(e^t)^{ln 3}₂

0 = Arctan(√

3)−Arctan1 = π 3 −π

4 donc I14= π

12 .

15. I15= Z ¹₂

0

Arcsin(t)

√1−t² dt= 1

2(Arcsint)^{2 1}2

0

= 1

2Arcsin²1

2 −0 = 1 2

π 6

2

donc I15= π² 72 . 16. I16 =

Z ^√₂³

1 2

√ dt

1−t²Arcsint = Z ^√₂³

1 2

√1 1−t²

Arcsintdt = [ln|Arcsint|]

√3 2 1 2

= ln

Arcsin

√3 2

−ln Arcsin 1

2

= lnπ

3 −lnπ

6 donc I16= ln 2 .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.4 1. I1=

Z π 0

cos²tdt= Z π

0

1 + cos(2t)

2 dt=

t

2 +sin(2t) 4

π 0

=π

2 donc I1=π 2 . 2. I2=

Z π 0

costsin(3t)dt= Z π

0

1

2(sin(3t+t) + sin(3t−t)) dt= Z π

0

1

2(sin(4t) + sin(2t)) dt=

−cos(4t)

8 −cos(2t) 4

π 0

=

−cos(4π)

8 −cos(2π)

4 +cos 0

8 +cos 0

4 = 0 donc I2= 0 . 3. I3 =

Z π 0

sin³tdt = Z π

0

(1−cos²t) sintdt=

−cost+1 3cos³t

π 0

=−cosπ+1

3cos³π+ 1−1 3 = 4

3 donc I3=4

3 . 4. I4 =

Z π

0 |1−2 sint|dt= Z ^π₆

0

(1−2 sint)dt

| {z }

= [t+ 2 cost]₀^π6

= π 6 +√

3−2 +

Z ^5π₆

π 6

(2 sint−1)dt

| {z }

= [−2 cost−t]^5ππ6

6

=−4π 6 + 2√

3 +

Z π

5π 6

(1−2 sint)dt

| {z }

= [t+ 2 cost]^π5π

6

= π

6 −2 +√ 3

= 4√

3−4−π 3 donc

I4= 4√

3−4−π 3 . 5. I5=

Z ^π₂

0

sin(2t) 1 + sin²tdt=

Z ^π₂

0

2 sintcost

1 + sin²t dt=ln(1 + sin²t)^π2

0 = ln 2−ln 1 donc I5= ln 2 . 6. I6=

Z ^π₃

π 6

dt sintcost =

Z ^π₃

π 6

cos²t+ sin²t sintcost dt=

Z ^π₃

π 6

cost sint +sint

cost

dt= [ln|sint| −ln|cost|]^π3π

6 = [ln|tant|]^ππ3

6 =

ln√

3−ln 1

√3 = ln 3 donc I6= ln 3 . 7.

I7 = Z ^π₃

π 6

dt sin²tcos²t

= Z ^π₃

π 6

sin²t+ cos²t sin²tcos²t dt

= Z ^π₃

π 6

1

sin²t + 1 cos²t

dt

= [−cotant+ tant]^π3π

6

= h

−tanπ 2 −t

+ tanti^π₃

π 6

= −tanπ

6 + tanπ

3 + tanπ

3 −tanπ 6

= 2 tanπ

3 −2 tanπ 6

= 2√ 3−2√

3 3 donc I7= 4√

3

3 .

8.

I8 = Z ^π₆

π 8

dt sin(4t)

= Z ^π₆

π 8

cos²(2t) + sin²(2t) 2 sin(2t) cos(2t) dt

= Z ^π₆

π 8

1 4

2 cos(2t)

sin(2t) +2 sin(2t) cos(2t)

dt

= 1

4ln|sin(2t)| −1

4ln|cos(2t)| ^π₆

π 8

= 1

4ln|tan(2t)| ^π₆

π 8

= 1

4lntan^π₃ tan^π₄

= 1

4ln

√3 1 donc I8= 1

8ln 3 .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.5 1. I1=

Z 2 1

t²+t+ 1 t² dt=

Z 2 1

1 + 1

t + 1 t²

dt=

t+ lnt−1 t

2 1

= 2+ln 2−1

2−1−0+1 donc I1=3

2 + ln 2 .

2. I2= Z 2

1

t²+ 1 t³ dt=

Z 2 1

1 t + 1

t³

dt=

lnt− 1 2t²

2 1

= ln 2−1

8 −0 +1

2 donc I2= ln 2 + 3 8 .

3. I3=Z ¹₂

0

1−t⁶

1−t²dt=Z ¹₂

0

(1−t²)(1 +t²+t⁴) 1−t² dt=

t+t³

3 +t⁵ 5

¹2

0

=1 2+ 1

3×8+ 1

5×32donc I3= 263 480 .

4. I4= Z 1

0

t³+ 1 t+ 1dt=

Z 1 0

(t+ 1)(1−t+t²)

t+ 1 dt=

t−t²

2 +t³ 3

1 0

= 1−1 2+1

3 donc I4= 5 6 . 5. I5=Z 1

0

t−1

t+ 1dt=Z 1 0

t+ 1−2

t+ 1 dt=Z 1 0

1− 2

t+ 1

dt= [t−2 ln|t+ 1|]¹₀= 1−2 ln 2 donc I5= 1−2 ln 2 . 6. I6 =

Z 1 0

t²+ 1 t+ 1dt =

Z 1 0

t(t+ 1)−(t+ 1) + 2

t+ 1 dt

Z 1 0

t−1 + 2 t+ 1

dt =

t²

2 −t+ 2 ln|t+ 1| ¹

0

= 1 2 − 1 + 2 ln 2 donc I6=−1

2+ 2 ln 2 . 7. I7 =Z 1

0

t³

t+ 1dt=Z 1 0

t³+ 1−1

t+ 1 dt = (t+ 1)(1−t+t²)−1

t+ 1 dt =

t−t²

2 +t³

3 −ln|t+ 1| 1

0

= 1−1 2 + 1

3 −ln 2 donc I7= 5

6−ln 2 . 8. I8=

Z 1 0

t⁴ t+ 1dt=

Z 1 0

t³(t+ 1)−t³ t+ 1 dt=

Z 1 0

t³− t³ t+ 1

dt=

Z 1 0

t³dt−I7= t

4 1

0

−I7= 1 4−5

6+ ln 2 donc I8=−7

12+ ln 2 .

9. I9=Z 1 0

t−1

t²+ 1dt=Z 1 0

1 2

2t

1 +t² − 1 1 +t²

dt=

1

2ln(1 +t²)−Arctant 1

0

=ln 2 2 −π

4 donc I9= ln 2 2 −π

4 .

10. I10 = Z 1

0

t³ t²+ 1dt =

Z 1 0

t(1 +t²)−t t²+ 1 dt =

Z 1 0

t− t

t²+ 1

dt= t²

2 −1

2ln(1 +t²) 1

0

= 1 2 −ln 2

2 donc I10=1

2 −ln 2

2 .

11. I11= Z 1

0

t

(t+ 1)²dt= Z 1

0

t+ 1−1 (t+ 1)² dt=

Z 1 0

1

t+ 1− 1 (t+ 1)²

dt=

ln|t+ 1|+ 1 t+ 1

1 0

= ln 2 +1 2 −1 donc I11= ln 2−1

2 . 12. I12 =

Z 1 0

t+ 2 (t+ 1)³dt =

Z 1 0

(t+ 1) + 1 (t+ 1)³ dt =

Z 1 0

1

(t+ 1)²+ 1 (t+ 1)³

dt =

− 1

t+ 1− 1 2(t+ 1)²

1 0

=

−1 2 −1

8 + 1 + 1

2 donc I12=7 8 . 13. I13=

Z 1 0

dt t²−4dt=

Z 1 0

dt

(t−2)(t+ 2) or 1

(t−2)(t+ 2) =

1 4

t−2 + −¹₄ t+ 2 donc

I13= Z 1

0

1 4

t−2+ −¹₄ t+ 2

dt=

1

4ln|t−2| −1

4ln|t+ 2| 1

0

= 1

4ln|t−2|

|t+ 2| 1

0

=1 4ln1

3 −0

donc I13=−ln 3

4 .

14. I14 = Z 1

0

t³ t²−4dt =

Z 1 0

t(t²−4) + 4t t²−4 dt =

Z 1 0

t+ 2 2t t²−4

dt =

t²

2 + 2 ln|t²−4| 1

0

= 1

2 + 2 ln3 4 donc I14= 1

2 + 2 ln 3−4 ln 2 . 15. I15=

Z 1 0

dt t²−2t−3 =

Z 1 0

dt (t+ 1)(t−3),

or 1

(t+ 1)(t−3) = −¹4

t+ 1+

1 4

t−3 donc

I15= Z 1

0

−¹4

t+ 1+

1 4

t−2

dt= 1

4ln

t−3 t+ 1

1 0

= 1 4ln2

2 −1

4ln 3 =−ln 3 4 donc I15=−ln 3

4 .

16. I16=Z 1 0

t²

t²−2t−3dtZ 1 0

(t²−2t−3) + (2t+ 3)

t²−2t−3 dt=Z 1 0

1 + 2t+ 3 t²−2t−3

dt,

or 2t+ 3

t²−2t−3 = 2t+ 3

(t+ 1)(t−3) = −¹₄ t+ 1+

9 4

t−3 donc

I16= Z 1

0

1 + −¹4

t+ 1 +

9 4

t−3

dt=

t−ln|t+ 1|

4 +9 ln|t−3| 4

1 0

= 1−ln 2

4 +9 ln 2

4 −9 ln 3 4

donc I16= 1 + 2 ln 2−9 ln 3

4 .

⊲ Corrigé de l’exercice 2.1 1. I1=

Z e 1

tlntdt.

I1 = t²

2 lnt e

1

− Z e

1

t² 2 ×1

tdt

= e²

2 lne−0− Z e

1

t 2dt

= e² 2 −

t² 4

e 1

= e² 2 −e²

4 +1 4

= e² 4 +1

4

Ainsi,I1=e² 4 +1

4. 2. I2=

Z π 0

tsintdt.

I2 = [t(−cost)]^π₀− Z π

0

1×(−cost)dt

= −πcosπ+ 0 + Z π

0

costdt

= π+ [sint]^π₀

= π+ 0−0 Ainsi,I2=π.

3. I3= Z ¹₂

0

tArcsin(t)

√1−t² dt.

I3 = h

−p

1−t²Arcsinti¹2

0 − Z ¹₂

0

(−p

1−t²)× 1

√1−t²dt

= −

r3

4Arcsin1

2 + Arcsin0 + Z ¹₂

0

dt

= −

√3 2

π 6 +1

2

Ainsi,I3=1 2 −π√

3 12 . 4. I4=Z 1

0

t³e^t2dt.

I4 = Z 1

0

t²

2 ×2te^t2dt

= t²

2 ×e^{t2 1}

0

− Z 1

0

t×e^t2dt

= 1

2e−0− Z 1

0

te^t2dt

= 1

2e− 1

2e^t2 1

0

= 1

2e−1 2e+1

2

= 1

2

Ainsi,I4=1 2. 5. I5=Z 1

0

ln(1 +t²)dt.

I5 =

tln(1 +t²)1 0−

Z 1 0

t× 2t 1 +t²dt

= ln 2−0− Z 1

0

2t² 1 +t²dt

= ln 2− Z 1

0

2(t²+ 1)−2 1 +t² dt

= ln 2− Z 1

0

2− 2

1 +t²

dt

= ln 2−[2t−2Arctant]¹₀

= ln 2−2 + 2Arctan(1) Ainsi,I5= ln 2−2 + π

2. 6. I6=

Z 1 0

t³

√1 + 3t²dt.

I6 = Z 1 0

t²

3 × 3t

√1 + 3t²dt

= t²

3 ×p 1 + 3t²

1 0

− Z 1

0

2t 3 ×p

1 + 3t²dt

= 1

3×√

1 + 3−0− 2

27(1 + 3t²)³²

= 2

3− 2

27(4³² −1)

= 2

3− 2 27(8−1)

= 18−14 27 Ainsi,I6= 4

27.

⊲ Corrigé de l’exercice 2.2 1. I1(x) =Z x

1

tln²tdt.

Soitx∈]0,+∞[ fixé quelconque.

I1(x) = t²

2 ln²t x

1

− Z x

1

t²

2 ×2 lnt t dt

= x²

2 ln²x−0− Z x

1

tlntdt

= x²

2 ln²x− t²

2 lnt x

1

+ Z x

1

t² 2 ×1

tdt

= x²

2 ln²x−x²

2 lnx+ 0 + Z x

1

t 2dt

= x²

2 ln²x−x²

2 lnx+x² 4 −1

4 Ainsi,∀x∈]0,+∞[,I1(x) = x²

2 ln²x−x²

2 lnx+x² 4 −1

4.

2. I2(x) =Z x 0

t³e^−tdt (x∈R).

Soitx∈Rfixé quelconque.

I2(x) = [t³(−e^−t)]^x₀− Z x

0

3t²(−e^−t)dt

= −x³e^−x+ 0 + Z x

0

3t²e^−tdt

= −x³e^−x+ [3t²(−e^−t)]^x₀− Z x

0

6t(−e^−t)dt

= −x³e^−x−3x²e^−x+ 0 + Z x

0

6te^−tdt

= −x³e^−x−3x²e^−x+ [6t(−e^−t)]^x₀− Z x

0

6(−e^−t)dt

= −x³e^−x−3x²e^−x−6xe^−x+ 0 + Z x

0

6e^−t)dt

= −x³e^−x−3x²e^−x−6xe^−x+ [−6e^−t]^x₀

= −x³e^−x−3x²e^−x−6xe^−x−6e^−x+ 6 Ainsi,∀x∈R,I2(x) = (−x³−3x²−6x−6)e^−x+ 6.

3. I3(x) = Z x

0

t²sintdt (x∈R).

Soitx∈Rfixé quelconque.

I3(x) = [t²(−cost)]^x₀− Z x

0

2t(−cost)dt

= −x²cosx+ 0 + Z x

0

2tcostdt

= −x²cosx+ [2tsint]^x₀− Z x

0

2 sintdt

= −x²cosx+ 2xsinx−0− Z x

0

2 sintdt

= −x²cosx+ 2xsinx−[−2 cost]^x₀

= −x²cosx+ 2xsinx+ 2 cosx−2 Ainsi,∀x∈R,I3(x) = (−x²+ 2) cosx+ 2xsinx−2

⊲ Corrigé de l’exercice 2.3 1. f1(t) = ln²(t).

Soitx∈]0,+∞fixé quelconque.

Z x 1

ln²tdt = [tln²t]^x₁− Z x

1

t×2 lnt t dt

= xln²x−0−2 Z x

1

lntdt

= xln²x−0−2[tlnt]^x₁+ 2 Z x

1

t1 tdt

= xln²x−2xlnx+ 2x−2

Ainsi, les primitives de f1= ln² sont

R^∗₊ → R

x 7→ xln²x−2xlnx+ 2x+λ λ∈R

.

2. f2(t) = lnt t² .

Soitx∈]0,+∞fixé quelconque.

Z x 1

lnt t² dt =

−1 t lnt

x 1

− Z x

1 −1 t ×1

tdt

= −lnx x + 0 +

Z x 1

1 t²dt

= −lnx

x +

−1 t

x 1

= −lnx x −1

x+ 1

Ainsi, les primitives de f2(t) =lnt t² sont

( R^∗₊ → R x 7→ −lnx

x −1 x+λ

λ∈R )

.

3. f3(t) = lnt

√t.

Soitx∈]0,+∞fixé quelconque.

Z x 1

lnt

√tdt = h 2√

tlntix 1−

Z x 1

2√ t×1

tdt

= 2√

xlnx−0− Z x

1

4 2√

tdt

= 2√

xlnx−h 4√

tix 1

= 2√

xlnx−4√ x+ 4

Ainsi, les primitives de f3(t) =lnt

√t sont

R^∗₊ → R x 7→ 2√

xlnx−4√ x+λ

λ∈R

. 4. f4(t) =t³lnt.

Soitx∈]0,+∞fixé quelconque.

Z x 1

t³lntdt = t⁴

4 lnt ^x

1

− Z x

1

t⁴ 4 ×1

tdt

= x⁴

4 lnx−0− Z x

1

t³ 4dt

= x⁴ 4 lnx−

t⁴ 16

x 1

= x⁴

4 lnx−x⁴ 16+ 1

16

(1)

Ainsi, les primitives de f4(t) =t³lnt sont





 R^∗

+ → R

x 7→ x⁴

4 lnx−x⁴ 16+λ

λ∈R





 .

5. f5(t) =t²e^t.